22.2二次函数与一元二次方程重难点检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.2二次函数与一元二次方程重难点检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．方程的根可看作是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象过点，方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5
C．当时，
D．直线与二次函数图象有两个交点
二、填空题
9．把抛物线向上平移9个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 ．
10．已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 ．
11．已知二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且与x轴没有交点，请写出一个满足条件的b的值： ．
12．二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，抛物线与直线交于两点，则关于的一元二次方程的解是 ．
14．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．
15．如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
16．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)画出该函数的图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
18．二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)求的面积．
19．二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数．
求：
(1)的值；
(2)二次函数的图象与轴交点的坐标．
20．已知：关于的函数．
(1)当为任意实数时，这个函数的图象恒过某定点（所谓定点，就是与值无关的点），求此点坐标；
(2)若此函数的图象是抛物线，且与轴有两个相异交点、，其坐标分别为，，其中，
①求的取值范围，并求当为何值时，、两点的距离等于；
②连接、得，则当取何值时，的一个内角等于．
21．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
(3)点、为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C C B D D
1．A
【分析】此题主要考查一元二次方程与函数图象的关系、利用二次函数图象的对称性求对称轴，理解一元二次方程的解与函数图象的关系是解题的关键．
根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标，再根据对称性即可得到对称轴．
【详解】的两个实数根分别为，，
抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
抛物线的对称轴为直线．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点性质，是解决问题的关键．
根据二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，求出，方程为，解得（方法不唯一）．
【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标；
先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：的对称轴为，
与关于直线对称．A点的坐标是∶，
线段的长度；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标的取值范围即可
【详解】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为和，
∴当时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴当时，x的取值范围是，
故选：C
5．C
【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根所在的范围．本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
【详解】解：如图：
方程，
，
它的根可视为和的交点的横坐标，
当时，，，交点在的右边，
当时，，，交点在的左边，
又交点在第一象限．
，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标
∴方程的解为，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：由题意可知，当时，，
∵，
∴当时，，
即，
∴时，，
∵图象经过点，
∴当时，，
即，，
解得：，，
∵对任意实数，恒有，
∴恒成立，即，
∴，即，
解得：，
此时，
∴抛物线的表达式为，
故选：．
8．D
【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，
∴二次函数解析式为，即，故A错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点，
∴图象与轴交于另一点，
∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误；
将代入，得
∴
当时，；当时，，
∵图象开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，
∴当时，，故C错误；
令，整理得，
∴，
∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确；
故选：D．
9．6
【分析】先得到解析式为，令得到求得方程的根，计算解答即可．
本题考查了抛物线的平移，交点间距离，熟练掌握平移是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得解析式为，
令得，
解方程得，
故，
故答案为：6．
10．2025
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解．
利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
即，
．
故答案为：2025．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与轴的交点问题，根据对称轴在轴的左侧得出，根据二次函数与x轴没有交点得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴满足条件的b的值可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12．或
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数图象在x轴上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为，则由函数图象可知，当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或．
13．或
【分析】本题考查抛物线与一次函数的关系，一次函数与抛物线的两个交点的横坐标即为二者联立得到的一元二次方程的两个解，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，
∴点横坐标分别为，
关于的一元二次方程的解是或．
故答案为：或．
14．15
【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键．
【详解】解：当时，，解得或3，则，，
当时，，则，
∴，，
∴，
故答案为：15．
15．/
【分析】本题主要考查了根据二次函数图象求不等式的解集，先根据对称轴和点B的坐标求出抛物线与x轴的另外一个交点，根据函数图象，求出不等式的解集即可．
【详解】解：对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点与关于直线对轴，
，
不等式，
即，
抛物线的图形在轴上方，
．
故答案为：．
16．①②④
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断.
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是，
∴抛物线与x轴的另一个交点为.
∴时，，即，
∵，
∴，故③错误；
④∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值n，
∴抛物线与直线无交点.
∴一元二次方程无实数根. 故④正确，
故答案为：①②④．
17．(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，画出二次函数图象等知识，
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）见详解；
（3）数形结合，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：将代入
得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：列表：
x …… 0 1 2 3 4 5 ……
y …… 8 3 0 0 3 8 ……
描出点，再连线可得，图象如图所示：
（3）解：由函数图象得，顶点为，
∴当，，
∴y的取值范围为．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出的值，然后求抛物线与轴的交点坐标，通过解一元二次方程，就可以求出另一个交点坐标；
（2）由（1）中的函数解析式求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据点、的坐标求得线段的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
当时，，
即：，
分解因式，得：，
解得：，，
点的坐标为；
（2）解：如图，
由（1）可知：，
当时，，
点的坐标为，
，
又，，
，
，
即：的面积是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键．
19．(1)；
(2)，
【分析】（）利用抛物线图象与轴交点个数得出求出即可；
（）根据（）中所求以及，得出的取值范围，进而利用图象与轴交点的横坐标都是整数得出的值，进而得出答案；
此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点是解题的关键．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
解得：；
（2）将代入二次函数解析式得：，
∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴，
解得：，
∵是小于的整数，
∴，
∴或，
∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数，
∴当时，即与轴交点坐标为：，，
当时，，与轴交点坐标为，不合题意舍去，
∴二次函数与轴交点坐标为：，．
20．(1)
(2)①且；当或时，、距离等于；②或
【分析】（1）把函数的解析式化成含的部分与不含的部分两部分的组合，便可求得函数的图象经过的定点坐标；
（2）①二次函数与轴有两个不同交点即对应一元二次方程有两个不同解，即，再结合二次函数二次项系数不为可求的范围；先求出，，再利用，代入即可求解；
②分三种情况：，，．前两种情况可利用构造等腰直角三角形求出、两点坐标，再代入抛物线的解析式便可求得，后一种情况利用三角形的面积建立的方程解答．
【详解】（1）解：，
当时，即时，，
∴不论为任意实数，函数的图象过定点；
（2）解：①∵此函数的图象是抛物线，且与轴有两个相异交点、，其坐标分别为，，
∴，且，
，，
∴的取值范围为且，
∵，，其中，
∴，
所以，
化简得：，
解得：，，
两数均符合题意，
故当或时，、两点的距离等于；
②的一个内角等于，
（Ⅰ）若，过作轴于，如图1，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
（Ⅱ）若，同（Ⅰ）方法可得，
把代入中，
得：，
解得：（不合题意，舍去）；
（Ⅲ）若，过作于点，如图2，
则为等腰直角三角形，，
又由，
得：，即，
，
把代入中，
得：，
，
，
同理，
，
又，
，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，二次函数与轴交点问题，等腰直角三角形的判定与性质，解此题的关键是求出点的坐标和构造等腰直角三角形，注意分类讨论．
21．(1)
(2)P点坐标为或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，线段的问题，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据解析式求得点的坐标，再求得直线解析式，设，分两种情况求解即可；
（3）根据题意可得，点的横坐标为或4，点的横坐标为或6，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据点在点的左侧分两种情况讨论即可．
【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
当时，，
点坐标为，
设直线的解析式为，则：
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
①当时，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
②当时，，
解得：，（舍去），
此时点坐标为；
综上，点点坐标为或；
（3）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为：，
点、到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
点的横坐标为或4，点的横坐标为或6，
则点的纵坐标为，点的纵坐标为，
又点在点的左侧，
当坐标为时，点的坐标为，
则，
当坐标为时，点的坐标为，
则，
的取值范围为．
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