2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，不是中心对称图形有( )
A. B. C. D.
2.方程的二次项系数和常数项分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.一组数据：，，，，，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
5.用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
6.关于一次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象过点
B. 其图象可由的图象向下平移个单位长度得到
C. 随着的增大而增大
D. 图象经过第一、二、四象限
7.如图，中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式
每两个队之间赛一场，现计划安排场比赛，则邀请的参赛队数是( )
A. B. C. D.
9.如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；四边形面积；，其中正确的结论是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.点关于原点对称的点的坐标是______．
12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是______海里时．
14.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为 ．
15.已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值等于______．
16.如图，在中，，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，则______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
用适当方法解下列方程：．
18.本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点，求证：四边形是矩形．
19.本小题分
利用图中的网格线最小的正方形的边长为画图．
作出关于原点对称的中心对称图形．
若绕点顺时针旋转得到，则线段扫过的面积为______．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
试说明不论实数取何值，方程总有实数根；
如果当时，、为方程的两个根，求的值．
21.本小题分
数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．
如图，在等腰中，．
尺规作图：作关于直线对称的保留作图痕迹，不写作法；
连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．
22.本小题分
一家水果店以每斤元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．
若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤用含的代数式表示；
销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利，且保证每天至少售出斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
23.本小题分
如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，正比例函数的图象与直线交于点．
求的值并直接写出正比例函数的解析式；
如图，点在线段上，且与点，不重合，过点作轴于点，交线段于点若点的横坐标为，解答下列问题：
的长：
若是直线上的一点，的面积为面积的倍，求点的坐标．
24.本小题分
给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
以下四边形中，是勾股四边形的为______填序号即可；
平行四边形；矩形；有一个角为直角的任意凸四边形；有一个角为的菱形．
如图，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
如图，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点，连接，若，，，求的长度．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，、满足，直线经过轴负半轴上的点，且．
求直线的函数表达式；
平移直线，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点．
已知平面内有一点，连接、，当的值最小时，求的值；
若平移后的直线与轴交于点，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.
16.或
17.解：
，
，，
解得：，．
18.证明：，，
，，
四边形是平行四边形，
菱形的对角线，相交于点，
，
平行四边形是矩形．
19.解：如图，即为所求．
如图，
，
线段所扫过的面积是以点为圆心，为半径，圆心角是扇形的面积．
20.解：，
，
不论实数取何值，方程总有实数根；
当时，其方程为，
、为方程的两个根，
，，
．
21.解：如图，即为所求；
与关于直线对称，
，，
又，
，
四边形是菱形，
，且，
又四边形周长为，
，
，
，
四边形的面积．
22.解：以每斤元的价格出售，每天可售出斤，这种甜瓜每斤的售价每降低元，每天可多售出斤，
当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元时，每天的销售量是斤．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：水果店需将每斤的售价降低元．
23.解：将代入得：，
解得：，
，
，
，
正比例函数的解析式为；
点在线段上，点的横坐标为，
在中，当时，，
，
轴于点，交线段于点，
点的横坐标与点的横坐标相同为，
在中，当时，，
，
；
，，
，
的面积为面积的倍，
，
轴于点，点的横坐标为，
，
直线上的一点，
设，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
24.；
证明：如图中，连接．
绕点顺时针旋转了到，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，，
，
四边形是勾股四边形；
解：如图中，延长交的延长线于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
25.解：，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，
，
；
直线的函数表达式为；
，，
直线的解析式为，
设，
平移直线，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点．
直线的解析式为，
当的值最小时，点，，三点共线，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
把代入得，
解得，
，
把代入得，，
；
存在，设，
以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，，
，只能是边，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得，
，；
直线解析式为，
当时，，
，
当为对角线时，同理可得：，
解得，
，；
直线解析式为，
当时，，
，
综上所述，存在，点的坐标或．
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