沪科版九年级数学上册试题 相似形--折叠问题 同步练习 （含详解）

《相似形--折叠问题》
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，，把它折叠起来，使顶点A与C重合，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点、的对应点分别为、，与相交于点，的延长线经过点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若，则折痕DG的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．如图，在等腰中，，．点和点分别是边和边上两点，连接．将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处设与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A．3 B． C．2 D．1
二、填空题
11．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

12．如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是 ；若ME//CD，则AM的长度是 ；
13．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，设，
（1）若点恰为边的中点，则 ．
（2）设，则关于的函数表达式是 ．
14．如图，矩形中，，点、分别是和上的点，，，将矩形沿折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，点的对应点为，连接，则点到的距离为 ．
15．如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠，点落在上，与边交于点G．若点C恰好与的中点重合，且，则的值为 ．
16．如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为 ．
17．如图是一张四边形纸片，，，，，点M，N分别是，上的点，将沿直线翻折，将沿直线翻折，点A和点B落在同一点G处，再将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点D处，则的长为 ．
18．若一个三角形三边长的比为，则称这个三角形为“345三角形”．如图，在矩形中，，点在边上．将沿折叠，得到，再将沿过点的直线折叠，使边与重合，点的对应点为，折痕为．若是“345三角形”，则的长为 ．
三、解答题
19．问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：
在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点D恰好在边CG上．
问题解决：
（1）如图1，连接AC，CF，AF，AF与CG交于点H．
①的值为______，______．
②求GH的长．
如图2，若将四边形沿渞直线CP折叠，得到四边形，使得点B的对应点恰好在EF上，点A的对应点为，点G在上，求AP的长．
20．综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．矩形纸片中，，．
操作探究：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点落在边上，展开后折痕交于点E．
（1）的度数为______．
（2）求线段的长度．
拓展延伸：
如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点落在上，展开后折痕交于点F，连接．请判断的形状并说明理由．
21．如图，矩形中，P为上一点，且，连接，把矩形沿着折叠，点B落到，延长交延长线于Q，已知．
（1）若，求．
（2）若，求．
22．如图1将矩形分别沿过点的直线折叠，使点分别落在上的点E处和上的点H处，折痕为；
（1）求证：；
（2）若，，
①求；
②如图2，延长交于M点，求的长．
23．已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点．
（1）求的长；
（2）若，求证：；
（3）若点在线段上不与、重合，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在菱形的边上，画出图形并求的长．
24．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
① ；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．
答案
一、单选题
1．A
【分析】连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：连接，
矩形的顶点的坐标为，
，，
，
延长交的延长线于，
为的中点，为的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，
，，
，，
，
，
，，
，
过作于，
，
，
，
，
，，
，．
故选：A．
2．A
【分析】由折叠的性质可知，，，再由矩形的性质得到，，证明得到，利用勾股定理求出，则，证明，得到，由此代入对应的值求解即可．
解：由折叠的性质可知，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
3．A
【分析】根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．
解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，
∵点，的对应点分别为，，
∴，，
∴EF是AA＇的垂直平分线．
∴∠AOE=90°．
∵四边形是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD．
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°．
∴△EFH∽△GAD．
∴．
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFH是矩形．
∴FH＝AB．
∴；
故选：A．
4．A
【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解．
解：设，则，
由翻折可知，
，
，E是的中点，
，
由题意可知：
，
，
，
即，
解得，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
解得：，
故选：A．
5．C
【分析】过点E作于点H，令，，，则，，易证，得出，进而得出，则，根据勾股定理得出，最后求出的值．
解：过点E作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，则，，
∵为的中点，
∴，
由对折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
则，
解得，（负根舍去），
∴，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，由折叠的性质可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，再证明△BC′D'∽△C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．
解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，
又∵∠DAB=90°，
∴四边形ADED'是矩形，
∵AD=AD'，
∴四边形ADED'是正方形，
过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，
∵AD'ED是正方形，
∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，
∴D'B=EC=8-5=3，
在Rt△C′BD'中，C′D'=4，
∴C′E=5-4=1，
在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：
12+（3-x）2=x2，
解得：x=，
∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，
∴∠BC′D'=∠C′GH，
又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，
∴△BC′D'∽△C′GH，
∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，
设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，
∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，
解得：m=1，
∴C′G=5m=5，
∴FG=；
故选：C．
7．C
【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．
解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形AMNB为矩形，
∴
．
由折叠性质可得，
．
，
，
，即
．
故选：C．
8．D
【分析】因为点为线段的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①；② ．然后由一线三垂直模型可证 ∽，再根据相似三角形的性质求得 的值，最后由 即可求得 的长．
解：当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：
①如图1，当时，
∵∥，， ，
∴四边形为矩形，
∴， ， ．
由折叠的性质可得，．
在中，．
∵， ，
∴，
∴∽，
∴，即 ，解得 ，
∴．
②如图2，当时，
∵∥，， ，
∴四边形为矩形，
∴， ， ．
由折叠的性质可得，．
在中，．
∵， ，
∴，
∴∽，
∴，即 ，解得，
∴．
综上所述，的长为或 ．
故选：．
9．C
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，∠A=∠B=45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH=B′H=AB′，求得AH=B′H=1，由勾股定理得到BB′= ，由折叠的性质得到BF=，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，
如图，过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH=B′H=AB′，
∵AB′=，
∴AH=B′H=1，
∴BH=3，
∴BB′=，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BF=，DE⊥BB′，
∴∠BHB′=∠BFE=90°，
∵∠EBF=∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF=，
故答案为：
故选：C．
10．C
【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．
解：如图，过点作，交于点，

在和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
12． 5 2.5
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到 ADF∽ ABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明 MEF∽ CDF，最后求得AM的长．
解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ BCD∽ BAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折叠得到 EDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ ADF∽ ABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=，
∴CF=；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：=5：4，
解得：AF=，
设AM=ME=x，则MF=-x；
∵ME//CD，
∴ MEF∽ CDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（-x）：，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
13． 2
【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，证出AF = AB =CD，由点 B 恰好落在 CD 边上的中点 F 处，得出 DF =AF ，得 ∠DAF =30°，再求出∠CFE = ∠DAF =30°，即可得答案；
（2）先证△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．
解：（1）由折叠，得 AF = AB ， BE = EF ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = CD ， ∠D =90°，∠C =90°，
∵点 B 恰好落在 CD 边上的中点 F 处，
∴ DF =CD =AB = AF ，
在 Rt △ ADF 中，由 DF =AF ，得 ∠DAF =30°，
∵∠DAF + ∠AFD =90°，∠AFD + ∠CFE =90°，
∴∠CFE = ∠DAF =30°，
所以在 Rt △ ECF 中，，
∴，
∴x=2；
（2）∵△AFE是由△ABE折叠而来的，
∴△AFE≌△ABE，
∴BE=EF，AB=AF=CD，
∵∠EFC+∠AFD=90°，
∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFD=∠FEC，
∵∠ADC=∠BCD，
∴△AFD∽△FEC，
∴ ，
∴，
∵AB=AF=CD，BE=EF，
∴，
∴，
∵，，
∴1+=x，
∴=x-1，
∴y=（x＞1）．
14．
【分析】作EG⊥BC于G点，作CH⊥交延长线于H点，设，则，综合折叠与矩形的基本性质，在中运用勾股定理求解出的值，从而得到，，然后判断出，利用相似三角形的性质求出CH的长度即可．
解：如图所示，作EG⊥BC于G点，作CH⊥交延长线于H点，
则点到的距离即为CH的长度，
∵，
∴设，则，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
又∵EG=AB=CD=，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
经检验，是上述方程的解，
故答案为：．
15．
【分析】首先得出，再根据翻折的性质得出，得出，最后利用勾股定理得出结果．
解：∵点C恰好与的中点重合，
∴，
由翻折的性质得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
设，
∴，
在Rt 中，
CF=，
∴AD=BC=BF+FC=，AB==2a，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．
解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形AMNB为矩形，
∴
．
由折叠性质可得，
．
，
，
，即
．
故答案为：
17．17
【分析】首先根据平行线的性质可得，再根据翻折的性质，可得，，，，，，，GD=8cm，设，则GN=acm，DN=（8+a）cm，再由折叠的性质可得，
可求得，据此即可求得a的值，即可求得BC的长．
解：
沿直线翻折后得到，沿直线翻折后得到
，，，，，
设cm
则cm
、G、N三点共线
cm
由对折知，
且
得，解得
故
故答案为：17
18．或
【分析】由折叠的性质，易得，分或两种情况进行讨论求解．
解：由折叠的性质可知，
，，．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵是“345三角形”，
∴或．
①若，设，则，，
∴，
∴．
∴，解得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
②若，同理，可得．
综上所述，的长为或．
三、解答题
19．
解：（1）①由题意可得旋转后得到，是旋转角，故
∵在矩形中，∠B=900，，
∴在中，
是由旋转得到
，
故答案为：；
②∵
∴，
∴，即，
解得.
（2）如图，连接
∵，
∴
∵
∴.
在中，
在中，
设，则
∴，，
在中，
∴
解得
∴
20．
解：（1）∵由题意可得，
∵矩形纸片中，，
∴
∴
∴，
故答案为：45°；
（2）∵矩形纸片中，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（3）∵
∴
由折叠的性质可得，，
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∴，即
又∵
∴
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形．
21．
解：（1）设，
∵沿着折叠，点B落到，，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
根据勾股定理，得，
∴，
解得（舍去）
∴．
（2）设，则，
∵，矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
设，
∵沿着折叠，点B落到，，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
根据勾股定理，得，
∴，
解得（舍去）
∴．
22．
（1）解：如图：
∵是由折叠得到的 ，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴，即，
∴，；
②过M作于N，
由折叠知，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
设，则，
∴，
∴， ，
∴．
23．
（1）解：∵是菱形，，
∵
∴
∴
（2）∵，，
∴，,
∴,
∴,
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当点在边上时，当点在边上时，延长交于，

由折叠知，则
由（2）可知
∴
如图，当点落在边上时，

由折叠可知
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴的长为或，的长为或．
24．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45；
②判断正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
①当点F在的延长线上时，
∴，

设与交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得： ，
∴．
②当点F在上时，

∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴,
∴
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
∴，解得：．
∴．