21.2解一元二次方程重难点检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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21.2解一元二次方程重难点检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．实数a、b满足，则b的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
2．若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．2 B． C． D．3
3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
4．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．根的判别式 B．两根之和为
C．两根之积为 D．方程的解，
5．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等腰，为钝角，，点P，M，Q分别是，， 上的动点．若的最小值为，则的长为（ ）．
A．25 B．24 C．20 D．15
7．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
二、填空题
9．请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程： ．
10．已知a、b是方程的两个实数根，则 ．
11．已知关于x的方程， 、是此方程的两个实数根，现给出的三个结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是 ．
12．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
14．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 ．
15．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍．
三、解答题
17．用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知关于的方程．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)当该方程的一个根为时，求方程的另一个根．
19．关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程两实根 满足，求的值．
20．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
21．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积的最大值．
22．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
(1)试判断的形状；
(2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D D B A A
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于a的一元二次方程有实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵实数a、b满足，
∴关于a的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴b的最大值为3，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，设另一个根为，根据一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：设另一个根为，则：，
∴．
故选：C．
3．C
【分析】根据方程的解的定义得出，，据此代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握方程的解的定义和整体代入思想的运用．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故选：C．
4．D
【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键．
由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得．
【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为，
，
∴A正确；
B、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴B正确；
C、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴C正确；
D、解方程，
，
∴，
∴，
∴D不正确．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，再提出公因式，求出解即可．
【详解】，
移项，得，
提公因式，得，
则或，
∴，．
故选：D．
6．B
【分析】过点B作，过点C作，在上取点使，连接，过点A作，延长，过点B作于点E，四边形为菱形，得出，证明，得出，说明，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出当、M、Q在同一直线上，且时，最小，求出，设，，则，求出或，根据为钝角，得出，说明不符合题意，得出．
【详解】解：过点B作，过点C作，在上取点使，连接，过点A作，延长，过点B作于点E，如图所示：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴当、M、Q在同一直线上，且时，最小，
∵，
∴此时，
∴，
∵，，
∴，
设，，则，
∴，
解得：或，
当时，，
∵为钝角三角形，为钝角，
∴，
∴此时不符合题意，
当时，，
∵，
∴，符合题意，
即的长为24．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
7．A
【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可．
【详解】解：配方法为：，
，
，
，
∵当原方程变形为时，，，
∴．
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，
故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，
故④正确．
故选：A．
9．（答案不唯一）
【分析】先根据一元二次方程的解法一因式分解，写出方程，再化为一般形式．
本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，即：
，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再由多项式乘以多项式的计算法则得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．①②③
【分析】①可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
②根据两根之积就可以判定是否正确；
③利用根与系数的关系可以求出的值，然后也可以判定是否正确．
本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系， 及一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为 则，反过来也成立．
【详解】解：①∵方程 中，
，
，故①符合题意；
故②符合题意；
③即
又，
，
故③符合题意；
故答案为：①②③．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键．
【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为∶．
13．11
【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和三角形三边之间的关系，先利用因式分解法解方程，然后三角形三边关系求得符合要求的第三边，即可求得周长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴三角形的第三边长是4，
∴该三角形的周长为：．
故答案为：11．
14．
【分析】本题考查了配方法解方程，先移项再配方得，与对比，得，然后代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
∵用配方法解方程时，可将方程变为的形式
∴
∴
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
，即，
解得：．
原方程有两个不相等的实数根，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程．
【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”，
第个图形中有个“●”和个“★”，
第个图形中有个“●”和个“★”，
，
∴第个图形中有个“●”和个“★”，
∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍，
∴，解得：，（舍去），
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】（1）整理后，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）整理后，求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：
∴，
∴，
解得：，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，，
解得：，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
18．(1)；
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（）时，方程有两个不相等的实数根；（）时，方程有两个相等的实数根；（）时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
（1）根据根的判别式得到关于的不等式，从而求得的范围；
（2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程，即可求出方程的另一根．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围为；
（2）解：设方程的另一根为，
根据题意得：，
∴，
∴方程的另一根为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
则当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵方程两实根 ，
∴，
∴，
∴．
20．(1)是
(2)或
【分析】本题考查解一元二次方程，理解新定义，是解题的关键：
（1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可；
（2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可．
【详解】（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
21．(1)；
(2)；
(3)山羊活动范围面积的最大值是平方米．
【分析】（）根据得到，整理即可得到答案；
（）根据列出代数式即可；
（）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案；
此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：依题意得：，
∴，
∴；
（3）解：
，
又因为，，
∴，
∴，
∴山羊活动范围面积的最大值是平方米．
22．(1)是直角三角形；
(2)当点出发或时，四边形的面积为．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
或5，
当点出发或时，四边形的面积为．
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