2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是正比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
3.一次函数如图，则下列结论正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.如图，在 中，对角线，交于点，下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
5.从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是分，方差分别是，，，，派谁去参赛更合适( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.关于的方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根
C. 无实数根 D. 由于不知道的值，无法确定
7.用配方法解方程，则配方正确的是( )
A. B. C. D.
8.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，年公司快递业务量为万件，年快递业务量达到万件，若设快递量平均每年增长率为，则下列方程中，正
确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长是( )
A. B.
C. D.
10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是( )
A.
B. 抛物线的对称轴是直线
C. 当时，的值随值的增大而减小
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12.若，是方程的两根，则 ______．
13.将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得直线表达式为______．
14.某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为______．
15.如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，则的面积为______．
16.以的速度将小球沿与地面成度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度单位与飞行时间单位之间具有函数关系：，那么球从飞出到落地要用的时间是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值，其中．
19.本小题分
如图，已知一次函数的图象经过，两点．
求一次函数的表达式；
若为轴上一点，且的面积为，求点的坐标．
20.本小题分
如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、．
求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为______．
21.本小题分
奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表：
注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数；
第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
22.本小题分
定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程的两根为，，因为，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
23.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，在的左侧，与轴交于点，顶点为．
求出该抛物线的表达式；
若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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15.
16.
17.解：
．
18.解：原式
，
当时，原式．
19.解设一次函数的解析式为，
把点，分别代入得 ，
解得，
一次函数的解析式为；
设点坐标为，
的面积为，
，
即
解得或，
或．
20.证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
21.解：设分别购进款纪念币、款纪念币，枚，
由题意得：，
解得：，
购进款纪念币枚，购进款纪念币枚；
设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，
则，
，
解得：，
又随的增大而减小，
当时，取最大值，且，
此时：，
故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元．
22.解：此方程为“限根方程”，理由如下：
，
解得，，
，
此方程为“限根方程”；
由根与系数的关系，得，，
，
，
或；
当时，，，
，
符合题意；
当时，，，
，
不合题意，舍去．
的值为；
解此方程得：或，
此方程为“限根方程”，
，且，即，
，
且；
当时，，，
，
，
；
当时，，，
，
，
．
综上所述，的取值范围为或．
23.解：将点，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的表达式为；
存在．理由如下：
，
其对称轴为直线，且，
．
设，
，，
，，．
当时，
，
解得或；
当时，
，解得或，
或；
综上可知，符合要求的点坐标为或或或
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