6.1基本立体图形（含解析）——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练

6.1 基本立体图形——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.四棱柱 D.平行六面体
2．如图所示,在三棱台中,沿平面截去三棱锥,则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
3．如图是一个正方体的表面展开图,则图中“拼”字所在的面,在原正方体中的对面上的字为( )
A.梦 B.就 C.成 D.想
4．下列关于棱锥 棱台的说法正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
5．斜四棱柱侧面中矩形的个数最多可有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6．如图：正三棱锥中，，侧棱长为2，过点C的平面截得.则的周长的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
7．一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫做“球台”,两平行平面间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台,其直观图如图2,已知杯底的直径为,杯口直径为,杯的深度为,则该卧足杯侧面所在球面的半径为( )
A. B. C. D.
8．已知H是球O的直径上一点,,平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,M为上的一点,且,过点M作球O的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法中不正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等
10．两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为和,则这两个平面间的距离是( )
A.1 B.3 C.4 D.7
11．已知棱长为1的正方体,点P是面对角线上的任一点,则的值可能是( )
A. B.2 C. D.
三、填空题
12．圆柱侧面的母线有__________条.
13．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______.
14．圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则此圆锥的母线长为_______________.
四、解答题
15．下图的几何体是棱柱吗？为什么？
16．正四棱台的高是17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台侧棱的长和斜高.
17．判断下列几何体是不是圆台,为什么
(1) (2) (3)
18．已知长方体,如图所示.
1.长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 请说明理由.
2.用平面把这个长方体分成两部分,各部分还是棱柱吗 如果是,判断是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
19．已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的半径.
参考答案
1．答案：B
解析：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥；
故选：B.
2．答案：B
解析：三棱台中,沿平面截去三棱锥,
剩余的部分是以为顶点,四边形为底面的四棱锥．
故选：B.
3．答案：C
解析：根据正方体的表面展开图,翻折成正方体,如图所示：
其中“成”在最下面,“拼”在最上面,构成对面关系.
故选：C.
4．答案：D
解析：有一个面是多边形,其余各面是三角形,若其余各面没有一个共同的顶点,则不是棱锥,故A错误;
两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点,故B错误,D正确;
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台,故C错误.
故选：D.
5．答案：B
解析：由于在斜四棱柱的底面中最多有两条平行的对边和侧棱垂直，其余一组对边不和侧棱垂直，
故此时四棱柱的侧面中最多有2个侧面为矩形，且这两个侧面为相对的面，
其余一组相对的侧面不可能为矩形，
故选：B
6．答案：D
解析：由题意，沿正三棱锥的侧棱AC剪开，所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为2，如图所示：
连接，则，
所以是等腰直角三角形，
则，
由两点间线段最短得：的周长的最小值为C，两点之间的距离，即，
故选：D.
7．答案：A
解析：如图所示,作出“球台”的轴截面,设球心为O,过O作交于点E,交于点F,
依题意,,,
设球的半径为,则且,
即,解得,
即球面的半径为;
故选：A.
8．答案：C
解析：如图,设截得的截面圆的半径为r,球O的半径为R,
因为,
所以.由勾股定理,得,由题意得,,
所以,解得,
此时过点M作球O的截面,若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的半径最小.
设球心O到所求截面的距离为d,所求截面的半径为,则,
所以只需球心O到所求截面的距离d最大即可,
而当且仅当与所求截面垂直时,球心O到所求截面的距离d最大,
即,所以.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，D不正确.故选ACD.
10．答案：AD
解析：如图（1）所示,若两个平行平面在球心同侧,
则;
如图（2）所示,若两个平行截面在球心两侧,
则.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：如图2,当点P在顶点B处时,,故B选项正确;当点P在线段的中点时,,故C选项正确：当点P为与AC的交点时,,故D选项正确:由题意可知为的最小值,故A选项不正确,故选BCD.
12．答案：无数
解析：以矩形一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱,
平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线,
故圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段,它有无数条.
故答案为：无数.
13．答案：
解析：如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开，
把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形，
可矩形的对角线长为，即最短路线的长为.
故答案为：.
14．答案：3
解析：因为圆锥底面圆的半径为1,所以侧面展开图扇形的弧长为,
设圆锥的母线长为l,因为侧面展开图扇形的圆心角为,
所以,解得,所以此圆锥的母线长为3.
故答案为：3.
15．答案：不是，理由见解析
解析：不是，根据棱柱的定义，应有两个全等的互相平行的平面多边形，图中几何体没有.
16．答案：棱台的侧棱长为19cm,斜高为
解析：如图所示,设棱台的两底面的中心分别是和O,和BC的中点分别是和E,连接,,,OB,,OE,则四边形和都是直角梯形.
,,
,,,.
,
.
,.
即棱台的侧棱长为19cm,斜高为.
17．答案：(1)是圆台.因为其上、下底面平行,侧面是由直角梯形的一腰绕轴旋转一周形成的.
(2)不是圆台.因为其上、下底面不平行.
(3)不是圆台.因为它是由两个圆台组合而成的,不符合圆台的结构特征.
解析：
18．答案：1.长方体是棱柱,且是四棱柱.因为上下两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱,由于底面是四边形,所以是四棱柱.
2.平面把这个长方体分成的两部分还是棱柱.
左边部分几何体的两个面和平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱, 由于底面是四边形,所以是四棱柱,即左边部分几何体为四棱柱;
同理右边部分几何体为三棱柱.
解析：
19．答案：3
解析：如图，作出球的轴截面.
两个平行截面的面积分别为，，
两个截面圆的半径分别为，.
又球心到两个截面的距离分别为，，且两截面位于球心的同一侧，
，解得或（舍）.
故这个球的半径为3.