2024-2025学年湖南省怀化市溆浦一中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省怀化市溆浦一中九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.下列函数：，，，，，，，其中是的反比例函数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.若方程是关于的一元二次方程，则的值为( )
A. B. C. D. 不存在
3.关于反比例函数，点在它的图象上，下列说法中错误的是( )
A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限
C. 点和都在该图象上 D. 当时，
4.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.九章算术是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽另有一竹竿，也不知竹竿的长短竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长若设门的对角线长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知，是不为的实数，且，若，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，点、是反比例函数图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
与的面积相等；
四边形的面积不会发生变化；
与始终相等；
当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是______．
12.若点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是______用“”连接．
13.如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为______．
14.已知一个一元二次方程的二次项系数是，一个根是，另一个根是，则这个方程为______．
15.设，分别为方程的两个实数根，则______．
16.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：
与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______．
17.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点，，，，在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为，，，，，横坐标分别为，，，，共个偶数，过点，，，分别作轴的垂线，与的图象交点依次为，，，，，则______．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（3分）已知是关于的反比例函数，求的值．
19.（8分）解下列方程：
；
．
20.（6分）已知：与成正比例，与成反比例，，当时，，时，，求与的函数解析式．
21.（8分）已知关于的方程．
取什么值时，方程有两个实数根．
如果方程有两个实数根，，且，求的值．
22.（8分）已知关于的函数图象经过点．
用含的代数式表示；
当时，若反比例函数的图象也经过点，求的值．
23.（8分）大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？
24.（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线交轴于点．
求反比例函数和一次函数的解析式．
直接写出的解集．
若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．
25.（8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
若一元二次方程是“倍根方程”，则______；
若是“倍根方程”，求代数式的值；
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
26.（12分）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点、重合，连接、设点的运动时间为秒．
求的长；
用含的代数式表示的长；
在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
点在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点为顶点的等腰三角形且不是直角三角形时，直接写出的值．
参考答案
1.
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17.
18.解：因为是关于的反比例函数，
所以，解得，，
所以，
所以．
19.解：，
，
，
，
解得；
，
，，，
，
，
解得．
20.解：与成正比例，，
与成反比例，，
，
，
当时，，时，，
，
，
．
21.解：方程有两个实数根，
，
解得：；
方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：．
22.解：关于的函数图象经过点，
；
当时，则，
反比例函数的图象也经过点，
，
的值为．
23.解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币个，款纪念币个；
设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值元，
此时个．
即购买个款，个款，网店可获得的最大利润是元；
设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元．
24.解：将点代入得，，
，
将点代入得，，
，
将点，代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
由图象知：当或时，；
当时，，
，
，
，
点在的垂直平分线上，
点的横坐标为，
．
25.；
解方程得，，．
方程两根是倍关系，
或，
当时，，即，
代入代数式，
当时，，即，
代入代数式．
综上所述，；
根据“倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是．
26.解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得；
，，
，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，
当点在上运动时即时，
有，
，
当点在上运动时即时，
，
综上所述，当时，；当时，；
当点在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
当点在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或；
点在上运动，图中存在以点为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
为等腰三角形，，
，
整理得，解得不合题意，舍去，，
为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或．
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