2024-2025学年陕西省汉中市高二上学期开学收心检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市高二上学期开学收心检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为，则中卷录取人数为( )
A. B. C. D.
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，“存在直线，，”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量单位：随着时间单位：的变化用指数模型描述，假定该药物的消除速率常数单位：，刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为参考数据：，
A. B. C. D.
7.如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
10.若复数，则( )
A. 的共轭复数 B.
C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11.在棱长为的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点包含端点，且则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 异面直线与所成的最大角为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则 ．
13.盒中有个大小质地完全相同的球，其中个白球、个黑球，从中不放回地依次随机摸出个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ．
14.已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角，且．
求值；
求的值．
16.本小题分
如图，在中，，点是的中点，设，，
用，表示，
如果，，有什么位置关系用向量方法证明你的结论．
17.本小题分
已知函数仅满足下列四个条件中的三个：
的最小正周期为；的最大值为；；．
请找出函数满足的三个条件，并说明理由；
求函数的解析式．
18.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求角；
若外接圆的半径为，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面，分别为中点．
求证：平面平面；
设，求二面角的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
，且．
，
．
因为，，
所以．

16.解：因为，
所以，
因为是的中点，
；
．
因为，
所以，所以．
17.
若函数满足条件，则，
这与矛盾，故不能满足条件，
函数只能满足条件，
由条件，得，故，由条件，得，
由条件，得，
又，
函数的解析式为．

18.
由已知及正弦定理可得，
整理得，
，
．
外接圆的半径为，
，得，
又，
当且仅当时，等号成立，
，
即面积的最大值为．

19.
平面，平面，
，
，
，
又，平面，
平面，
分别为的中点，
，
平面，
又平面，
平面平面．
取的中点，连接，取的中点，连接，
由，平面，可得平面，
又平面，，，
又，，可得，
又，平面，
平面，又平面，故，
是二面角的平面角，
在中，，可得，
在中，，可得，
在中，，
可得，故，
则二面角的大小为．

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