2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案）

2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷
一、填空题：本题共12小题，共60分。
1.已知是关于的方程的根当时， ______， ______．
2.已知实数，，满足，则的最小值为______，此时 ______．
3.对实数，，定义运算“”为：已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是______；若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是______．
4.如图，是半圆的直径，弦，相交于点，，是的中点，则 ______．
5.记若，则 ______．
6.若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为______．
7.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙在个小伙子中，如果某人不亚于其他人，就称他为棒小伙子，那么个小伙子中的棒小伙子最多可能有______人
8.如果直角三角形的三边都是以内的正整数，且较长的两边长相差，那么这样的直角三角形有______个
9.用表示自然数的数字和，例如：，若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是______．
10.把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤，再执行步骤，，步骤和步骤依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是______．
11.若实数，满足，则的取值范围为______．
12.已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是______．
二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知函数在时有最大值．
求实数，的值；
设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值．
14.本小题分
如图，在中，是边上的高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于求证：．
15.本小题分
设，已知关于的方程．
若方程有实根，求证：，，不能成为一个三角形的三条边长；
若方程有实根，求证：；
当方程的两个实根分别为，时，求正整数，，的值．
16.本小题分
如果有理数可以表示成其中、是任意有理数的形式，我们就称为“世博数”．
两个“世博数”、之积也是“世博数”吗？为什么？
证明：两个“世博数”、之商也是“世博数”．
参考答案
1.或
2.
3.
4.
5.
6.：
7.
8.
9.
10.红桃
11.
12.
13.解：时函数有最大值，
，
，
又时有最大值，代入得，
，
故，．
，
，
又，
，
．
，
，
，
、是关于的方程的两个根，
，
或或，
，
，．
14.证明：如图，过作的平行线，分别交、、、的延长线于点、、、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，点、在直线上，
，
，
，又，
≌，
，即．
15.解：由方程有实根得，即，
由，得，即所以，，，不能成为一个三角形的三边．设，则，，且由知，所以二次方程的实根都在与之间，即由根与系数关系有，，得．
由知，故得，
．
，，
由，
解得，，，，．
16.解：，其中、是有理数，
“世博数”其中、是任意有理数，只须，即可．分
对于任意的两个两个“世博数”、，不妨设，，其中、、、为任意给定的有理数，分则
是“世博数”；分
分
也是“世博数”分
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