2024-2025学年安徽省A10联盟高二上学期9月初开学摸底考数学（B卷）试题（含答案）

2024-2025学年安徽省A10联盟高二上学期9月初开学摸底考
数学试题（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的人的成绩单位：分为：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，，，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是( )
A. B. 事件与事件互斥
C. 事件与事件相互独立 D.
5.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，为上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.瑞士数学家欧拉于年提出了著名的欧拉公式：其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 的虚部为
B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
10.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 当时，的值域为
D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数的取值范围为
11.如图，为棱长为的正方体表面上的一个动点，则( )
A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为
C. 使得直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，若，则 ．
13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为米秒，若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为米秒，另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为米秒，两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米
14.已知是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
试估计游客满意度得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和第百分位数．
六安文旅月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知月日月日调查的万份数据中其满意度的平均值为，方差为：月日月日调查的万份数据中满意度的平均值为，方差为由这些数据计算月日月日的总样本的平均数与方差．
16.本小题分
已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且．
求
若，求周长的取值范围．
17.本小题分
如图，矩形中，，，为边上的一点现将沿着折起，使点到达点的位置．
如图，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面
如图，设点在平面内的射影落在线段上．
求证：平面
当时，求直线与平面所成的角的余弦值．
18.本小题分
设函数，．
判断函数的奇偶性，并讨论其单调性不需证明单调性
求证：
若在区间上的最小值为，求的值．
19.本小题分
对于集合和常数，定义：为集合相对的的“正弦标准差”．
若集合，，求相对的的“正弦标准差”
若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值若存在，求出，的值若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意知，，所以，
所以满意度得分的平均值为，
因为，，
所以第百分位数位于第三个区间内，
所以第百分位数为分
把月日月日的样本记为，其平均数记为，方差记为，
把月日月日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，
则总样本平均数，
由方差的定义，样本总方差为：
所以，
所以总样本的平均数为，方差为．

16.解：因为，
所以，
即，
即，
即，
又，故，即，
因为，所以．
由得，，则．
由正弦定理，
得，C.
所以
因为且，，则，
故B，，
所以，
所以周长的取值范围为．
17.解：如图，取中点，连接，．
因为为边的中点，所以且，
又，分别为，的中点，则且，
故且，所以为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
由题意得，平面，平面，所以．
又，，、平面，
所以平面．
连接，因为平面，
所以直线与平面所成的角为．
在中，，
在中，，
在中，，
所以，
即直线与平面所成的角的余弦值为．

18.解：由题意得，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，
在上单调递增．
．
，
设，则，且，
那么函数转化，
当即时，，解得．
当即时，，解得舍．
当即时，，解得．
综上，或．
19.解：因为集合，，
由定义．
由“正弦标准差”的定义
要使是一个与无关的定值，则
由得 ，
又因为，，所以，
所以，
代入得，化简得，
又因为，所以，
即，时，相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值．
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