(共17张PPT)
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质
1.下列不属于旋转变换的是( )
A.钟摆的运动 B.行驶中的汽车车轮
C.方向盘的转动 D.电梯的升降运动
1
旋转的有关概念
D
2.如图,将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′.
(1)点B的对应点是______.
(2)旋转中心是______,旋转角是__________________.
(3)∠A的对应角是_________,线段OA的对应线段是____.
点B′
点O
∠AOA′(或∠BOB′)
∠A′
OA′
3.如图,△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置,∠A=20°,∠C=15°,点E,B,C在同一直线上,则旋转角度是__________.
35°
2
旋转的性质
4.如图,将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,则下列结论中错误的是( )
A.∠AOC=∠BOD B.∠A=∠C
D
5.如图,在△ABC中,∠BAC=33°,将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′,则∠B′AC的度数是_________.
17°
(1)∠CBE=______,∠ABE=______,∠BED=_______.
(2)BD=________,BE=______.
45°
75°
15°
7.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向外作等边三角形BCD,把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置,点E在AC的延长线上.若AB=3,AC=2,求∠BAD的度数和AD的长.
解:由旋转的性质可得,△ABD≌△ECD,
∴AB=CE=3,AD=ED,∠BAD=∠E,∠ADB=∠CDE.
∵∠ADB+∠ADC=60°,
∴∠EDC+∠ADC=∠ADE=60°,
∴△ADE为等边三角形,
∴∠BAD=∠E=60°.
∵点A,C,E在一条直线上,
∴AE=AC+CE=AC+AB=5.
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=AE=5.
8.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上.若AB=1,∠B=60°,则CD的长是( )
A.0.5 B.1.5
D
9.(2023·天津)如图,把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是( )
A.∠CAE=∠BED B.AB=AE
C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD
A
10.如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,将△ADE绕点A顺时针旋转90°后得到△ABF.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长是______.
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC.D是△ABC内的一点,将△ACD绕点C顺时针旋转90°后得到△BCE.若点A,D,E在同一条直线上,则∠AEB的度数是__________.
90°
(1)画出将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到的三角形.
(2)求BD的长.
解:(1)如图所示,△ECA即为所求.
(2)如图,连接BE,则△BCE为等腰直角三角形.
∴∠ABE=45°+45°=90°,
13.如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离.
(2)求∠APB的度数.
解:(1)如图,连接PP′,由旋转的性质,知AP′=AP=6,∠P′AB=∠PAC,
∴∠P′AP=∠BAC=60°,∴△P′AP是等边三角形,
∴PP′=6.
(2)∵P′B=PC=10,PB=8,PP′=6,
∴P′B2=PP′2+PB2,
∴△P′PB为直角三角形,且∠P′PB=90°,
∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°.(共12张PPT)
第二十三章 旋转
23.2 中心对称
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
1.(2023·凉山州)点P(2,-3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,-3)
C.(-3,2) D.(-2,3)
2.下列各点A(-2,1),B(-2,-1),C(2,-1),D(-1,2),关于原点O对称的两点是( )
A.点A与点B B.点A与点C
C.点A与点D D.点C与点D
关于原点对称的点的坐标特征
D
B
3.在平面直角坐标系中,将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′,则点A′关于原点对称的点的坐标是________________.
4.若点P(m,5)与点Q(3,n)关于原点对称,则m+n的值是________.
5.若将等腰直角三角形AOB按如图所示的方式放置,OB=2,则点A关于原点对称的点的坐标是__________________.
(1,-2)
-8
(-1,-1)
6.已知点A(a+b,3a-b)与点B(-2,6)关于原点对称.
(1)分别求a,b的值.
(2)求点A关于x轴的对称点的坐标.
(3)求点B关于y轴的对称点的坐标.
解:(1)∵点A(a+b,3a-b)与点B(-2,6)关于原点对称,
(2)由(1),得点A的坐标为(2,-6),
∴点A关于x轴的对称点的坐标(2,6).
(3)点B关于y轴的对称点的坐标为(2,6).
7.【教材P69练习3改编】如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2), ABCD的对角线交于坐标原点.
(1)求点C,D的坐标.
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程(点A的对应点是点C,点B的对应点是点D).
(3)直接写出 ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD关于点O成中心对称.
∵点A(-4,2),B(-1,-2),
∴点C(4,-2),D(1,2).
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:线段AB绕点O旋转180°.
(3)由(1)得,点A到y轴的距离为4,点D到y轴的距离为1,
点A到x轴的距离为2,点B到x轴的距离为2,
∴ ABCD的面积可以转化为边长为5和4的矩形的面积,
∴S ABCD=5×4=20.
8.点A(-3,2)关于原点的对称点是点B,点B关于x轴的对称点是点C,则点C的坐标是( )
A.(3,2) B.(-3,2)
C.(3,-2) D.(-2,3)
A
2
10.若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点在第一象限内,且a为整数,则a的值是__________.
11.如图,在网格图中,每个小正方形的边长均为1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
0或1
解:(1)如图所示,△AB1C1即为所求.
(2)如图所示,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(-3,1).
(3)如图所示,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(3,-5),点C2的坐标为(3,-1).
12.如图,△ABC的顶点坐标分别是点A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1.
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点Q成中心对称,直接写出点Q的坐标.
(4)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出点P的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所示.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所示.
(3)Q(-2.5,0).
(4)如图所示,作点A关于x轴的对称点A′,连接A′B交x轴于点P(2,0),则点P即为所求作的点.(共21张PPT)
第二十三章 旋转
◆小试卷(五)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.在平面直角坐标系中,点A(5,-3)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(-5,-3) B.(5,3)
C.(-5,3) D.(5,-3)
C
2.如图所示的图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图,其中是中心对称图形的是( )
A.①② B.②③
C.②④ D.②③④
C
3.如图,将△ABC绕点O逆时针旋转一定角度得到△DEF,则旋转中心及旋转角分别是( )
A.点B,∠ABO B.点O,∠AOB
C.点B,∠BOE D.点O,∠AOD
D
4.已知下列命题:
①关于中心对称的两个图形一定不全等;
②关于中心对称的两个图形是全等形;
③两个全等的图形一定关于中心对称.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
B
5.如图,△ABC为钝角三角形,将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△AB′C′,连接CC′.若CC′∥AB,则∠CAB′的度数是( )
A.45° B.60°
C.70° D.90°
B
6.如图,在△ADE中,∠AED=90°,将△ADE绕点A逆时针旋转90°得到△ABC,连接BD.若AC=3,DE=1,则线段BD的长是( )
A
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且点A,B′,A′在同一条直线上,则AA′的长是( )
A.4 B.6
C.3 D.5
B
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=AC=8.将三角尺的顶点放在AB的中点F上,三角尺的两边分别交AC,BC于点D,E,连接DE.三角尺在旋转的过程中,下列结论中错误的是( )
A.△DFE是等腰直角三角形
B.四边形CDFE的面积保持不变
C.△CDE面积的最大值为8
D.四边形CDFE不可能为正方形
D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.如图所示的美丽图案,可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转__________形成的.
45°
10.如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将Rt△ABC绕点C逆时针旋转180°得到Rt△FEC,则点A的对应点F的坐标是______________.
(0,1)
11.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA′B′,则点B′的坐标为____________.
(-4,8)
12.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为点B1,C1.
(1)△ACC1的形状是________(选填“等腰”或“不等边”)三角形.
(2)若∠BCC1=100°,则∠B1C1C=__________.
等腰
40°
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(本题12分)如图,△ADE是菱形ABCD外的一个三角形.
(1)画出菱形ABCD的对称中心O.
(2)画出△ADE关于点O成中心对称的三角形,不需说明过程.
解:(1)如图所示,点O即为所求.
(2)如图所示,△CBF即为所求.
14.(本题14分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,边AB的中点D旋转到点D′.已知AC=8,BC=6,求线段DD′的长.
解:如图,连接CD,CD′.由旋转的性质可得,
AB=A′B′,
∠DCD′=90°.
∵点D是边AB的中点,
∴CD,CD′分别是△ABC和△A′B′C的斜边上的中线,
∴CD=CD′,即△DCD′是等腰直角三角形.
15.(本题14分)在正方形ABCD中,点P是边CD上的点,点E在AP的延长线上,将线段AE绕点A顺时针旋转90°,到线段AF,连接DE.
(1)如图1,连接BF,判断线段BF与线段DE的数量关系,并给出证明过程.
(2)如图2,若EF正好经过点B.
①证明:BF⊥DE.
②探究BE,BF和AB三条线段之间的数量关系,并证明你的结论.
解:(1)BF=DE.证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°.
∵将线段AE绕点A顺时针旋转90°,到线段AF,
∴AE=AF,∠EAF=90°=∠BAD,
∴∠BAF=∠DAE,
∴△ABF≌△ADE(SAS),∴BF=DE.
(2)①证明:∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴∠AFE=∠AEF=45°.
∵△ABF≌△ADE,
∴∠AFB=∠AED=45°,
∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°,
∴DE⊥BF.
②BE2+BF2=2AB2.理由如下:
如图2,连接DB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴AB2+AD2=BD2,∴BD2=2AB2.
∵∠DEF=90°,
∴BE2+DE2=DB2,
∴BE2+BF2=2AB2.(共11张PPT)
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图
1.如图,在正方形网格中有△ABC,则△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形应该是( )
旋转作图
A
2.(2023·内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(8,4),连接OB,将OB绕点O逆时针旋转90°,得到OB′,则点B′的坐标为____________.
(-4,8)
3.如图,△ABC的顶点坐标分别是点A(3,6),B(1,3),C(4,2).若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,则点A的对应点A′的坐标是_________.
(8,3)
4.如图,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为点E,请画出点B,C,D的对应点的位置以及旋转后的四边形.
解:如图所示,四边形EFGH即为所求.
5.如图,点A,B,C,D分别在正方形网格的格点上,其中点A(-1,5),B(3,3),小华发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一定角度可以得到另一条线段,则这个点的坐标是______________.
(1,1)或(4,4)
6.如图,在正方形网格中,格点△ABC绕点O顺时针旋转α(0°<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,请在图中画出点O,并写出α=__________.
90°
解:如图所示,点O即为所求.
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是点A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为中心顺时针旋转180°,画出旋转后的△A1B1C.
(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2.
(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转后得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)旋转中心的坐标为(-1,0).(共10张PPT)
第二十三章 旋转
23.3 课题学习 图案设计
1.如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的,它也可以看作是以一个图案为“基本图案”,通过旋转得到的.下列图案中,不能作为“基本图案”的是( )
利用图形变换设计图案
B
2.下列图案中,不能由其中一个基本图案通过旋转而构成的是( )
C
3.如图,这个图案可以看作是以“基本图案”即原图案的四分之一经过变换形成的,但一定不能经过哪种变换得到
( )
A.轴对称和旋转 B.轴对称
C.平移 D.旋转
C
3
3
90°
5.如图所示的四个图案中,既可利用旋转来分析整个图案的形成过程,又可利用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
6.【核心素养·图形直观】如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).
若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠部分.若组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法有( )
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
C
7.如图1是由2个白色和2个灰色全等正方形组成的“L”型图案,请你分别在图2、图3上按下列要求画图.
(1)在图2中,添1个白色或灰色正方形,使它成中心对称图形.
(2)在图3中,先改变1个正方形的位置,再添1个白色或灰色正方形,使它既是中心对称图形,又是轴对称图形.
解:(1)所作图形如图2所示.
(2)所作图形如图3所示.(共16张PPT)
第二十三章 旋转
★单元复习与小结——核心考点归纳
1
旋转的概念和性质
1.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是( )
A.30° B.35°
C.40° D.45°
A
2.(2023·无锡)如图,在△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于点F.当α=40°时,点D恰好落在边BC上,此时∠AFE的度数是( )
A.80° B.85°
C.90° D.95°
B
3.如图,P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置.
(1)旋转中心是点______,旋转角的度数是__________.
(2)连接PP′,△BPP′的形状是__________________.
(3)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.
B
90°
等腰直角三角形
解:(3)在Rt△BPP′中,
∵∠BP′C=∠BPA=135°,
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°.
在Rt△PP′C中,
4.如图,矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形FECG,连接DG交EF于点H,连接AF交DG于点M.求证:AM=FM.
证明:由旋转的性质可得
CD=CG,AD=FG,
∠DCG=90°,
∴∠DGC=45°,
∴∠DGF=45°.
∵∠EFG=90°,
∴HF=FG=AD.
∵四边形ABCD与四边形FECG为矩形,
∴AD∥EF,∴∠DAM=∠HFM.
又∵∠DMA=∠HMF,∴△ADM≌△FHM,
∴AM=FM.
2
中心对称
5.(2023·朝阳)下列图形是中心对称图形的是( )
C
6.(2023·苏州)古典园林中的花窗通常利用对称构图,体现对称美.下面四个花窗图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
7.已知点P(a+1,2a-3)关于原点的对称点在第二象限内,则a的取值范围是______________.
C
3
关于旋转和中心对称的作图
8.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.
(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为点A,B的对应点).
(2)将线段A1B1绕点B1顺时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1.
解:(1)如图所示,线段A1B1即为所求.
(2)如图所示,线段A2B1即为所求.
9.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移6个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.
(2)以边AC的中点O为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
10.如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是(-3,-1).
(1)以原点O为中心作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1,并写出点B1的坐标.
(2)以格点P为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2,且使点A的对应点A2恰好落在△A1B1C1的内部格点上(不含△A1B1C1的边上),写出点P的坐标,并画出旋转后的△A2B2C2.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点B1的坐标是(2,4).
(2)如图所示,点P的坐标是(1,-2),△A2B2C2即为所求.(共10张PPT)
第二十三章 旋转
23.2 中心对称
23.2.2 中心对称图形
1.(2023·盐城)下列图形中,属于中心对称图形的是( )
1
中心对称图形
B
2.(2023·青岛)生活中有许多对称美的图形,下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
D
2
利用中心对称设计图案
3.如图,在4×4的正方形网格中,把其中一个标有数字的白色小正方形涂灰,就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形,则这个白色小正方形内的数字是______.
9
4.如图,在6×9的方格纸ABCD中,分别在边AB,BC,CD,DA上取四个格点M,N,P,Q(不与点A,B,C,D重合),使得四边形MNPQ是中心对称图形.
解:如图所示,四边形MNPQ即为所求.
5.(2023·怀化)剪纸又称刻纸,是中国最古老的民间艺术之一,它是以纸为加工对象,以剪刀(或刻刀)为工具进行创作的艺术.民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态,构成美丽的图案.下列剪纸中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
C
6.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.下列说法中错误的是( )
A.线段BD是中心对称图形
B.线段AD,BC成中心对称
C.△AOD是中心对称图形
D.△AOB与△COD成中心对称
C
7.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长均为1.点A,B,C在格点上,连接AB,BC.
(1)在图中确定点D,点D也在格点上,连接DC,DA,使得到的四边形ABCD为中心对称图形,并说明理由.
(2)在(1)确定点D后,在图中确定点E,点E(不与点C重合)也在格点上,连接ED,EB得到凸四边形ABED,使∠EBA=∠EDA,直接写出ED的长.(共11张PPT)
第二十三章 旋转
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
1.如图,在 ABCD中,若对角线AC,BD相交于点O,则与△AOB成中心对称的三角形是( )
A.△BOC B.△COD
C.△AOD D.△ACD
1
认识中心对称
B
2.如图,若△ABC和△DEF成中心对称关系,则对称中心是( )
A.点C B.点D
C.线段CF的中点 D.线段BC的中点
C
2
中心对称的性质
3.如图,若△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则下列结论中错误的是( )
A.点A与点A′是对称点
B.BO=B′O
D.∠ACB=∠C′A′B′
D
4.将△ABC绕点A旋转180°得到△AB′C′,其中点B的对应点是点B′.若∠BAC=50°,∠C=60°,则∠B′的度数是__________.
5.如图,已知AB=3,AC=1,∠D=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是____.
70°
6.如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE.
(1)△ADC和________成中心对称.
(2)已知△ADC的面积为4,则△ABE的面积是______.
△EDB
8
3
中心对称作图
7.如图,在正方形网格中,已知格点△ABC和点O.
(1)画出△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
(2)请在正方形网格中标出所有使以点A,O,C,D为顶点的四边形是平行四边形的点D.
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求.
(2)如图所示,点D1,D2,D3即为所求.
8.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则其对称中心是( )
A.点G
B.点H
C.点I
D.点J
C
9.如图,AD是△ABC的边 BC 上的中线.
(1)画出以点 D 为对称中心且与△ABD 成中心对称的三角形.
(2)若 AB=5,AC=7 ,求 AD 的长的取值范围.
解:(1)如图,延长 AD 至点 A′,使DA′=AD,连接 CA′,△A′CD 即为所求.
(2)根据中心对称的性质,可知
△ADB≌△A′DC,
∴AB=CA′=5,
∴7-5
∵AA′=2AD,
∴2<2AD<12,
∴1