2024-2025学年山东省潍坊市部分学校高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年潍坊市部分学校高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知直线，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.已知点与关于直线对称，则，的值分别为( )
A. ， B. C. ， D. ，
4.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. B.
C. D.
5.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
7.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，为正整数，依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，为正整数若，当为 时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A. 或 B. 或
C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
10.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A. 若点，，则
B. 若点，，则在轴上存在点，使得
C. 若点，点在直线上，则的最小值是
D. 若点在圆上，点在直线上，则的值可能是
11.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 ．
13.在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到的距离，则此点的坐标为 ．
14.梵高星月夜用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空假设月亮可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，_______，从条件、条件、条件中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
求直线的方程；
求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件：点关于直线的对称点的坐标为；
条件：点的坐标为，直线过点且与直线平行；
条件：点的坐标为，直线过点且与直线垂直．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
已知圆的圆心为，且圆______在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
与直线相切；
与圆：相外切；
经过直线与直线的交点．
求圆的方程；
圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知圆经过点、，并且直线：平分圆．
求圆的方程；
过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求的值．
18.本小题分
已知椭圆的 左右顶点分别为，右焦点为，已知．
求椭圆的方程和离心率；
点在椭圆上异于椭圆的顶点，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线是一组“共轭线对”，其中是坐标原点规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．
已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；
已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围．
参考答案
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13.或
14.
15.解：选择条件：因为点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，
所以 是线段 的垂直平分线，
又 ，所以直线 的斜率为 ．
又线段 的中点坐标为 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
选择条件：因为 ，直线 与直线 平行，所以直线 的斜率为 ，
又直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
选择条件：因为 ，直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
又直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
由 解得 故 ， 的交点坐标为 ，
因为 在直线 ： 上，设 关于 对称的点为 ，
则 解得
所以直线 关于直线 对称的直线经过点 ， ，
代入两点式方程得 ，即 ，
所以直线 ： 关于直线 的对称直线的方程为 ．

16.
设圆的半径为，
若选条件，圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离是圆的半径，
即，
所以圆的方程为．
若选条件，与圆：相外切，圆的圆心为，半径为，
所以，所以，
所以圆的方程为．
若选条件，经过直线与直线的交点，
由，得，所以，
所以圆的方程为．
圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则，
即，解得，
由得两圆公共弦所在直线方程
又两圆的公共弦长为，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，
解得或，
又，所以经检验符合题意．
故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为．

17.
设圆的标准方程为，
因为直线：平分圆的面积，
所以直线过圆心，即，
则，解得
圆的方程为；
由题意直线的方程为，
联立，消去得，
设，
则，得，
故，
而，
所以
，
故有，解得，满足，
所以．

18.
如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为．
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，．
所以，，，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为．

19.
设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
，
，
等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为．
设，，其中，
故

由于等号成立的条件是，
故
所以
即原点到直线的距离之积的取值范围为．

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