21.3实际问题与一元二次方程重难点检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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21.3实际问题与一元二次方程重难点检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A． B． C． D．
2．宏碁村2020年的人均收入为万元，2022年人均年收入为万元．设人均年收入平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商品原价为200元，连续两次平均降价的百分率为，连续两次降价后售价为146元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
7．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）沿地面退行，在离木柱根部尺处时，绳索用尽”．设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．据不完全统计，2021年惠州市沿海地区接待旅游人数达1400万人次．预计2023年的人数会增加到2016万人次，设每年的旅游人数平均增长率为x，根据题意列方程为： ．
10．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．
11．如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为 ．
12．某种植物的一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干、小分支一共是43个，根据题意列出关于的方程为 ．
13．为执行“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费4900万元，2013年投入6400万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么可以列出的方程为
14．某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是
15．将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ．
16．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于．
三、解答题
17．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
18．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
19．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为.
(1)求道路的宽是多少米
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民
20．重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍，
(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
21．某商店以20元千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间为一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售利润达到900元，销售单价应定为每千克多少元？
22．已知是等腰直角三角形，．

(1)当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
(2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B A A C A B
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，根据题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，
由题意可得，，
解得，（不合，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人，
故选：．
2．B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据“2020年的人均收入为万元，2022年人均年收入为万元．人均年收入平均增长率为x”列出方程即可．
【详解】解：设人均年收入平均增长率为x，则
，
故选：B
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确每次降价前的价格．
第一次降价后价格为，第二次降价后价格为整理即可．
【详解】解：第一次降价后价格为，
第二次降价后价格为．
故选B．
4．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据的长表示出线段或线段的长，利用矩形的面积列出方程即可．
【详解】解：设的长为x米，则，
根据矩形的面积得：
故选：A．
5．A
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，可得每位同学收到份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，即可求解．
【详解】解：设全班同学有名学生，根据题意可得，
，
故选：A
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键．根据每一个矩形的面积都是35建立方程即可．
【详解】解：利用所给的数据，能得到的方程是，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设绳索的长为x尺，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】解：设绳索的长为x尺，根据题意得，，即，
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每年的旅游人数平均增长率为x，则2022年的旅游人数为万人，2023人旅游人数为万人，再由2023年的旅游人数为2016万人列出方程即可．
【详解】解：设每年的旅游人数平均增长率为x，
由题意得，，
故答案为：．
10．5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“每两个人都握一次手，所有人共握手10次”，列式求解即可．
【详解】解：设有人参加聚会，
根据题意得，，
整理得，
解得（舍去），．
所以有5人参加聚会．
故答案为：5．
11．/1 米
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为 ，宽为的矩形，根据试验田面积为，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．
【详解】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得
，
化简得．
解得：，（不合题意舍去）
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据主干、支干、小分支一共43个，列出方程．
【详解】解：∵一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，
∴一个主干，可以长出支干的个数为x，分支的个数为，
∴根据题意列出关于的方程为：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，根据题意列方程即可．
【详解】解：根据题意列方程，得，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，根据题意得：
．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分可得，列方程可解答．
【详解】解：如图，将图形补成长方形，
设正方形③的边长为，则，，
正方形①、②的边长分别是，，
线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，
，
，
，
解得：，，
则正方形③的边长为或．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后秒时，线段的长度等于，可列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设出发后秒时，线段的长度等于，依题意得，
，
整理得，，
解得（不符合题意，舍去），，
∴出发后秒时，线段的长度等于，
故答案为：．
17．每件工艺品单价应降25元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可．
【详解】解：设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，
依题意，得：，
整理，得，
解得：，
尽快减少库存，（舍去），
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元．
18．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得：，
解得：，（舍），
∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为．
19．(1)米
(2)上涨元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）道路的宽为米,
由题意得：
整理得：
解得： (不合题意，舍去)，
答：道路的宽是米；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元,
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
20．(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
(2)m的值为2
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价；
（2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
（2）第一次购买大罗非的数量是（斤）．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：m的值为2．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程在利润问题中的应用；
（1）由图象得经过，，设，用待定系数法，即可求解；
（2）由销售利润每千克利润销售量，列方程，即可求解；
掌握待定系数法，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：①当时，
；
②当时，
设，由图象得经过，则有
，
解得：，
；
综上所述：；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得，
答：销售单价应定为每千克元．
22．(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，，
由“”可证，可得，即可求解；
②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解；
（2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作于 N．

∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
设， 则．
，
，
或
∴或 ，
（2）设等腰的直角顶点为 D，
若 D 在上， 如图3．

取的中点Q， 连接， 则
∵是直角边长为1的等腰直角三角形()．
∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰中， 当时，的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．

由知
设．
则
解得
当s取最大值时，
∴的最大值为 ．
综上，的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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