沪科版九年级数学上册 21.1-21.4 二次函数及应用 练习（含详解）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册 21.1-21.4 二次函数及应用 练习（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 780.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-21 11:55:51 | ||
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文档简介
21.1-21.4《二次函数及应用》
一、单选题
1．函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，点 ，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
7．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线（）与x轴交于点，其对称轴直线，结合图象给出下列结论：
①；②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，点的纵坐标满足，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是 ．
12．将二次函数化成的形式，则 ．
13．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用＜连接）
14．将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
15．已知二次函数，当时，的取值范围为 ．
16．已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．
17．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
18．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：．
解：令，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当或时函数的图象位于x轴的上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为或．这一过程中渗透了转化的思想和数形结合的思想．
那么不等式的解集是 ．
三、解答题
19．已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求的面积，写出时的取值范围．
20．如图，利用函数的图像，解决下列问题：
（1）方程的解是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）当时，x的取值范围是 ．
（4）当时，y的取值范围是 ；
21．如图，二次函数的图象过，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积．
22．某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量（个）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
（1）销售单价定为多少元时，每天可获利336元？
（2）写出每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润．
23．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
（1）当小球的高度为米时，求时间的值；
（2）小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．
24．如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
答案
一、单选题
1．C
【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．
解：函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
2．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵抛物线，
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据二次函数图像平移特征判断即可．
解：将先向右平移2个单位长度得到函数的表达式为，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为．
故选：C．
5．D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．
解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴A选项不符合题意；
B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴B选项不符合题意；
C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴C选项不符合题意；
D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴D选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．
解：令，
，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
7．D
【分析】先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数开口向上，再由增减性得到，进一步根据二次函数与x轴有交点，得到，由此可得．
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，且二次函数开口向上，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∵二次函数与x轴有交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
8．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
解：设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
9．C
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点判断出a，c的符号，再结合对称轴分别判断即可．
解：抛物线开口向上，因此，
与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确；
当时，图象在x轴上，对称轴为直线，
则当时，图象在x轴上，
即时，，所以②错误；
由图可知：时，随的增大而增大，所以③正确；
∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，共3个，
故选：C．
10．D
【分析】首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标，然后根据点的纵坐标满足，且m，n都为整数得到，然后分别代入，，求解即可．
解：联立二次函数与一次函数
得，
解得，
∵的纵坐标满足，且m，n都为整数，
∴，
∴当时，，
∴点P的坐标为或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或．
综上所述，这样的点P可以为或或或或或或，共7个，
故选：D．
二、填空题
11．1
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后变形代入即可.
解：∵抛物线向上平移3个单位长度后经过点，
∴点向下平移3个单位长度后得到的点在抛物线的图象上，
故，
∴，
∴，
故答案为：1．
12．
【分析】将二次函数的右边配方即可化成的形式．
解：根据题意得：
，
故答案为：．
13．
【分析】根据的开口方向以及对称轴的位置即可判断．
解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为，
∴离对称轴最近，值最小，离对称轴最远，值最大，
∴，
∴故答案为：．
14．
【分析】根据抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
解：∵将抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的新的抛物线的解析式是，
故答案为：．
15．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
解：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
16．有两个相等的实数根
【分析】根据图象中二次函数的最小值为，可得的根的情况．
解：由图象可知，二次函数最小值为，
一元二次方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
17．6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
解：由题意可得：，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：6．
18．
【分析】根据题干所给的解一元二次不等式的方法即可解答．
解：由题干及图象可知：
当时函数的图象位于x轴的下方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）∵二次函数的图像经过点、，
∴，
解这个方程组，得，
∴该二次函数的解析式是；
（2），
∴顶点坐标是；
对称轴是；
（3）∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
∴的面积．
由图像可得，当时，，
故时，的取值范围是．
20．
（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，
∴是方程的解，
故答案为：，；
（2）抛物线的对称轴为，
∴当或时y随x的增大而减小，
故答案为：（也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线经过点，
∴或时，，
故答案为：或；
（4）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
21．
解：（1）把，代入，
得：，
解得．
故这个二次函数的解析式为．
（2）∵该抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
22．
（1）解：依题知，得．
整理方程，得．
解得，．
，
，不合题意，舍去．
答：销售单价定为32元时，每天可获利336元．
（2）解：，
即．
，
∴抛物线的开口向下．
∴当时，w的值随着x值的增大而增大．
，
∴当时，．
答：日销售最大利润为375元．
23．
（1）解：把代入得：
，
当时，，
即，
解得：．
答：小球的高度为米时，所用时间为或；
（2）解：小球的高度不能达到米，
理由如下：
把代入得：
，
∴，
∵，
∴无实数解，
∴小球的高度不能达到米．
24．
（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．
一、单选题
1．函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，点 ，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
7．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线（）与x轴交于点，其对称轴直线，结合图象给出下列结论：
①；②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，点的纵坐标满足，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是 ．
12．将二次函数化成的形式，则 ．
13．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用＜连接）
14．将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
15．已知二次函数，当时，的取值范围为 ．
16．已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．
17．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
18．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：．
解：令，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当或时函数的图象位于x轴的上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为或．这一过程中渗透了转化的思想和数形结合的思想．
那么不等式的解集是 ．
三、解答题
19．已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求的面积，写出时的取值范围．
20．如图，利用函数的图像，解决下列问题：
（1）方程的解是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）当时，x的取值范围是 ．
（4）当时，y的取值范围是 ；
21．如图，二次函数的图象过，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积．
22．某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量（个）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
（1）销售单价定为多少元时，每天可获利336元？
（2）写出每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润．
23．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
（1）当小球的高度为米时，求时间的值；
（2）小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．
24．如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
答案
一、单选题
1．C
【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．
解：函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
2．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵抛物线，
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据二次函数图像平移特征判断即可．
解：将先向右平移2个单位长度得到函数的表达式为，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为．
故选：C．
5．D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．
解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴A选项不符合题意；
B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴B选项不符合题意；
C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴C选项不符合题意；
D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴D选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．
解：令，
，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
7．D
【分析】先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数开口向上，再由增减性得到，进一步根据二次函数与x轴有交点，得到，由此可得．
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，且二次函数开口向上，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∵二次函数与x轴有交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
8．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
解：设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
9．C
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点判断出a，c的符号，再结合对称轴分别判断即可．
解：抛物线开口向上，因此，
与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确；
当时，图象在x轴上，对称轴为直线，
则当时，图象在x轴上，
即时，，所以②错误；
由图可知：时，随的增大而增大，所以③正确；
∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，共3个，
故选：C．
10．D
【分析】首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标，然后根据点的纵坐标满足，且m，n都为整数得到，然后分别代入，，求解即可．
解：联立二次函数与一次函数
得，
解得，
∵的纵坐标满足，且m，n都为整数，
∴，
∴当时，，
∴点P的坐标为或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或或；
∴当时，，
∴点P的坐标为或．
综上所述，这样的点P可以为或或或或或或，共7个，
故选：D．
二、填空题
11．1
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后变形代入即可.
解：∵抛物线向上平移3个单位长度后经过点，
∴点向下平移3个单位长度后得到的点在抛物线的图象上，
故，
∴，
∴，
故答案为：1．
12．
【分析】将二次函数的右边配方即可化成的形式．
解：根据题意得：
，
故答案为：．
13．
【分析】根据的开口方向以及对称轴的位置即可判断．
解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为，
∴离对称轴最近，值最小，离对称轴最远，值最大，
∴，
∴故答案为：．
14．
【分析】根据抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
解：∵将抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的新的抛物线的解析式是，
故答案为：．
15．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
解：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
16．有两个相等的实数根
【分析】根据图象中二次函数的最小值为，可得的根的情况．
解：由图象可知，二次函数最小值为，
一元二次方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
17．6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
解：由题意可得：，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：6．
18．
【分析】根据题干所给的解一元二次不等式的方法即可解答．
解：由题干及图象可知：
当时函数的图象位于x轴的下方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）∵二次函数的图像经过点、，
∴，
解这个方程组，得，
∴该二次函数的解析式是；
（2），
∴顶点坐标是；
对称轴是；
（3）∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
∴的面积．
由图像可得，当时，，
故时，的取值范围是．
20．
（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，
∴是方程的解，
故答案为：，；
（2）抛物线的对称轴为，
∴当或时y随x的增大而减小，
故答案为：（也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线经过点，
∴或时，，
故答案为：或；
（4）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
21．
解：（1）把，代入，
得：，
解得．
故这个二次函数的解析式为．
（2）∵该抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
22．
（1）解：依题知，得．
整理方程，得．
解得，．
，
，不合题意，舍去．
答：销售单价定为32元时，每天可获利336元．
（2）解：，
即．
，
∴抛物线的开口向下．
∴当时，w的值随着x值的增大而增大．
，
∴当时，．
答：日销售最大利润为375元．
23．
（1）解：把代入得：
，
当时，，
即，
解得：．
答：小球的高度为米时，所用时间为或；
（2）解：小球的高度不能达到米，
理由如下：
把代入得：
，
∴，
∵，
∴无实数解，
∴小球的高度不能达到米．
24．
（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．