22.1二次函数的图像和性质重难点检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.1二次函数的图像和性质重难点检测-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．直线， B．直线，
C．直线， D．直线，
3．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．当时，与的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0
C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值
7．抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　）
A．对称轴是直线 B．当时，
C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中错误结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．二次函数在上有最小值，则a的值为 ．
10．二次函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围是 ．
11．抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为 ．
12．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为 ．
13．直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ．
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
15．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点．求抛物线的解析式．
16．已知抛物线其中，且．
(1)直接写出关于x的一元二次方程的一个根；
(2)证明：抛物线的顶点A在第三象限．
17．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
18．我们把自变量为x的函数记作，表示自变量时，函数的值．已知函数．
(1)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数b的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
20．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B D A C B A
1．A
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是，即，
故选：A．
2．A
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可．
本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握坐标公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴、顶点坐标分别是直线，．
故答案为：A．
3．B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值就越小”可进行求解
【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴，，，
∵，且开口向上，
∴；
故选B．
4．D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，、则a、b同号，
当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点．
【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点，
∴关于直线的对称点为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的最值问题解答即可，准确识图是解题的关键．
【详解】解：由图可知，时，
该二次函数时，有最小值，
时，有最大值，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意；
B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意；
C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意；
D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线可知：，，
对称轴，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，
∴，故②正确；
③关于的对称点为，
∴时，；
④当时，y的最小值为，
∴时，，
∴，
即，故④错误；
故选：A．
9．或
【分析】本题考查二次函数的性质，分，及讨论即可得到答案；
【详解】解：①当，
∵二次函数在上有最小值，
∴，
解得：，，不符合题意，
②当，函数在上y随x增大而增大，
∵二次函数在上有最小值，
∴，
解得：，
③当，函数在上y随x增大而减小，
∵二次函数在上有最小值，
∴，
故答案为：或．
10．/
【分析】本题考查二次函数的性质，对于任意都有成立，则二次函数开口向下，且与轴没有交点，据此计算即可．
【详解】解：∵二次函数，若对于任意都有成立，
∴二次函数开口向下，且与轴没有交点，
∴，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关于轴对称的两点坐标相同，坐标互为相反数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵关于轴对称：则变为，
∴，
∴抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．
根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后可得：，
故答案为：．
13．或/或
【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点，
①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
∴点B坐标为，
将代入得，
解得；
②直线不与y轴重合时，设直线解析式为，
令，
，
当时满足题意．
，
把代入得，
∴直线与x轴交点D坐标为，即，
作交直线于点E，过点E作轴于点F，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
∴点E坐标为．
将代入直线解析式得，
解得．
，
．
故答案为：或．
14．①③④
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，
∴当时， ，
∴，所以②错误；
∵时，二次函数有最大值，
∴m为任意实数时， ，
∴，即，所以③正确；
∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
即，
而，
∴，解得，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，然后代入日阐述解析式求解即可．
【详解】解：对于直线，
∵当时，；当时，，
∴，
∵抛物线经过A，B两点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为．
16．(1)1
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，结合，，求出结果即可；
（2）先求出对称轴为直线，把代入，得出，说明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴的一个根为1．
∵，
∴的两根之和为：，
∴的另一个根为．
（2）证明：∵，
∴对称轴，
将代入，得，
∵，，
∴，
∴，
∴顶点在第三象限．
17．(1)
(2)11
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据对称轴求解即可；
（2）根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可；
【详解】（1）∵点在二次函数的图象上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
∴；
（2）∵点在的图象上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到的新二次函数为，
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为1，
当时，函数有最大值，最大值为，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
18．(1)
(2)
【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）根据当时，不等式恒成立，得出当时，恒成立，根据函数性质即可得，，求解即可；
（2）先求出在上的取值范围是，在上的取值范围是，根据对任意，存在，使得．得出且，求解即可；
【详解】（1）解：当时，不等式恒成立，
即当时，恒成立，
函数的对称轴，开口向上，在处取得最小值，
所以只需要，
解得．
（2）解：∵，对称轴为，开口向上，
当时，时，取得最小值，，
时，取得最大值，，
故在上的取值范围是，
同理在上的取值范围是，
对任意，存在，使得．
所以满足，且，
解得：．
19．(1)，，
(2)①6；②且；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；
③，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）解：①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
20．(1)，，；
(2)存在，，，，；
(3)存在点M使最小，
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可．
【详解】（1）解：将代入，
即，
解得，
，
令，，
令，，
解得，
；
（2）解：存在点P，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，
解得；
②当，，
，
解得；
③当，，
，
解得或，
综上所述，或或或；
（3）解：存在
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
联立方程组，
解得．
故．
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