2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.画出一边上的高，下列画法正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知是方程的一个解，那么的值为( )
A. B. C. D.
6.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是( )
A. 三角形 B. 五边形 C. 四边形 D. 六边形
7.某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计．结果甲、乙两组的平均成绩相同．方差分别是，，则两组成绩的稳定性( )
A. 甲组比乙组的成绩稳定 B. 乙组比甲组的成绩稳定
C. 甲、乙两组的成绩一样稳定 D. 无法确定
8.如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.下列说法：三角形具有稳定性；有两边和一个角分别相等的两个三角形全等三角形的外角和是全等三角形的面积相等．其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
10.已知，用表示，得 ______．
11.用不等式表示：与的差不小于的倍：______．
12.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．
13.已知一组数据，，，，，，，它的平均数是，则______．
14.如图，≌，，则 ______．
15.如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长是______．
16.中，，为边上的高，若，则的度数为______
17.如图，是的边上一点，交于点，，，，，点到直线的距离为，面积为______．
18.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.（8分）解方程组．
20.（8分）解不等式组．
解不等式
解不等式组
21.（8分）在如图所示的方格纸中，的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．
作出关于轴对称的，其中点，，分别和点，，对应；
平移，使得点在轴上，点在轴上，平移后的三角形记为，作出平移后的，其中点，，分别和点，，对应；
直接写出的面积．
22.（6分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个
三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边
所对的角较大”简称：“在同一个三角形中，大边对大角”即，如图：当时，
．
该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：
在中，是边上的高线．
如图，若，则；
如图，若，当时，______填“”，“”，“”
证明：是边上的高线，
．
，．
，
______在同一个三角形中，大边对大角．
______．
在中，是边上的中线．
如图，若，则；
如图，若，当时，______填“”，“”，“”
证明：
23.（8分）如图，点，点在的边上，，．
求证：是等腰三角形．
若，，直接写出图中除和以外的所有等腰三角形．
24.（8分）某商场计划购进、两种商品，已知购进种商品件，种商品件需元；种商品件，种商品件需元
、两种商品每件的进价分别为多少元？
若种商品每件售价元，种商品每件售价元，准备购进、两种商品共件，且这两种商品全部售出后，总获利高于元，则最多购进种商品多少件？
25.（10分）如图，在中，，．
如图，求证．
如图，点是上一点，连接过点作，连接，求的度数．
如图，在的条件下，在上取点，连接交于点，连接交于点，若，，求的值．
26.（10分）如图，点是坐标原点，，，且，满足二元一次方程组．
求、两点的坐标；
点是线段上一点，连接，当的面积为时，求的值；
在的条件下，过点作直线轴，在直线上有一点，直线交轴正半轴于点，在射线上有一点，使≌，求点坐标．
参考答案
1.
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6.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.或
17.
18.
19.解：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
方程组整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
20.解：，
，
，
，
，
；
，
解得；
解得．
故不等式组的解集为．
21.解：如图所示，即为所求．
如图所示，即为所求．
的面积为．
22.证明：是边上的高线，
，
，，
，
，
．
；；；
证明：延长至，使，连接，如图所示：
是边上的中线，
，
又，
在和中，
，
，，
，
，
，
；

23.证明：过点作于点，
，
，
，
，
．
解：，，
，
，，
，
，，
，，，，
除与外所有的等腰三角形为：、、、，
24.解：设种进价为元，种进价为元．由题意，得
，
解得：．
答：种进价为元，种进价为元．
设购进种商品件，则购进种商品件．由题意，得
．
是正整数，
．
答：最多购进种商品件．
25.证明：，，
，
，
；
解：如图，在上截取，
，
，
，
，
即，
，，
≌，
，，
，，
，
；
解：，，
，
延长至点，使，则，
，
，
，，
≌，
，，，
即，
，
≌，
，， ，
延长到点，使，则，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26.解解方程组，
得：，
，，
由题意得：，
当的面积为时，即，
解得：；
≌，
，，
，，，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
或，
设直线的解析式为，
则或，
解得：或，
或，
点的坐标为或，
，或，，
或．
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