2024-2025学年湖北省黄石十五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省黄石十五中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
3.某次文艺汇演中若干名评委对九班节目给出评分，在计算中去掉一个最高分和最低分．这种操作，对数据的下列统计量一定不会影响的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.在平面直角坐标系中，一次函数的图象是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在 中，平分，，，则 的周长是( )
A. B.
C. D.
7.要得到抛物线，可以将( )
A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
8.关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知二次函数是常数的图象关于直线对称，则下列五个结论：；；；为任意实数；其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
11.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．
甲 乙 丙 丁
平均数环
方差
12.如图，已知，，，，，则图中阴影部分的面积为______．
13.菱形的对角线，，于，则的长是______．
14.如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并
延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．
在下列结论中：； ； ，
其中正确的结论有______填正确的序号
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
16.本小题分
解下列方程
；
．
17.本小题分
已知：如图，矩形的对角线与相交于点，，．
求证：；
求的长．
18.本小题分
已知关于的方程
当该方程的一个根为时，求的值及该方程的另一根
求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根．
19.本小题分
如图，直线过点，，．
求直线的函数解析式和的值；
求的面积．
20.本小题分
某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有道，每题分，测试成绩绘制成表在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图和图设定分及以上为合格，分析两次测试结果得到表．
表
分数分
人数人
表
平均数分 众数分 中位数分 合格率
开展活动前
开展活动后
根据统计图表中的数据，解答下列问题：
______， ______， ______，补全图中的条形统计图；
若该学校七、八、九年级共有名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数；
请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果．
21.本小题分
有一批图形计算器，原售价为每台元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为元，买两台每台都为元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减元，但最低不能低于每台元；乙公司一律按原售价的促销．某单位需购买一批图形计算器：
若此单位需购买台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
若此单位恰好花费元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
22.本小题分
如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连接．
若点为的中点，求证：点为的中点；
若点为的中点，，，求的长；
若正方形边长为，直接写出的最小值______．
23.本小题分
如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
求此抛物线的解析式．
求此抛物线顶点的坐标和对称轴．
探究对称轴上是否存在一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.丁
12.
13.
14.
15.解：原式
；
原式
．
16.解：；
，，，
，
，
，；
，
，
，
则，
或，
解得，．
17.证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
解：四边形是矩形，
，
，
，即，
，，
解得，
．
18.解：将代入原方程，得：，
解得：，
方程的另一根为．
答：的值为，方程的另一根为．
证明：，即，
不论取何实数，该方程都有两个实数根．
19.解：设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
即的值为．
设直线与轴交于点，连接，，如图所示．
当时，，
点的坐标为．
．
20.开展活动前 分的人数最多，
众数是分，
开展活动后，参加的人数为人，
获得分的人数有人，
获得分的有：人，
第个，个数据为分，分，
中位数为分，
合格率为：；
补全的条形统计图如图所示：
；
名．
答：在开展校园防欺凌教育活动后，对防欺凌相关知识掌握合格的学生约有名．
本次校园防欺凌教育活动的效果良好，理由如下：
开展校园防欺凌教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展活动前高得多，所以本次校园防欺凌教育活动的效果良好．
21.解：在甲公司购买台图形计算器需要用元，
在乙公司购买需要用元元，
应去乙公司购买；
设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；
若在乙公司购买则需要花费元；
若该单位是在甲公司花费元购买的图形计算器，
则有，
解之得，．
当时，每台单价为，符合题意；
当时，每台单价为，不符合题意，舍去．
若该单位是在乙公司花费元购买的图形计算器，
则有，解之得，不符合题意，舍去．
答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了台．
22.证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点为的中点，
，
，
，
点为的中点；
解：延长到，使得，连接，
，
．
点为的中点，
由可知，
在和中，，，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：取的中点，连接，，
，
，
．
，
、、共线时，的值最小，最小值为．
23.解：抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得，，
即此抛物线的解析式是；
，
此抛物线顶点的坐标是，对称轴是直线；
存在一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，
设点的坐标为，
当时，
，
解得，，
即点的坐标为；
当时，
，
解得，，
即点的坐标为或；
当时，
，
解得，，
即点的坐标是或，
当点为时与点重合，故不符合题意，
由上可得，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标为或或或．
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