6.6 简单几何体的再认识（含解析）——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练

6.6 简单几何体的再认识——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
2．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3．某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球O的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
4．已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5．如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为12cm的正四棱台，其两个底面边长分别为8cm和10cm.若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为( )
A. B. C. D.
6．已知圆台的高为8,上 下底面圆的半径分别为2和8,则圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
7．已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于( )
A. B. C. D.
8．一个封闭的圆锥形容器内装水若干,如图①所示,锥体内的水面高度为,将锥顶倒置,如图②所示,水面高度为,已知该封闭的圆雉形容器的高为,且,忽略容器的厚度,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1，P，Q分别为棱，上的动点，则（ ）
A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值
C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为
三、填空题
10．过球O外一点A作球O的切线，若切线长为5，且，则球O的体积为________.
11．已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍,则该圆柱的母线与底面直径的比为_____________.
12．在一个建筑工地上,有一个用来储存材料的圆台形容器.已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米,下底面圆的直径是2.4米,母线长为1米,不考虑该圆台形容器壁的厚度,则该圆台形容器的容积是__________立方米.
四、解答题
13．如图所示,从底面半径为,高为的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆柱,求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.
14．等积转换法是求锥体体积的常用方法，特别是当题目中某些点是不固定的点时，常用等积转换固定一个面，再进行求值.在解题过程中主要考查直观想象和数学运算的核心素养.把本例改为：如图所示，正方体的棱长为1，E，F分别为线段上的点，求三棱锥的体积.
15．已知四棱锥中，，，，，，平面ABCD，.
(1)设平面平面，求证：；
(2)若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.
16．如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D，E是，的中点，.求:
（1）正三棱柱的侧棱长；
（2）正三棱柱的表面积.
参考答案
1．答案：A
解析：
如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1，
则该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以该圆锥的表面积为.
故选：A.
2．答案：C
解析：根据题意，圆锥的母线长为
所以圆锥的表面积.
故选：C.
3．答案：C
解析：设所在截面圆心为，连接，，交球于点E，交平面于点F，
设，，
由题意，，
，，，
在中，
，
解得，所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：在三棱锥中，平面，，，，
设底面的外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，
由正弦定理得，可得，
所以，
则外接球的表面积为.
故选：D.
5．答案：B
解析：解法一：根据四棱台的体积公式
.
解法二：若公式记不住，也可考虑补台为锥的办法快速求解
根据三角形相似可知，则，
即，，所以
故选B.
6．答案：D
解析：如图所示,由题知,,,则.
故圆台的表面积
故选：D.
7．答案：B
解析：圆台的侧面展开图是个扇环，设圆台的母线为l，
则，所以
所以圆台的高，
则圆台的体积等于，
故选：B.
8．答案：B
解析：因为且图①和②内所装水的体积相等,所以根据相似可知,即.
9．答案：BCD
解析：因为的面积为，Q到平面的距离不是定值，故A错误；
因为的面积为，P到平面的距离为，体积为，故B正确；
因为的最大值为，P到平面的最大距离为，
故四面体的体积最大值为，故C正确。
过点Q作，，，
设，，则，，
，，，，
故四面体的体积为，其最大值为，故D正确.
10．答案：
解析：切点为B，则，则球半径，
所以球O的体积为.
故答案为：
11．答案：
解析：设圆柱的底面半径为r,母线为l,则,所以,所以.
故答案为：.
12．答案：
解析：由题意可得该圆台形容器的高为米,
则该圆台形容器的容积是立方米.
13．答案：
解析：由题意,知原圆柱的表面积,
挖去圆柱后所得几何体的表面积,
所以.
14．答案：.
解析：.
15．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB.
因为平面PCD，平面平面，
所以.
(2)解：，
平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等.
由条件易得平面PAB且
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意，，
根据正三棱柱得面，又面，所以，
在中，，
又D是中点，故侧棱长为.
（2）底面积为，侧面积为.
所以棱柱表面积为.