2024-2025学年四川省内江市第一中学高二上学期开学考试数学试题（含答案）

2024-2025学年四川省内江市第一中学高二上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
2.设复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.某射击运动员射击次的成绩如下表：
第次 第次 第次 第次 第次
环 环 环 环 环
下列结论正确的是( )
A. 该射击运动员次射击的平均环数为 B. 该射击运动员次射击的平均环数为
C. 该射击运动员次射击的环数的方差为 D. 该射击运动员次射击的环数的方差为
4.已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
5.柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，中，为边的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.当时，曲线与的交点个数为 ．
A. B. C. D.
8.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，与的夹角为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. ， B.
C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数
11.我们知道正余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的值为 ．
13.为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场再随机从草场中捕捉只，若尾巴上有记号的兔子共有只，估计此草场内约有兔子 只
14.某高校的入学面试中有道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，，
求角；
以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积．
16.本小题分
年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．如图是该地家中小微企业的专项贷款金额万元的频率分布直方图：
确定的值，并估计这家中小微企业的专项贷款金额的中位数结果保留整数；
按专项贷款金额进行分层抽样，从这家中小微企业中随机抽取家．记专项贷款金额在内应抽取的中小微企业数为．
求的值；
从这家中小微企业中随机抽取家，求这家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率．
17.本小题分
已知函数的最大值为，
若的定义域为，求的单调递增区间；
若，，求的值．
18.本小题分
如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系中，完成如下问题：
若，，求的坐标；
若，，且，求实数的值；
若，，求向量的夹角的余弦值．
19.本小题分
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，
若，，，求面积；
用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：；，其中；
若，且，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：由，
可得：
，
又，
所以，即
由题意得，，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则；

16.解：由频率分布直方图，得，解得．
设中位数为，专项贷款金额在内的频率为，在内的频率为，
所以中位数在内，所以，解得，
所以估计这家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元．
由题意，得抽取比例为，
专项贷款金额在内的中小微企业有家，
所以应抽取家，所以．
在抽取的家中小微企业中，专项贷款金额在内的有家，记为，，，，专项贷款金额在内的有家，记为．
从这家中小微企业中随机抽取家的可能情况为，，，，，，，，，，共种，
其中这家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况为，，，，共种，所以所求概率．
17.解：将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
由知．
由，得，
所以又因为所以，
所以．
所以，
所以．

18.解：若，，则，
则
故的坐标为．
若，，且，
则，，
由已知得，．
所以
，解得．
若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为．

19.解：因为，，，
所以．
选：
．
选：
，
记，则．
因为，所以，
由正弦定理边化角得，
所以，即，
由解得，所以，
因为
，
所以当时，取得最大值．

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