从江县停洞中学2024-2025学年度第一学期9月开学摸底质量监测
九年级 数学试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1．将方程5x2＋1＝4x化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为 （ ）
A．5，4，1 B．5，4，－1 C．5，－4，1 D．5，－4，－1
2．解方程x(x－2)＋3(x－2)＝0，最适当的解法是 （ ）
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
3．若方程ax2＋bx＋c＝0(c≠0)中，a，b，c满足a＋b＋c＝0和a－b＋c＝0，则方程的根是 （ ）
A．1，0 B．－1，0 C．1，－1 D．无法确定
4．用配方法解方程3x2－6x＋2＝0，将方程变为(x－m)2＝的形式，则m的值为 （ ）
A．9 B．－9 C．1 D．－1
5．下列一元二次方程中，两根之和为2的是 （ ）
A．2x2－4x＋1＝0 B．x2＋2x－1＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．x2－5x＋2＝0
6．如果代数式3x2－6的值为21，则x的值为 （ ）
A．3 B．±3 C．－3 D．±
7．下列方程中，无实数根的方程是 （ ）
A．x2＋3x＝0 B．x2＋2x－1＝0 C．x2＋2x＋1＝0 D．x2－x＋3＝0
8．已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下列对a值估计正确的是 （ ）
A. 2＜a＜3 B．1.5＜a＜2 C．1＜a＜1.5 D．0＜a＜1
已知△ABC为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程2x2－7x＋5＝0的两个根，那么该三角形的周长是 （ ）
A.或6 B. C．5 D．6
10．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x－m＋2)2＋b＝0的解是 （ ）
A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝－4，x2＝－1 D．无法求解
11．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隔斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是 ( )
A．(x－4)2＋(x－2)2＝x2 B．42＋(x－2)2＝x2
C．(x－4)2＋(x－2)2＝2x2 D．(x－4)2＋22＝x2
12．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法中正确的有 （ ）
①若ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等的实根；
②若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若x1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝(2ax1＋b)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．已知关于x的一元二次方程x2＋bx－6＝0的一个根是2，则另一个根是 .
14．贵阳市某鞋厂7月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，8月份、9月份均增大产量，使第三季度的总产量达到88万双，设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 .
15．已知关于x的方程x2－2x－m2＝0根的判别式的值为36，则m＝ .
16．已知实数a，b满足＋|b＋2|＝0，若关于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则ab的值为 ，＋的值为 .
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分)解下列方程：
(1)x2－x－3＝0；
(2)4(x＋1)2＝2x＋2.
18．(本题满分10分)若方程x2－2x－m＋1＝0没有实数根，试判断方程x2－(m＋2)x＋2m＋1＝0根的情况并说明理由．
19．(本题满分10分)小张展示了一副摄影作品(七寸照片)，照片长7英寸，宽5英寸，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央．照片四周外露衬纸的宽度相同，矩形衬纸的面积与照片的面积之比为9 ∶5.求照片四周外露衬纸的宽度．
20．(本题满分10分)已知关于x的方程mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0.
(1)求证：无论m取何实数，方程恒有实数根；
(2)若m是整数，且方程总有两个整数根，求m的值．
21．(本题满分10分)如图，在长15 m、宽10 m的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的人行道，其中一条与AD平行，另两条与AB平行．其余的部分为草坪．已知草坪的总面积为126 m2.
(1)求人行道的宽度；
(2)若人行道每平方米的硬化费用是120元，求人行道硬化的总费用？
22．(本题满分10分)某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23．(本题满分12分)已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x＋x＝8－3x1x2，求m的值．
24．(本题满分12分)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程2x2－2x＋1＝0是否是“邻根方程”？
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
25．(本题满分12分)阅读材料：
已知m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m和n的值．
解：将左边分组配方，得(m2＋2m＋1)＋(n2－6n＋9)＝0.
即(m＋1)2＋(n－3)2＝0.
∵(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，且和为0，
∴(m＋1)2＝0且(n－3)2＝0，∴m＝－1，n＝3.
利用以上解法，解下列问题：
(1)已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x和y的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝8a＋6b－25，且△ABC为直角三角形，求c的值．答案：
1．（C）
2．（B）
3．（C）
4．（C）
5．（A）
6．（B）
7．（D）
8．（B）
9.（D）
10．（A）
11． (A)
12． （B）
13．－3.
14．24＋24(1＋x)＋24(1＋x)2＝88.
15．±2.
16．－6，－1.5.
17．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－3，
Δ＝(－1)2－4×1×(－3)＝13＞0，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
(2)解：4(x＋1)2＝2x＋2，
4(x＋1)2－2(x＋1)＝0，
2(x＋1)(2x＋2－1)＝0，
2(x＋1)＝0或2x＋2－1＝0，
∴x1＝－1，x2＝－.
18．解：方程x2－(m＋2)x＋2m＋1＝0有两个不等的实数根．
理由：∵方程x2－2x－m＋1＝0没有实数根．
∴Δ＝(－2)2－4×1×(－m＋1)＜0，∴m＜0.
方程x2－(m＋2)x＋2m＋1＝0的根的判别式
Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m＋1)＝m2－4m.
∵m＜0，∴Δ＝m2－4m＞0，
∴方程x2－(m＋2)x＋2m＋1＝0有两个不等的实数根．
19．解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为(7＋2x)英寸，宽为(5＋2x)英寸．依题意得(7＋2x)(5＋2x) ∶(7×5)＝9 ∶5.
整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(不符合题意，舍去)．
答：照片四周外露衬纸的宽度为1英寸．
20．(1)证明：当m＝0时，此方程为x－2＝0，解得x＝2.
即m＝0时，此方程有一个实数根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程．
∵Δ＝[－(3m－1)]2－4m(2m－2)＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2≥0.
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何实数，方程恒有实数根．
(2)解：x＝.即x1＝2，x2＝.
∵方程的两个实数根都是整数，
∴1－为整数．
∴整数m的值为1或－1.
21．解：(1)设人行道的宽度为x m，则种植
草坪的部分可合成长为(15－x) m，
宽为(10－x) m的矩形，依题意得
(15－x)(10－x)＝126，
整理得x2－25x＋24＝0，
解得x1＝1，x2＝24(不符合题意，舍去)．
答：人行道的宽度为1 m.
(2)120×(15×10－126)＝120×(150－126)＝120×24＝2 880(元)．
答：人行道硬化的总费用为2 880元．
22．解(1)(280－220)×30＝1 800(元)．
答：降价前商场每天销售该商品的利润是1 800元．
(2)设每件商品应降价x元，由题意，得
(280－x－220)(30＋3x)＝1 800×2，
解得x1＝20，x2＝30.
∵要更有利于减少库存．∴x＝30.
答：每件商品应降价30元．
23．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
∴Δ＝[－2(m－1)]2－4m2＝4－8m≥0，解得m≤.
(2)∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0的两个根分别为x1，x2.
∴x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2，
∵x＋x＝8－3x1x2.
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝8－3x1x2，即5m2－8m－4＝0.
解得m1＝－，m2＝2(舍去)．
∴实数m的值为－.
24．
解：(1)解方程2x2－2x＋1＝0，得x＝，
∵＝＋1，∴方程2x2－2x＋1＝0是“邻根方程”．
(2)分解因式得(x－m)(x＋1)＝0，解得x＝m或x＝－1，
∵方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m＝－1＋1或m＝－1－1，∴m＝0或－2.
25．解：(1)∵x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，∴(x2＋4x＋4)＋(y2－2y＋1)＝0.
∵(x＋2)2≥0，(y－1)2≥0，且和为0，∴(x＋2)2＝0且(y－1)2＝0，
∴x＝－2，y＝1.
(2)∵a2＋b2＝8a＋6b－25，方程变形为(a－4)2＋(b－3)2＝0，
∵(a－4)2≥0，(b－3)2≥0，∴a＝4，b＝3，
∵△ABC为直角三角形．
∴当a＝4，b＝3是直角边时，则c＝＝5；
当a＝4是斜边，b＝3是直角边时，则c＝＝.
∴c的值为5或 .
