(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．(2023·沈阳)二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
B
2．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致是( )
D
3．(2023·兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( )
A．对称轴为直线x＝－2
B．顶点坐标为(2,3)
C．函数的最大值是－3
D．函数的最小值是－3
C
5．已知二次函数y＝－(x－1)2＋3，若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是________.
下
x＝2
x＝2
大
3
>2
x＞1
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
(2)说出该函数的图象的开口方向、对称轴和顶点．
(3)试讨论该函数的性质．
解：(1)大致图象如图所示．
2
抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的位置关系
7．(2023·广西)将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4
8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝－(x－1)2－1的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则其顶点的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－2)
C．(0，－1) D．(－2,1)
A
A
9．将抛物线y＝(x＋3)2＋4先向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，得到的抛物线为y＝x2.
10．将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝2(x＋1)2－1的图象，则a＝______，h＝______，k＝________.
右
3
下
4
2
1
－5
11．若直线y＝x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2,0)，则下列平移方法中正确的是( )
A．先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B
C
14．(2024·蜀山一模)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝a(x－h)2＋k(a<0)上任意两点．
(1)若对于x1＝1，x2＝5，有y1＝y2，则h＝______.
(2)若对于0
y2，则h的取值范围是______.
y3>y1>y2
3
15．抛物线的顶点为点A(1，－4)，且过点B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式．
解：y＝(x－1)2－4.
(2)将该抛物线向右平移多少个单位长度,可使得平移后所得抛物线经过原点,并直接写出平移后所得抛物线与x轴的另一个交点的坐标.
解：设y＝(x－h)2－4，把点(0,0)代入解析式，
得h2－4＝0，解得h1＝2，h2＝－2(不合题意，舍去)，
∴该抛物线向右平移1个单位长度，可使得平移后所得抛物线经过原点，
∴y＝(x－2)2－4，对称轴是直线x＝2，
∴另一个交点的坐标是(4,0)．
16．如图，抛物线与x轴相交于A(－2,0)，B(4,0)两点，且顶点的纵坐标为9.
(1)求抛物线的解析式．
(2)设此抛物线的顶点为点C，与y轴的交点为点D，求S△BCD.(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
1
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
B
2．抛物线 y＝－x2＋2 的顶点是( )
A．(1,1) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(2,0)
3．关于二次函数y＝x2＋2，下列说法中错误的是( )
A．最小值是2
B．其图象与y轴没有交点
C．当x<0时，y随x的增大而减小
D．其图象关于y轴对称
B
B
4．抛物线y＝－3x2－4的开口________，顶点是________，对称轴是______.
5．已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数 y＝－2x2－ 3的图象上．若x1>x2>0，则 y1______y2.(选填“>”“＜”或“＝”)
向下
(0，－4)
y轴
＜
6．画出二次函数 y＝－x2＋9 的图象，根据图象回答下列问题．
(1)当 x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？
(2)当 x 取何值时，二次函数图象在 x 轴的上方？
解：(画图略)
(1)当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小．
(2)当 －32
抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的位置关系
7．抛物线y＝－x2＋5可以看作是由抛物线y＝－x2如何变换得到的( )
A．向上平移5个单位长度
B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度
D．向右平移5个单位长度
8．将抛物线y＝ax2＋c向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝－2x2－1，则a＝________，c＝______.
A
－2
2
(1)平移后的顶点、对称轴及y随x的变化情况．
(2)平移后的函数的最小值．
(1)平移后的顶点是(0,4)，对称轴是y轴，
当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减少．
(2)平移后的函数，当x＝0时，y有最小值为4.
10．函数y＝ax2＋1和y＝ax＋a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
D
11．若点(x1，y1)，(x2，y2)都在抛物线y＝x2－4上，则下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1>y2
D．若x1y2
12．若二次函数的图象形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的函数解析式为_____________________.
D
y＝3x2－2或y＝－3x2－2
13．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的解析式．
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少了4.
(3)当x＝0时，y＝－1；当x＝2时，y＝4a－1.
由题意，得 －1－(4a－1)＝4，解得a＝－1，
则函数解析式为y＝－x2－1.
14．已知二次函数y＝2x2＋m.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1______y2(选填“＞”“＜”或“＝”)．
解：(1)当x＝－2时，y1＝2×(－2)2＋m＝8＋m，
当x＝3时，y＝2×32＋m＝18＋m.
又∵18＋m－(8＋m)＝10＞0，∴y1＜y2.
＜
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点C，D在x轴上，A，B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
解：∵二次函数y＝2x2＋m的图象经过点(0，－4)，∴m＝－4.
又∵抛物线和正方形ABCD都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE.
设点B的坐标为(n,2n)(n＞0)．
∵点B在二次函数y＝2x2－4的图象上，
∴2n＝2n2－4，解得n1＝2，n2＝－1(不合题意，舍去)，
∴点B的坐标为(2,4)，
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8.
(1)求直线BC的解析式和点C的坐标．
(2)点P为抛物线上异于点C的一点．若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
得x1＝2，x2＝－2，
∴点B的坐标为(2,0)，
∴直线BC的解析式为(共15张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 图形面积问题
1．(2023·泰安)二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是____.
1
求二次函数的最值
－2.5
2
利用二次函数解决图形面积问题
3．若矩形的周长为24 cm，则矩形的最大面积是( )
A．12 cm2 B．24 cm2
C．36 cm2 D．48 cm2
4．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围矩形ABCD的最大面积为( )
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
C
C
5．如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为( )
A．1 m B．1.5 m
C．2 m D．4 m
C
6．现用一条长为6 m的木料做成如图所示的窗框，则窗框的面积S(单位：m2)关于窗框的宽x(单位：m)的函数解析式为_______________________，当窗框的宽为______m时，窗框的面积最大，为______m2.
1
7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为x cm的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)．
(2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？
(2)当x＝20时，S最大值＝200，
∴当x是20 cm时，S最大，最大面积为200 cm2.
8．【教材P57T7改编】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边由长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃的面积为72 m2，求x的值．
(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，则该苗圃的最大面积是多少平方米？
解：(1)根据题意，得
x(30－2x)＝72，解得x1＝3，x2＝12，
当x＝3时，30－2x＝24＞18，不符合题意，舍去，
∴x＝12.
(2)设苗圃园的面积为S，
∵8≤30－2x≤18，∴6≤x≤11，
∴这个苗圃园的面积的最大值是112.5 m2.
9．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为22 m．若要使得建成的饲养室面积最大，则AB的长为( )
A．4 m B．6 m
C．8 m D．10 m
A
10．如图，四边形ABCD中的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝6，当AC的长是______时，四边形ABCD的面积最大．
3
11．用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2.求五边形ABCDE的面积S关于x的函数解析式及S的最大值．
解：如图，连接EC，过点D作DF⊥EC 于点F.
∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，
∠EAB＝∠CBA＝90°，
∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°，
∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠CEA＝∠ECB＝90°，
∴四边形 EABC 为矩形．
∵DE＝DC＝x m，
12．李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120 m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其他5个矩形的面积都相等．若AE＝x m，矩形ABCD的面积为y m2.
(1)求y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
解：(1)∵除矩形AEFJ外，其他5个矩形的面积都相等，且AE＝x m，
∴IC＝3ID＝3x m，
3AE＋3AD＋5IC＝120，
∴3x＋3AD＋5×3x＝120，
∴AD＝(40－6x)m，
∴y＝4x(40－6x)＝－24x2＋160x.(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1．二次函数y＝2x2的图象大致是( )
1
二次函数y＝ax2的图象
A
2．抛物线y＝5x2不经过的点是( )
A．(0,1) B．(1,5)
C．(－1,5) D．(0,0)
3．抛物线y＝－2x2的图象不具有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过第一象限 D．最高点是原点
4．如图，二次函数y1＝－x2的图象是____，y2＝－2x2的图象是____.(均填序号)
A
C
②
①
2
二次函数y＝ax2的性质
A．抛物线的开口方向都向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
D
8．已知 y＝(m＋1)xm2是关于 x 的二次函数，且当x>0 时， y 随 x 的增大而减小，则m的值是______.
(0,0)
向下
y轴
>0
<0
高
9．如图，在平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)顶点是(____，____)，对称轴是______，开口________，当x________时，y随x的增大而增大．
(2)当x＝______时，函数y的最大值是______.
(3)当－3≤x≤－1时，函数y的最大值是________，最小值是________.
(4)当－2≤x≤3时，函数y的最大值是______，最小值是________.
0
0
y轴
向下
<0
0
0
－1
－9
0
－9
10．若点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在抛物线y＝5x2上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1C．y3A
C
4
13．如图，点P是抛物线y＝－x2在第四象限内的一点，点A的坐标是(3,0)，设点P的横坐标为x.
(1)求△POA的面积S关于x的函数解析式．
解：根据题意，点P的坐标为(x，－x2)(x＞0)．
由点A的坐标为(3,0)，可知OA＝3，△AOP的OA边上的高为|y|＝x2，
(2)当PO＝PA时，求△POA的面积．
解： ∵PO＝PA，
∴点P在线段OA的垂直平分线上，
(1)求抛物线解析式．
(2)若抛物线上有一点D(在第一象限内)，使得S△AOD＝S△COB，求点D的坐标．
∴抛物线解析式为y＝x2.
(2)设直线AB的解析式为
y＝kx＋b，
∴直线AB的解析式为y＝－x＋2，
将y＝－x＋2与y＝x2联立，(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
◆小试卷(四)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴的交点的情况是
( )
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点
B
2．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个．设该公司第二、三月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则y关于x的函数解析式为( )
A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
A
3．如图是二次函数y＝x2－x－m的部分图象，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为
( )
A．(0,3) B．(3,0)
C．(2,0) D．(0,2)
C
4．已知二次函数y＝x2＋x＋m，当x取任意实数时，都有y>0，则m的取值范围是( )
B
5．(2023·陕西)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是( )
A．图象的顶点在第一象限
B．有最小值－8
C．图象与x轴的一个交点是(－1,0)
D．图象开口向下
x … －3 0 3 5 …
y … 16 －5 －8 0 …
C
6．如图，一个长为30 m的篱笆，一边利用围墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃垂直于墙的一边的长为x m，面积是S m2，则S关于x的函数解析式为( )
A．S＝－3x2＋30x B．S＝－2x2＋30x
C．S＝－3x2－30x D．S＝－2x2－30x
A
7．某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为(－10x＋500)件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为( )
A．30元 B．35元
C．40元 D．45元
B
8．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2＋nx(m≠0)和一次函数y＝mx－n(m≠0)的大致图象可能是( )
B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．(2023·郴州)已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝______.
10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数解析式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为____________min.
9
3.75
11．如图，若被击打的小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数解析式 h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
4
12．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C.若P是抛物线的对称轴直线l上的一个动点，则PA＋PC的最小值是______.
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
13．(本题12分)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(6,0)，(－2,8)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)写出它的对称轴和顶点．
14．(本题14分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S关于x的函数解析式及自变量的取值范围．
(2)已知墙的最大可用长度为8 m，求所围成花圃的最大面积．
解：(1)S＝－4x2＋24x
(0(2)∵24－4x≤8，
24－4x＞0，∴4≤x<6.
∵S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，
∴当x＝4时，花圃的最大面积是32 m2.
售价x/元 12 14 16
每周的销售量y/本 500 400 300
15．(本题14分)小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本的进价为每本10元．该网店在试销售期间发现，每周销售量y(单位：本)与售价x(单位：元)之间满足一次函数关系，对应值如下表所示：
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的售价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当售价定为多少元时，每周所获利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将x＝12，y＝500；x＝14，y＝400代入，
(2)由题意，得w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50(x－16)2＋1 800.
∵a＝－50＜0，∴w有最大值，
∴当x＜16时，w随x的增大而增大．
∵12≤x≤15，且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
此时w＝－50(15－16)2＋1 800＝1 750(元)，
即当售价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1 750元．(共6张PPT)
第二十二章 二次函数
综合与实践一 二次函数的实际应用
【综合与实践】
问题情境：
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价x与日销售量y的情况，记录如下：
售价(x元/盆) 日销售量(y盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(x元/盆) ________ ________ ________ ________ ________
日销售量(y盆) ________ ________ ________ ________ ________
18
20
22
26
30
54
50
46
38
30
模型建立：
(2)分析数据的变化规律，探究出日销售量y与售价x之间的函数关系式．
(3)根据以上信息，解决下列问题．
①要使每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
解：(1)根据销售单价从小到大排列得下表：
(2)观察表格可知：日销售量是售价的一次函数；设y＝kx＋b，把(18,54)，(20,50)代入，
售价(x元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(y盆) 54 50 46 38 30
(3)①∵每天获得400元的利润，
∴(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35.
∴要使每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为w元．
根据题意，得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润问题
1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品的售价为x元，可卖出(350－10x)件商品，则商品的利润y(单位：元)关于售价x(单位：元/件)的函数解析式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7 350
B．y＝－10x2＋560x－7 350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7 350
利用二次函数解决营销利润问题
B
2．某旅行社在五一黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获得营业额y(单位：元)与旅行团人数x(单位：人)满足解析式y＝－x2＋100x＋28 400.要使所获营业额最大，则此时旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
3．某商品的利润 y (单位：元)与售价 x (单位：元)之间的函数解析式是 y＝－x2＋8x＋9，且售价 x 的范围是 1≤x≤3，则最大利润是________元．
C
24
4．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40 kg，每千克盈利4元．经调查发现，若每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10 kg水果，则降价x元时，销量是___________kg，商店平均每天的利润y(单位：元)关于x的函数解析式是_______________________.
(20x＋40)
y＝(4－x)(20x＋40)
5．某商品在最近的30天内的价格y1(单位：元)与时间t(单位：天)满足的关系是y1＝t＋10；销售量y2(单位：件)与时间t(单位：天)满足的关系是y2＝35－t，其中0＜t≤30，t为正整数．问何时这种商品取得日销售金额的最大值？求这个最大值．
解：由于这种商品日销售的价格为(t＋10)元，日销售量为(35－t)件，则日销售金额为
∴当t＝12或13时，y取最大值，最大值为506元．
6．【新情景】某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y kg与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)是一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4 kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5 kg.
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？
解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5 kg，
∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数)．
(2)设每平方米小番茄的产量为w kg，
w＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－5)2＋12.5.
∴当x＝5时，w有最大值12.5.
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5 kg.
7．某大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y与售价x(x为正整数)之间满足一次函数关系，调查数据如下表所示：
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)．
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及对应售价分别为多少元．
x/(元·件－1) 4 5 6
y/件 10 000 9 500 9 000
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
将x＝4，y＝10 000和x＝5，y＝9 500代入，
得解得即y关于x的函数解析式为y＝－500x＋12 000.
(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w元．根据
解得3≤x≤12.w＝y(x－3)＝(－500x＋12 000)(x－3)＝－
∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w有最大值为54 000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，对应的售价为12元/件．
8．【新考法】某网店尝试用60天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品的日销售量m(件)、销售单价n(元/件)在第x天(x为正整数)销售的相关信息：
①m与x满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②n与x的函数关系如图所示；
(1)第5天的日销售量________件；n关于x的函数解析式为_____________________________________.
(2)在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润y最大？最大是多少元？
(3)在这60天中，共有多少天日利润y不低于2 418元？
解：(1)设m关于x的函数解析式为m＝ax＋c.
由题意可得，函数图象经过(1,98)，(4,92)，
∴m关于x的函数解析式为m＝－2x＋100，
当x＝5时，m＝90；
90
①当1≤x<20时，设n关于x的函数解析式为n＝kx＋b.
图象经过(1,31)，(20,50)，
∴n＝x＋30(1≤x<20)．
②当20≤x≤60时，此时n＝50.
(2)①当1≤x<20时，
y＝(n－10)m＝(x＋20)(－2x＋100)＝－2x2＋60x＋2 000＝－2(x－15)2＋2 450.
∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大，ymax＝2 450.
②当20≤x≤60时，
y＝(n－10)m＝40(－2x＋100)＝－80x＋4 000.
∵k＝－1<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y最大，∴ymax＝2 400.
综上所述，第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2 450元．
(3)当1≤x<20时，
根据题意，可得－2(x－15)2＋2 450＝2 418，解得x1＝11，x2＝19.
∵对于函数y＝－2(x－15)2＋2 450，当11∴当11≤x≤19，且x为整数时，－2(x－15)2＋2 450≤2 418.
当20≤x≤60时，ymax<2 418.
综上所述，日利润不低于2 418元的共有9天．(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
1．下列函数y是x的二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝(x＋1)2－x2
2．若关于x的函数y＝(2－a)x2－x是二次函数，则a的取值范围是( )
A．a≠0 B．a≠2
C．a＜2 D．a＞2
3．把y＝(3x－2)(x＋3)化成y＝ax2＋bx＋c的形式为______ __________，其中一次项的系数与常数项的和是______.
1
二次函数的有关概念
C
B
y＝3x2
＋7x－6
1
2
根据实际问题求二次函数解析式
4．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环的面积为y cm2，则y与x的函数解析式为( )
5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数解析式是( )
A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)
D
C
6．在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每位选手都与其他选手比赛一局)，则这次比赛进行的场次y关于选手人数x的函数解析式是____________.
7．现用长为6 m的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等．设窗户位于上方的矩形的宽为x(m)，窗户的总面积为y(m2)，则y与x之间的函数解析式是____________(不用写出自变量的取值范围)．
y＝6x－8x2
8．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的长为x m，求菜园的面积y关于x的函数解析式．
解：∵AB的长为 x m，而菜园ABCD 是矩形菜园，
∴菜园的面积y关于x的函数解析式是
9．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的增长率为x，预计今年比去年的增长率仍为x，设今年的生产总值为y万元．
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)当x＝20%时，今年的生产总值为多少万元？
解：(1)根据题意，得y＝10(1＋x)(1＋x)，即y＝10(1＋x)2.
(2)当x＝20%时，y＝10×(1＋20%)2＝14.4.
答：当x＝20%时，今年的生产总值为14.4万元．
10．下列说法中错误的是( )
A. 二次函数中，自变量的取值范围可以是全体实数
B．在圆的面积公式 S＝πr2 中，S是 r 的二次函数
11．若函数y＝(a＋1)xa2－2a－1＋2x－1是关于x的二次函数，则a的值是______.
D
3
12．(1)某超市1月的利润是25 000元，若设2月和3月的平均增长率均为x，则第一季度的利润总额y关于月增长率x的函数解析式是________________________________________.
(2)某农产品市场经销一种成本为40元的水产品．据市场分析，若按单价为50元/千克销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg.设销售单价为x元/千克，月销售利润为y元，则y关于x的函数解析式是_________ ___________________.
y＝25 000＋25 000(1＋x)＋25 000(x＋1)2
y＝(x－40)
[500－10(x－50)]
13．如图，总长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为y m2.
(1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围．
(2)若要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？
解：(1)∵宽AB＝x m，∴长BC＝(24－3x)m，
∴y＝(24－3x)·x＝－3x2＋24x.
(2)当y＝45时，即－3x2＋24x＝45，
解得x＝3(不合题意，舍去)或x＝5.
∴若要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是5 m.(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线形问题
1．如图，某涵洞的截面是抛物线，测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点到水面的距离CO＝2.4 m，在图中的平面直角坐标系中，涵洞截面所在抛物线的函数解析式为____________.
1
抛物线形建筑物问题
20
3．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m．现将它的图形放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船，能否从桥下通过？
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(6,4)，过点(12,0)，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋4，
∴货船能顺利通过此桥洞．
2
抛物线形运动问题
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋6x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是______m.
9
10
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)求投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离．
解得x1＝7.5, x2＝－1.5(舍去)，
∴实心球从起点到落地点的水平距离为7.5 m.
7．【新情景】学习过二次函数以后，某同学以y＝2x2＋6的图象为灵感，为某葡萄节设计了一款葡萄酒杯，如图是杯子的设计图．若AB＝4 cm，DE＝2 cm，则杯子的高CE＝____cm.
10
9．某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离AB称为跨度，桥面最高点到AB的距离CD称为拱高．已知这座桥的跨度AB＝32 m，拱高CD＝8 m.
(1)若设计成抛物线形，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求桥拱的函数解析式．
(2)在距离桥底部的一端4 m处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
解：(1)设桥拱的函数解析式为y＝ax2＋c.
又∵抛物线经过点C(0,8)和点B(16,0)，
∴c＝8，
∴桥拱的函数解析式为
(2)由题意，可设点F的坐标为(x，y)，
则x＝OE＝16－4＝12，EF＝y＝3.5，
∴在距离桥底部的一端4 m处，桥墩的高度为3.5 m.
10．(2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值．
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
解：(1)∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2，
∴C1的最高点坐标为(3,2)．
∵点A(6,1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上，
当x＝0时，c＝1.
(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，
∴点A的横坐标xA满足5≤xA≤7，
∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5.(共17张PPT)
第二十二章 二次函数
★单元复习与小结——核心考点归纳
1
二次函数的概念和解析式
1．已知y＝(m－2)x|m|＋2是y关于x的二次函数，那么m的值是
( )
A．－2 B．2
C．±2 D．0
2．n个球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一支球队都与其他所有的球队各赛一场)，总的比赛场数为y，则( )
A．y＝2n B．y＝n2
A
D
3．在二次函数y＝(x＋1)(1－x)中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______.
4．据某省统计局公布的数据，该省2023年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币．若该省第四季度GDP总值约为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数解析式为____________________.
0
y＝7.9(1＋x)2
2
二次函数的图象和性质
5．已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x<1 B．x>1
C．x<2 D．x>2
6．抛物线y＝－6x2可以看作由抛物线y＝－6x2＋5按下列何种变换得到( )
A．向上平移5个单位长度
B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度
D．向右平移5个单位长度
B
B
7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m图象上的三点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2
C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象大致为( )
B
C
9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的图象，其对称轴为直线x＝－1，且经过点(0,1)，则下列结论错误的是( )
A．a＋b＋c＜0 B．abc＞0
C．4a＋2b＋c＜0 D．c－a＜1
D
10．若抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是________.
11．已知抛物线y＝ax2－3ax＋1与y轴交于点B，对称轴是直线x＝t，点C的坐标是(a＋1,1)．
(1)t＝____.
(2)若线段BC与抛物线只有一个公共点，则a的取值范围是__________________.
m<2
a＜2且a≠0且a≠－1
12．已知抛物线y＝a(x＋b)2的对称轴是直线x＝－2，形状与y＝5x2相同，但开口方向相反．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求抛物线的顶点、函数的最大值或最小值．
解：(1)∵抛物线y＝a(x＋b)2的对称轴是直线x＝－2，∴b＝2.
∵抛物线y＝a(x＋b)2与抛物线y＝5x2的形状相同，开口方向相反，
∴a＝－5，
∴抛物线的解析式为y＝－5(x＋2)2.
(2)抛物线y＝－5(x＋2)2的顶点为(－2,0)，顶点为抛物线的最高点，故函数有最大值0.
3
二次函数图象与性质的综合应用的综合
13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A和C两点．
(1)b＝______ .
(2)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋1上，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为____.
2
14．如图，已知二次函数的图象经过点A(3,3)，B(4,0)和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m,0)，并与直线OA交于点C.
(1)求二次函数的解析式．
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值．
(3)当点P在直线OA的上方时，求△APO面积的最大值．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax(x－4)．
将点A(3,3)代入，
得a＝－1，
∴二次函数的解析式为
y＝－x2＋4x.
(2)当0＜m＜3时，设直线OA的解析式为y＝kx.
将点A(3,3)代入，得3＝3k，解得k＝1，
故直线OA的解析式为y＝x，
故点P(m，－m2＋4m)，C(m，m)，
(3)∵点A的坐标为(3,3)，
∴点A到原点的距离为3，
4
二次函数与实际问题
A
16．(2023·无锡)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
解：(1)当22≤x≤30时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.
将(22,48)，(30,40)代入解析式，
∴函数解析式为y＝－x＋70；
当30＜x≤45时，设y关于x的函数解析式为y＝mx＋n，
将(30,40)，(45,10)代入解析式，
∴函数解析式为y＝－2x＋100.
综上所述，y关于x的函数解析式为
(2)设销售利润为w元，当22≤x≤30时，
w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450，
当x＝35时，w取得最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，销售利润最大为450元．(共7张PPT)
第二十二章 二次函数
综合与实践二 二次函数与方程的应用
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A，B两种作物的相关信息如下表所示：
根据以下信息，探索完成任务.
A作物 B作物
每平方米种植数量(株) 2 10
单株产量(千克) 1.2 0.5
如何设计种植方案？
素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株数．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．
素材3 若同时种植A，B两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植 (全部种植 A作物) 任务一：明确数量关系 设每平方米增加x株A作物(x为正整数)，则每平方米有________株，单株产量为____________千克．(用含x的代数式表示)
任务二：计算产量 要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？
(2＋x)
(1.2－0.1x)
问题解决
分区种植(种植A，B 两种作物) 任务三：规划种植方案 设这100平方米的土地上有a(a>0)平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米种植10株B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是____________.
0解：任务一：(2＋x)，(1.2－0.1x)．
任务二：根据题意，得(2＋x)(1.2－0.1x)＝4.8，
解得x1＝4，x2＝6，
∴x＋2＝6或x＋2＝8.
答：每平方米应种植6株或8株．
任务三：设种植A作物每平方米的产量为y千克，
根据题意，得y＝(2＋x)(1.2－0.1x)＝－0.1(x－5)2＋4.9，
∵－0.1＜0，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4.9，
∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克，
根据题意，得4.9a＋(100－a)×10×0.5≥496，解得a≤40.
又∵a>0，
∴a的取值范围是0第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1．抛物线y＝(x－2)2 的顶点是( )
A．(0，－2) B．(－2,0)
C．(0,2) D．(2,0)
2．下列二次函数的对称轴为直线x＝1的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝(x－1)2
C．y＝－(x＋1)2 D．y＝－x2－1
1
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
D
B
3．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)．若x1A．y1C．0A．开口向下
B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的
D．顶点是(－1,0)
A
D
5．已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)画出函数的图象．
(3)求抛物线的对称轴和顶点．
(4)当x取何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)将点(1，－3)代入y＝a(x＋2)2，
(2)略．
(3)抛物线的对称轴是直线x＝－2，顶点是(－2,0)．
(4)当x<－2时，y值x的增大而增大．
2
抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系
6．将函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度后，得到的新图象的解析式是( )
A．y＝(x＋1)2 B．y＝x2＋4x＋3
C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2－4x＋4
7．函数y＝2(x＋1)2的图象是由函数________的图象向左平移1个单位长度得到的，其图象开口________，对称轴是______________，顶点是__________.当__________时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值，且为____.
C
y＝2x2
向上
直线x＝－1
(－1,0)
x>－1
－1
小
0
8．抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后，经过点(－1,4)，求a的值和平移后的抛物线的解析式．
解：设平移后的抛物线的解析式为y＝a(x－3)2，把点(－1,4)代入解析式，得(－4)2·a＝4，
9．在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象大致是( )
D
10．已知函数y＝2(x－1)2，当－1≤x≤2时，y的最大值与最小值的和为( )
A．8 B．10
C．2 D．0
A
y112．将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点的横坐标为－2，且新抛物线经过点(1,3)．
(1)求新抛物线的解析式．
(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：(1)∵将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点的横坐标为－2，
∴新抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2.
∵新抛物线经过点(1,3)，∴3＝a(1＋2)2，
(2)当x<－2时，y随x的增大而减小．
13．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为点A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线的解析式．
(2)若该抛物线在点A和点B之间的一段曲线上有一点C，求△ABC的面积S关于点C的横坐标m的函数解析式．
解：(1)y＝－(x＋1)2.
(2)如图，连接OC.
∵点C在抛物线位于点A和点B之间的一段曲线上，
∴－1∵S△ABC＝S△ABO－S△AOC－S△BOC，
14．如图，抛物线y＝2(x－2)2与平行于x轴的直线相交于点A，B，抛物线的顶点为点C，△ABC为等边三角形．
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图，过点B作BP⊥x轴于点P.
由抛物线y＝2(x－2)2，
得点C的坐标为(2,0)，
∴对称轴为直线x＝2.
设点B(m，n)，∴CP＝m－2.
∵AB∥x轴，∴AB＝2m－4.
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2m－4，∠BCP＝∠ABC＝60°，(共17张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．若点A(0,3)，B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两点，则该抛物线的解析式是________________.
2．已知抛物线经过点(1,0)，(－3,0)，(0，－3)，则抛物线的解析式为______________.
1
利用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式
y＝－x2＋2x＋3
y＝x2＋2x－3
3．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，(2，－1)两点．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)判断点A(－2，－1)是否在这个二次函数的图象上．
解：(1)把(1,0)，(2，－1)两点的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，
∴此二次函数的解析式为y＝－x2＋2x－1.
(2)当x＝－2时，y＝－4－4－1＝－9≠－1，
∴点A(－2，－1)不在这个二次函数的图象上．
2
利用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式
4．已知抛物线与二次函数y＝－5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点为(－1，－1)，则抛物线的解析式为( )
A．y＝－5(x－1)2－1 B．y＝5(x－1)2－1
C．y＝5(x＋1)2－1 D．y＝－5(x＋1)2－1
D
5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为________________________.
y＝－3(x－1)2＋3
6．求下列二次函数的解析式．
(1)已知二次函数的图象经过点(1,10)，顶点为(－1，－2)，求此函数的解析式．
(2)当x＝1时，二次函数y＝ax2＋bx＋c取得最小值－3，且函数图象与y轴相交于点C(0,1)，求此函数的解析式．
解：(1)设函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2，
代入点(1,10)，得a＝3，
∴此函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2.
(2)∵当x＝1时，二次函数y＝ax2＋bx＋c取得最小值－3，∴抛物线的开口向上，顶点为(1，－3)．
设函数的解析式为y＝a(x－1)2－3，
代入点C(0,1)，得1＝a－3，解得a＝4，
∴此函数的解析式为y＝4(x－1)2－3.
3
利用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)求二次函数的解析式
7．写出经过点(0,0)，(－2,0)的一个二次函数的解析式：________________________.(写一个即可)
y＝x2＋2x(答案不唯一)
8．已知关于x的二次函数的图象经过点(－1,0)，(5,0)，(0，－5)．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)该函数有最大值还是最小值？求出这个值．
解：(1)设此二次函数的解析式为
y＝a(x＋1)(x－5)，
把点(0，－5)代入，得a＝1，
∴此二次函数的解析式为y＝x2－4x－5.
(2)由(1)，得y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，且函数的图象开口向上，∴该函数有最小值，当x＝2时，y最小＝－9.
9．若函数y＝ax2＋bx＋c的部分取值如下表所示，则由表格中的信息可知y关于x的函数解析式是( )
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A
10．如图是函数y＝－x2＋bx＋c的图象的一部分，下列结论中错误的是( )
A．顶点为(－1,4)
B．函数的解析式为y＝－x2－2x＋3
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－3,0)
C
11．抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴是直线x＝1，且过点(－1,0)，则抛物线的解析式为__________________.
12．二次函数的图象过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的解析式．
解：∵点A(－1,0)，B(4,0)，
∴AO＝1，OB＝4，AB＝AO＋OB＝1＋4＝5，
∴OC＝5，即点C的坐标为(0,5)．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数的图象过A，B，C三点，
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4)，B(1,0)，C(5,0)．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)该抛物线上有一点D(x，y)，使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．
解：(1)∵抛物线经过点B(1,0)，C(5,0)，
∴可设抛物的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，
(2)连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB的周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b.
4×1×10＜0，该方程无解．
综上所述，点D的坐标为(0,4)或(6,4)．(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
◆小试卷(三)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
C．y＝3x2＋x－1 D．y＝2x3－1
2．抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点是( )
A．(－1,2) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(1,2)
C
D
3．若二次函数y＝(x－h)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而减小，则h应该满足( )
A．h＝1 B．h＞1
C．h≥1 D．h＜1
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是
( )
A．y＝2(x－2)2＋2 B．y＝2(x＋2)2－2
C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x＋2)2＋2
C
A
D
6．若点(－4，y1)，(－3，y2)，(1，y3)在抛物线y＝x2＋4x－5上，则y1，y2，y3 的大小关系是( )
A．y1C．y37．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax－bc的图象大致是( )
B
D
8．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在边AC，BC上．设CD的长为x，Rt△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．抛物线y＝2(x＋3)(x－1)的对称轴是______________.
10．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是__________.
直线x＝－1
(1,0)
11．将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移______个单位长度后经过点A(2,2)．
12．已知二次函数y＝ax2－2ax－a2＋4a－11(a是常数，且a≠0)．
(1)该二次函数图象的对称轴是____________.
(2)该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为________.
3
直线x＝1
－7
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
14．(本题14分)已知二次函数的图象的顶点为(1，－4)，且经过点(2，－3)．
(1)求该二次函数的解析式．
解：设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数图象经过点(2，－3)，
∴－3＝a(2－1)2－4，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)将该二次函数的图象向左平移几个单位长度,能使平移后所得图象经过坐标原点 并求平移后图象对应的二次函数的解析式.
解：令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度，能使平移后所得图象经过坐标原点．
此时，图象的顶点为(－2，－4)，∴平移后图象对应的二次函数的解析式为y＝(x＋2)2－4＝x2＋4x.
15．(本题16分)已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线x＝1.
(1)求b＋c的值．
(2)当－4≤x≤3时，求y的最大值．
(3)平移抛物线y＝x2＋bx－c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2－x－1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．
解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx－c的对称轴为直线x＝1，
∵二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过点(3,0)，
∴9－6－c＝0，解得c＝3，∴b＋c＝1.
(2)由(1)，可得y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∵－4≤x≤3，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝－4时，y有最大值21.
(3)∵平移抛物线y＝x2－2x－3，其顶点始终在二次函数y＝2x2－x－1上，
∴设顶点坐标为(h,2h2－h－1)，故平移后的解析式为y＝(x－h)2＋2h2－h－1，
∴y＝x2－2hx＋h2＋2h2－h－1＝x2－2hx＋3h2－h－1.
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．将抛物线y＝x2－4x＋1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－5)2－1
C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－4)2＋6
2．将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__________________.
1
将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式
B
y＝(x－2)2＋1
2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
3．抛物线y＝x2－2x＋1的顶点是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(－2,1) D．(2，－1)
4．关于抛物线y＝x2－6x＋9，下列说法中错误的是( )
A．图象开口向上
B．顶点在x轴上
C．对称轴是直线x＝3
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
A
D
5．把二次函数y＝－x2－4x＋1化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为____________________，则其对应的抛物线的开口方向为________，对称轴是____________，顶点是__________.
y＝－(x＋2)2＋5
向下
直线x＝－2
(－2,5)
(2)讨论该函数的性质．
(2)当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；当x＝6时，y有最小值－6.
3
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与系数的关系
7．(2023·河南)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2)2＋c与一次函数y＝cx＋a的大致图象是( )
B
9．若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在二次函数y＝－x2＋x＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
A
10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为直线x＝－1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0；②a－b＋c>1；③3a＋c<0；④若顶点坐标为(－1,2)，当m≤x≤1时，y有最大值为2，最小值为－2，此时m的取值范围是－3≤m≤－1.其中正确的个数是( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A
11．已知二次函数y＝x2＋(a－1)x＋1.若当x>1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__________.
12．已知二次函数y＝x2－4x＋a的最小值为－9，且抛物线y＝x2－4x＋a的顶点在直线y＝kx－1上，则a＝________，k＝________.
－5
－4
13．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
(1)求函数图象的顶点，并画出这个函数的图象．
解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴函数图象的顶点为(1,4)，函数的图象如图所示．
(2)根据图象，直接写出：
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当 －2解：根据图象可知：
①当 －1②当 －214．已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值．
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c，
(2)由(1)得该抛物线的解析式为
y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
∴抛物线的顶点坐标为(－3,6)．
∵－1＜0，∴抛物线开口向下，
又∵－4≤x≤0，∴当x＝－3时，y有最大值为6.
(3)由(2)得抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴当x＞－3时，y随x的增大而减小；当x≤－3时，y随x的增大而增大，
①当－3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为－3，当x＝m时，y有最大值为－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
∴m1＝－2或m2＝－4(舍去)．
②当m≤－3时，当x＝－3时，y有最大值为6.
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为－4，∴－(m＋3)2＋6＝－4，(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
1．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为(－2,0)和(4,0)，则方程x2＋bx＋c＝0的根是( )
A．x1＝2，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝4
C．x1＝－2，x2＝－4 D．x1＝－2，x2＝4
2．抛物线y＝－x2＋3x－5与坐标轴的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．若二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是________.
1
二次函数与一元二次方程
D
B
m>1
4．已知在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表所示：
则方程ax2＋bx＋c＝0的根是______________.
x … －1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 －1 0 …
x1＝1，x2＝3
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解下列问题．
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(2)当x为何值时，y>0；当x为何值时，y<0
(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3.
(2)当10；
当x<1或x>3时，y<0.
(3)x>2.
2
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
6．二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值如下表所示：
方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1
C．1.2 D．1.3
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
C
7．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x1≈－3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( )
A．x2≈4.4 B．x2≈3.4
C．x2≈2.4 D．x2≈1.4
D
8．已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是( )
A．0,4 B．1,5
C．1，－5 D．－1,5
D
9．已知函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程x2－2x－2＝1的解是________________.
x1＝－1，x2＝3
10.若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为_______________.
11．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－4.
(1)若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝______.
(2)若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是____________.
(1,0)，(5,0)
2
12．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个交点．
解：(1)证明：(方法一)y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，则Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1>0.
(方法二)y＝(x－m)2－(x－m)＝(x－m)(x－m－1)，∴由y＝0得x1＝m，x2＝m＋1.
∵m≠m＋1，
∴无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个交点．
(2)∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)，
解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6，该抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)和(3,0)．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1,0)．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
(3)将该抛物线向上平移______个单位长度后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
4
解：(1)将A(0，－3)，B(1,0)代入y＝ax2＋2x＋c，
∴y＝x2＋2x－3.
(2)令x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3或x2＝1，
∴抛物线经过(－3,0)，(1,0)．
∵抛物线开口向上，
∴y＜0时，－3＜x＜1.
(3)要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上，
由(1)得该抛物线的解析式为y＝(x＋1)2－4，
∴该抛物线的顶点坐标为(－1，－4)，
要使顶点在x轴上，则顶点纵坐标应为0，
∴将该抛物线向上平移4个单位长度后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
故答案为4.