河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷（含答案）

河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若且，则( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，，点为中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则( )
A. B. C. D.
6.已知偶函数对于都有，且当时，若有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.边长为的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选个，则这个点不在同一个部分的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在单调递增．
B. 函数在单调递减．
C. 对任意，都有成立．
D. 存在，使得．
10.已知数列满足，且，记的前项和为，的前项和为，则下列说法中正确的是( )
A. 的通项公式为 B.
C. D. 数列是等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知集合，若，则的取值范围是 ．
12.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径之比为：，设圆锥的底面半径为，则圆锥的表面积与球的表面积之比为 ．
13.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品件，乙产品件时，总成本为单位：万元若甲产品的产量不超过件，且甲、乙两种产品的产量之和不超过件则总成本的最小值为 万元．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知数列满足．
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
设，求数列的前项和．
15.本小题分
已知函数．
若该函数在单调递增，求的取值范围．
当时，若方程有两个实数根，且，证明：．
16.本小题分
将一个骰子在桌面上连续独立地抛次为正整数：设为与桌面接触的数字为奇数的次数，为掷骰子一次与桌面接触的数字为奇数的概率．
当时，若骰子的质地是均匀的，求的数学期望和方差．
若骰子有瑕疵，即，设是掷骰子次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率，求证：．
17.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体，如图，其中，分别为上下底面直径，点，分别在圆弧，上，直线平面．
证明：平面平面；
若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
若平面与平面夹角的余弦值，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.解：
根据题意由易知，
即可得为定值，
由此可得数列是以为首项，公差的等差数列，
所以，可得；
即数列的通项公式为；
由可得；
则数列的前项和
．
即可得

15.解：
由题意，
当时，，在上单调递增，满足题意；
当时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又该函数在单调递增，故，
综上可知，的取值范围为
当时，，
由可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，
则，
所以在上单调递减，，即，
令，则，故，
又在上单调递增，所以，
故

16.解：
若骰子的质地是均匀的，则，
依题意可知，
所以．
若骰子有瑕疵，即，
而是掷骰子次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率，
根据全概率公式可知，
整理得．

17.解：证明：设平面交上底面于，在上，
因为上下底面平行，故，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
由题意可知，又因为，平面，
所以平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
由知平面，连接，
所以是直线与平面所成角，
所以由题意，
又由题意，，
所以，
所以为等腰直角三角形，
所以，
即在圆弧的中点上，
所以由知点在圆弧中点上，故，
所以，
因为平面，所以点到平面的距离即为到平面的距离，
又因为圆柱结构性质可知，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，
设该距离为，
因为，
，
又因为，所以，即点到平面距离为．
过作垂直于底面，则由上知，
所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系，
则，设，
所以，
设平面的法向量为，则
所以 ，即
取可求得，
设平面的法向量为，则
所以即
取可求得，
设平面与平面的夹角为，
则，且，
整理得
，
则，
所以即，
则即，所以，
所以，所以．

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