广东省肇庆市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

广东省肇庆市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则不等式的解集是
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分条件
C. 命题：，，则：，
D. “”是“”的必要条件
10.已知，且，则( )
A. 的最小值是 B. 最小值为
C. 的最大值是 D. 的最小值是
11.已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有( )
A. 函数关于直线对称 B. 是函数的周期
C. D. 方程恰有个不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：的值是 ．
13.已知函数，函数为一次函数，若，则 ．
14.若函数，则使得成立的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
己知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最小值．
16.本小题分
已知函数，其中．
若关于的方程有两实数根，且两实数根之积等于，求的值；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知函数．
解关于的不等式；
若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义域为上的奇函数．
求的值；
用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；
若在上的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求证；
若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，所以切点坐标为，
又，，即所求切线的斜率为，
所以切线方程为：，即；
易知
由 ，由 ，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为．

16.
为，
所以由，得，
整理得，
因为方程有两实数根，即有两实数根，
所以，则，
又两实数根之积等于，所以，解得或舍去，
经检验，满足要求，
所以．
因为，
所以由，得，
当时，由，解得；
当时，易知无解；
当时，由，解得；
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．

17.
由得，即．
当，即时，原不等式的解为或；
当，即时，原不等式的解为且；
当，即时，原不等式的解为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，解集为且；
当时，解集为或．
由得在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
令，则，
当且仅当等号成立，
，，即，
故实数的取值范围是．

18.是定义域为上的奇函数，
根据奇函数性质可得
当时，可得
即：
解得：
由可得：
可知的定义为
在上任取，且，即
在上单调递增，
可化简为：
，即，解得或．
不等式的解集为．
．
令，
则．
，．
当时，则当时，，解得；
当时，则当时，，解得，舍去．
综上所述，．

19.
由题意得定义域为，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得：，当时，解得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
，
若证成立，只需证成立即可，
所以定义域为，，
在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上有唯一实根，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，，
若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，
在上单调递增，
，，
，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到的取值范围是．

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