(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定和性质
1．下列说法中正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．经过圆的半径的外端点的直线是圆的切线
1
切线的判定
B
2．如图，A是⊙O上的一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
B
3．如图，点A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．若∠ABO＝40°，当∠CAB＝__________时，AC是⊙O的切线．
50°
4．如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD＝BD.
(1)求证：BD与⊙O相切．
(2)若BD＝8，OA＝6，求AC的长．
解：(1)证明：如图，连接OB.
∵∠OAC＋∠ACO＝90°，
∠A＝∠OBA，
∠ACO＝∠DCB＝∠DBC，
∴∠ABO＋∠DBC＝90°，
∴BD与⊙O相切．
2
切线的性质
5．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，连接AO.若⊙O的半径为2，∠APO＝30°，则OP的长是( )
D
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D的度数是( )
A．20° B．30°
C．40° D．50°
C
7．如图，若以 ABCD的一边AB为直径的⊙O恰好与CD相切于点D，则∠C的度数是__________.
45°
8．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，点C为切点．若过点A作AD⊥l，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
证明：如图，连接OC.
∵直线l是⊙O的切线，点C为切点，
∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
即AC平分∠DAB.
9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AD是⊙O的切线的是( )
A．AB＝4，AD＝3，BD＝5
B．∠B＝45°，AB＝AD
C．∠B＝55°，∠DAC＝55°
D．∠ADC＝∠B
D
10．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
B
A．DE是⊙O的切线
B．直径AB的长为20 cm
C．弦AC的长为16 cm
D
12．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是边AB的中点，则∠DOE的度数是__________.
60°
13．(2023·北京)如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长是____.
14．(2023·大连)如图1，点A，B，C在⊙O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D，连接OD，与BC相交于点E.
(1)求∠OEC的度数．
(2)如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，
解：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD.
∵∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，∴∠B＝∠OEC.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，∴∠OEC＝90°.
(2)如图，连接DC.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝OC＝r，
OE＝r－4，AB＝2OE＝2r－8，AC＝2r.
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2＝CE2＋DE2＝OC2－OE2＋DE2，
∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AC.
∵DG∥FA，∴DG⊥AC，(共6张PPT)
第二十四章 圆
综合与实践二 垂径、弧长综合应用
(2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50 cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH.
计算：在图1中，已知MN＝48 cm，作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长．
操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图2.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D.
探究：在图2中
解：(1)连接OM.
(2)∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH.
∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D.
A
A
B
M
N
N
C
M
B(N
D
Q
G
H
G
F
E
H
图1
图2
--
--r
B
M
口
N
C
G
H(共18张PPT)
第二十四章 圆
◆小试卷(八)
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．若一个正多边形的中心角为72°，则这个正多边形的边数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．(2023·东营)若圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B
A
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是( )
A．45° B．38°
C．36° D．30°
C
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5.若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积是
( )
A．6π B．9π
C．12π D．15π
D
A．30° B．45°
C．50° D．55°
B
6．三个正方形在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，正方形的顶点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上．若每个正方形的边长都为1，则扇形OEF的面积 是( )
A
A
8．(2023·河北)如图，点P1～P8是⊙O上的八等分点．若△P1P3P7、四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知⊙O的内接正六边形的周长为12 cm，则这个圆的半径是______cm.
10．用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面．若这个圆锥的底面圆的半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长是________.
2
12
10π
12．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,4)，B(－4,4)，C(－6,2)．
(1)若该圆弧所在圆的圆心为点D，则AD的长是______.
(2)若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是____.
三、解答题(本大题共4小题，共48分)
13．(本题10分)如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧得到扇形ABD.现将该扇形围成一圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径．
解：设圆锥的底面圆的半径为r.
解得r＝1，
∴该圆锥的底面圆的半径为1.
(1)求∠BPC的度数．
(2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
15．(本题12分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD交AD于点E，连接BC交AD于点F.
(1)求证：AE＝ED.
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED.
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝72°，
16．(本题14分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.
(1)求∠CEB的度数．
解：(1)如图，连接BC，
则∠ADC＝∠ABC.
∵∠ADC＝50°，
∴∠ABC＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝40°.
∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°＋40°＝100°.
(2)如图，连接BD，OC，
则∠AOC＝2∠ADC＝100°.(共16张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1．下列说法中正确的是( )
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同的两个圆是等圆
1
圆及其有关概念
B
2．下列说法中正确的是( )
A．长度相等的弧是等弧
B．优弧大于劣弧
C．优弧有可能与劣弧相等
D．等弧是指能够互相重合的弧
D
3．如图，_______是⊙O的直径，弦有_____________，劣弧有_________，优弧有____________.
AC
AB，BC，AC
2
圆的半径相等
4．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦AB的长是______.
5
5．如图， AB 是 ⊙O 的直径，点 D 是弦 BC 的中点．若AC＝4 cm，则 OD 的长是________cm.
2
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在直径AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数是__________.
40°
7．如图，AB，CD为⊙O的两条直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF.求证：AF＝BE.
证明：证△AOF≌△BOE(SAS)即可．
8．如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，
证OA＝OB＝OC＝OD即可．
9．有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是( )
A．1 B．4
C．10 D．11
D
10．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB.若∠DOB＝72°，则∠E的度数是( )
A．36° B．30°
C．18° D．24°
D
11．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数是____________.
140°
12．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线和AC于点E，F，连接EF并延长交BC于点G，EG⊥BC.求证：AB＝AC.
证明：∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠CFG，∴∠E＝∠CFG.
∵EG⊥BC，
∴∠E＋∠B＝90°，∠C＋∠CFG＝90°，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
13．如图，在⊙O中，半径OC与直径AB垂直，E，F分别为OC，OA上一点，且满足OE＝OF，BE的延长线交CF于点D.请问：BE与CF有怎样的关系？说明理由．
解：BE＝CF，BE⊥CF.理由如下：
∵半径OC与直径AB垂直，
∴∠BOE＝∠COF＝90°.
在△BOE与△COF中，
∴△BOE≌△COF(SAS)，
∴BE＝CF，∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BEO＝90°，∠CED＝∠BEO，
∴∠C＋∠CED＝90°，
∴∠CDE＝90°，∴BE⊥CF.(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为4，则点P在
( )
A．⊙O内 B．⊙O上
C．⊙O外 D．无法确定
1
点和圆的位置关系
C
2．已知圆的直径为10 cm，若点P到圆心O的距离是d，则
( )
A．当d＝8 cm时，点P在⊙O外
B．当d＝10 cm时，点P在⊙O上
C．当d＝5 cm时，点P在⊙O内
D．当d＝0 cm时，点P在⊙O上
A
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于点D，点O为AB的中点，以点C为圆心，r为半径作⊙C.
(1)若r＝3，则点A在⊙C______，点D在⊙C______，点B在⊙C上．
(2)当r＝__________时，点O在⊙C上；当r＝__________时，点D在⊙C上．
外
内
2.5
2.4
4．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为圆心，作一个半径为1的圆．分别指出正方形ABCD的顶点A，B，C，D与⊙A的位置关系？
解：∵点A为⊙A的圆心，∴点A在⊙A内．
∵AB＝1，∴点B在⊙A上．
∵AD＝1，∴点D在⊙A上．
2
三角形的外接圆与外心
5．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形有且只有一个外接圆
D．圆有且只有一个内接三角形
6．下列三角形的外心位于其一边上的是( )
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
7．在Rt△ABC 中，∠C＝90°.若AB＝2，则Rt△ABC的外接圆半径为__________.
C
D
1
3
反证法
8．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设____________.
9．如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，求证：AB与CD不能互相平分．
证明：设AB，CD交于点P，连接OP.
假设AB与CD能互相平分，则CP＝DP，AP＝BP.
∵AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD.
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以假设不成立．
所以AB与CD不能互相平分．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C
11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中错误的是 ( )
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
A
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝58°，则∠CAO的度数是__________.
32°
13．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)画出△ABC的外接圆⊙O′.
(2)直接写出点O′的坐标为______________.
(3)△ABC外接圆的半径为____.(直接写出结果)
(3,4)
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，AM是边BC上的中线．
(1)以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，M与⊙A是什么位置关系？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
解：(1)点B在⊙A上，点C在⊙A外，点M在⊙A内．
15．如图，点D是等边三角形ABC的边BC上的中点，AB＝2，动点M满足AM⊥CM.
(1)求证：点A，D，C，M在同一个圆上．
(2)连接BM，求线段BM长的最大值和最小值．
解：(1)证明：如图1，连接AD.
∵AD是等边三角形ABC的边BC上的中线，∴AD也是等边三角形ABC的边BC上的高线，则△ACD是直角三角形．
设点O是AC的中点，连接OD，OM.
∵AC是Rt△ACD和Rt△ACM的斜边，OD，OM分别是斜边AC上的中线，
∴OA＝OD＝OC＝OM，
即点A，D，C，M在同一个圆上．
(2)如图2，当直线BM经过AC中点O时，BM的长有最大值和最小值．(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若PA＝3，则PB的长是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
1
切线长定理
B
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，OP交⊙O于点E.下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．OP⊥AB D．PE＝OE
D
3．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB＝10，AC＝7，则BD的长是______.
3
4．【教材P101习题6改编】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的两条切线，点A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是__________.
66°
5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.
证明：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴PA＝PB，
∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)，
∴AC＝BC.
2
三角形的内切圆与内心
6．三角形的内心是( )
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高线的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
D
A
8．直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则它的内切圆的半径是______.
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长是____.
2
5
10．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，两边分别交AB于点D，E，则△IDE的周长是( )
A．3 B．4
C．5 D．7
C
11．(2023·广州)如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则(BF＋CE－BC)的值和∠FDE的大小分别是( )
A．2r,90°－α B．0,90°－α
D
12．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，点B，C为切点．若∠A＝50°，P是⊙O上异于点B，C的一个动点，则∠BPC的度数是________________.
65°或115°
13．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BD.求证：DE＝DB.
证明：如图，连接BE.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∠ABE＝∠CBE.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝∠CAD＋∠CBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠DBE，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DE＝DB.
14．【教材P102习题11改编】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6，OC＝8.
(1)求∠BOC的度数．
(2)求BE＋CG的长．
解：(1)根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，
∠OBF＝∠OBE，
∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°.
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D.
(1)如图1，连接DB，求证：DB＝DE.
证明：(1)如图，连接BE.
∵点E是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6.
∵∠5＝∠1＋∠3，∠DBE＝∠6＋∠4＝∠1＋∠3，
∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE.
(2)如图，延长AC至点F，使CF＝AB，连接DF.
∵点E为△ABC的内心，∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，DB＝DC.
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠DCF＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF.
∴△ABD≌△FCD(SAS)，∴∠F＝∠BAD＝30°.
在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°，(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
1．如图，下列各角中是圆心角的是( )
A．∠ABC B．∠AOB
C．∠OAB D．∠OBC
1
认识圆心角
B
60°
2
弧、弦、圆心角之间的关系
3．若两个圆心角相等，则( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都错误
D
A．32° B．60°
C．68° D．64°
D
60°
40°
证明：如图，连接OC.
证∠A＝∠ACO＝∠COD＝∠DOB即可．
8．如图，在⊙O中，弦AD＝BC.求证：AB＝CD.
证明：∵弦AD＝BC，
∴AB＝CD.
证明：如图，连接OE.
∴∠AOC＝∠COE，
∴△AOC≌△EOC(SAS)，
∴∠ACO＝∠ECO，
∴CD平分∠ACE.
10．【教材P85练习1改编】如图，在⊙O中，AB，CD是⊙O的两条弦，OM⊥CD于点M，ON⊥AB于点N.若AB＝CD，则下列结论中错误的是( )
A．∠AOB＝∠DOC
C．OM＝DM
D．OM＝ON
C
A．120° B．135°
C．150° D．165°
A
12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦DE＝FG＝HI，则∠AOC＝____________.
125°
证明：如图，连接AF.
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，
∴∠GAE＝∠EAF，
证明：如图，连接OM，ON.
∵AB是⊙O的直径，点C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD.
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O到Rt△ABC三边所在直线的距离都相等，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与Rt△ABC三边所在的直线分别交于点D，E，F，G.
(1)求证：BE＝BF.
(2)若BF＝2，AD＝16，求⊙O的半径．
解：(1)证明：如图，过点O分别作OM⊥FG于点M，ON⊥CE于点N，连接OB.
易证FG＝CE，FM＝EN，△BOM≌△BON(HL)，
∴BM＝BN，
∴BE＝BF.
(2)如图，连接OC，过点O作OH⊥CD于点H.
易证AM＝AH，FM＝CH，设AC＝x，
∴AC＝AF＝x，则CD＝16－x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋2)2＝x2＋(14－x)2，
解得x1＝8，x2＝24(不合题意，舍去)，(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1．(2023·大连)在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是( )
1
弧长公式
C
2．(1)已知扇形的半径为10，弧长为10π，则这个扇形的圆心角为____________.
(2)若弧长为4π cm的扇形的圆心角为120°，则这个扇形的半径为______cm.
180°
6
π
30°
5．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C＝40°.
(1)求∠B的度数．
解：(1)∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠BAC＝90°.
∵∠C＝40°，
∴∠B＝50°.
(2)如图，连接OD.
∵∠B＝50°，∴∠AOD＝2∠B＝100°，
2
扇形面积公式
6．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
7．若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则这个扇形的半径是( )
A．3 B．9
C
D
8．(2023·锦州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
D
9．如图，扇形折扇完全打开后，OA，OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm.求图中阴影部分的面积S.(结果保留π)
10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是( )
C
C
12．【新考法】如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为6 cm，则该“莱洛三角形”的周长是________cm.
6π
13．如图，已知正方形铁丝框ABCD的边长为10.现使其变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形的面积是__________.
100
14．(2023·内蒙古)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______.
π
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．
解：(1)直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图所示，连接OA.
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC.
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD.
∵∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝120°.
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD.
∵OA是⊙O的半径，∴直线AD与⊙O相切．
(2)如图，连接OC，作OH⊥BC于点H.
∵OB＝OC＝6，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，(共20张PPT)
第二十四章 圆
◆小试卷(七)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．下列条件可以确定一个圆的是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．过三个已知点
D．过一个三角形的三个顶点
D
2．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是(5,2)，则点P与⊙A的位置关系是( )
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A上
C．点P在⊙A外 D．无法确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，2.5 cm长为半径作圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
A
A
4．(2023·哈尔滨)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD.若∠B＝65°，则∠DOC的度数是( )
A．45° B．50°
C．65° D．75°
B
5．如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．若∠A＝66°，则∠BCD的度数是( )
A．14° B．24°
C．34° D．66°
B
6．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P＝30°，则AC的长是( )
A
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
A．35° B．30°
C．25° D．20°
C
8．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，直线OP交⊙O于C，D两点，交AB于点E，AF为⊙O的直径．下列结论中错误的是( )
C．PE⊥AB D．∠ABP＝∠AOP
B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，E是AB延长线上的一点，∠E＝20°，当∠A＝__________时，CE是⊙O的切线．
35°
10．如图，⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝____.
11．如图，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于M，N两点，将半径为1的⊙O以每秒1个单位长度的速度向右做平移运动，当移动______________s时，直线MN恰好与⊙O相切．
(1)若△PDE的周长为10，则PA的长是______.
(2)连接CA，CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数是________.
5
115°
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
13．(本题12分)如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线且与半径OB的延长线交于点D，∠A＝30°，求∠BCD的度数．
解：如图，连接OC.
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
由圆周角定理，可知∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCD＝∠OCD－∠BCO＝90°－60°＝30°.
14．(本题14分)如图，AD是⊙O的直径，AB是弦，∠A＋∠C＝90°，CD∥AB.求证：BC是⊙O的切线．
证明：如图，
连接OB，BD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A＋∠1＝90°.
又∵OB＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠A＋∠2＝90°①.
∵CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∴∠C＋∠3＝90°②.
由①＋②，得(∠A＋∠C)＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝180°－90°＝90°.
又∵OB是⊙O的半径，点B是⊙O上的点，
∴BC是⊙O的切线．
(1)求∠OCB的度数．
(2)若EF＝3，求⊙O直径的长．
解：(1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，∴∠OCB＋∠BCP＝90°.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°.
(2)如图，连接DE.
∵CD是直径，∴∠DEC＝90°.(共25张PPT)
第二十四章 圆
★单元复习与小结——核心考点归纳
1
垂径定理及其推论
1．(2023·宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
B
2．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为( )
D
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2.若以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长是______.
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长是______.
4
5．(2023·永州)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm.
16
2
弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化
A．24° B．26°
C．48° D．66°
C
7．如图，点A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD.下列说法中错误的是( )
A．∠AOB＝∠COD B．∠AOC＝∠BOD
C．AC＝BD D．OC＝CD
D
8．(2023·杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC的度数是( )
A．23° B．24°
C．25° D．26°
D
9．如图，⊙O为△ACD的外接圆，AB是⊙O的直径．若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是__________.
40°
1
11．(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD.
证明：如图，延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N.
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝3，
3
切线的性质和判定
12．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长是( )
B
13．(2023·眉山)如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数是( )
A．25° B．35°
C．40° D．45°
C
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.若以点C为圆心，作半径为2 cm圆与斜边AB相切，则BC的长是______cm.
15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若△PCD的周长为3，则PA的长是__________.
1.5
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，CA的延长线交⊙O于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若DE＋EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
解：(1)证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，
则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°.
∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE，
设AE＝x.∵DE＋AE＝8，
∴OH＝DE＝8－x，OA＝OD＝HE＝AH＋AE＝8＋x.
在Rt△AOH中，由勾股定理，得AH2＋OH2＝OA2，即82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，
∴OA＝8＋2＝10，∴⊙O的半径为10.
4
圆中的有关计算
17．(2023·牡丹江)用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
C
C
19．(2023·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE.以点E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为__________(结果保留π)．
4－π
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线．
解：(1)证明：如图所示，连接OD，CD.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°.
∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°－60°＝30°.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝60°＋30°＝90°，即OD⊥AB. ∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线．
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO.(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
1．下列说法中错误的是( )
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
2．将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是__________图形，直径所在的________就是圆的对称轴，圆有________条对称轴．
1
圆的对称性
C
轴对称
直线
无数
2
垂径定理及其推论
3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长是( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
A
4．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.下列结论中错误的是( )
D
5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB.若CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是______.
6．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长是______.
3
8
7．如图，AB是⊙O的弦，点C，D在直线AB上，且AC＝BD，连接OC，OD.求证：OC＝OD.
证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H，则AH＝BH.
∵AC＝BD，∴AC＋AH＝BD＋BH，即CH＝DH.
在△OCH和△ODH中，
∴△OCH≌△ODH(SAS)，∴OC＝OD.
3
垂径定理的应用
8．往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度是________cm.
16
9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工作槽内，测得有关数据(单位：cm)如图所示，则该铁球的直径长为________cm.
10
10．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦．若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径长是( )
A．14 cm B．12 cm
C．10 cm D．8 cm
C
11．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为________.(结果保留π)
400 π
12．【数学文化】(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为________寸．
26
13．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当水面涨到跨度只有30 m时，就要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4 m，即PN＝4 m时，是否需要采取紧急措施？
解：如图，设圆心为O，半径为r，连接AO，A′O，OM，OB.在Rt△OAM中，OA2＝AM2＋OM2，即r2＝302＋(r－18)2，解得r＝34.
∵A′B′＝32>30，∴不需要采取紧急措施．
14．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长．
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD.
∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝6.
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝3，∴CE＝3－2＝1.
设OE＝x，由勾股定理，得OA2＝x2＋9，OC2＝x2＋1.
∵CD⊥OC，∴CD2＝OD2－OC2＝x2＋9－(x2＋1)＝8，
15．如图，在⊙O中，点E，F分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD.
(1)求证：∠AEF＝∠CFE.
(2)若∠EOF＝120°，OE＝4 cm，求EF的长．
解：(1)证明：∵点E，F分别是弦AB，CD的中点，
∴EO⊥AB，FO⊥CD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵OE⊥AB于点E，
OF⊥CD于点F，
∴OE和OF是圆的两条弦的弦心距．
∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，
∴OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，
∴∠AEO－∠OEF＝∠CFO－∠OFE，
即∠AEF＝∠CFE.
(2)如图，过点O作OM⊥EF于点M.
由(1)可知∠OEF＝∠OFE.
又∵∠EOF＝120°，(共7张PPT)
第二十四章 圆
综合与实践一 垂径定理应用
利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB＝L称为跨度，桥面最高点C到AB的距离CD＝h称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成圆弧形或抛物线形，若修建拱桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧形 抛物线形
任务一 设计成圆弧形，求该圆弧所在圆的半径.
设计成抛物线形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式．
设计方案 方案一 方案二
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝6.1米，EH＝16米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁？
解：任务一：
任务二：
①在圆弧形拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示：连接OE，则OE＝R＝20，OM＝OD＋DM＝12＋6.1＝18.1，在Rt△OEM中，EM2＝OE2－OM2，∴EM2＝202－18.12＝72.39＞64，∴货船能顺利通过圆弧形拱桥；
C
A
D
B
E
计
H
D
A
B
F
G(共9张PPT)
第二十四章 圆
实践操作一 圆与无刻度直尺画图
类型一 画圆心或直径
1．如图，⊙P经过格点A，B，E，画圆心P.
类型二 画平行弦
类型三 画角平分线
3．如图，⊙P经过格点A，B，C，画弦BD，使BD平分∠ABC.
类型四 画弧的中点
类型五 画切线
5．如图，点O，A，Q都是格点，⊙O经过点A，过点Q作⊙O的两条切线．
类型六 画等弧
类型七 画内心
7．如图，O是格点，⊙O经过格点A，M，N，画△AMN的内心I.
类型八 画等弦
8．如图，⊙P经过格点A，B，E，F是⊙P与网格线的交点，画弦FG，使FG＝FA.
A
B
◆
◆
D
E
D
C
P
B
■
|
I
I
|
■
B
◆
■
N
■
■■
◆
B(共18张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．在平面直角坐标系中，以点(4,3)为圆心，4为半径的圆
( )
A．与x轴相切 B．与x轴相离
C．与y轴相切 D．与y轴相交
1
直线和圆的位置关系的判定
C
C
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.若以点B为圆心，4为半径作⊙B，则⊙B与AC的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
A
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm.
(3)r＝2 cm.
2
直线和圆的位置关系的性质
5．直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r<6 B．r＝6
C．r>6 D．r≥6
6．(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是( )
A．2 B．5
C．6 D．8
C
B
7．如图，∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24，以点P为圆心，r为半径作⊙P.
(1)若r＝12，试判断⊙P与OB的位置关系．
(2)若⊙P与OB相离，试直接写出r需满足的条件．
解：(1)相切．
(2)08．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是
( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．平行
C
9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D，E分别是边AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
B
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边BC上的中点，以点D为圆心，2.5 为半径作圆，则⊙D与直线AC的位置关系是____________.
相交
50°或110°
12．如图，在平面直角坐标系中，以点A(8,3)为圆心，5个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C.
(1)将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得⊙A1，此时点A1的坐标为______________.
(2)求出点B，C的坐标．
3
(5,3)
解：(1)根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A1的坐标是(5,3)，则移动的距离是8－5＝3.
故答案为3；(5,3)．
(2)如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC＝2DC.
由点A(8,3)可得AD＝3.
又∵半径AC＝5，
∴点B的坐标是(4,0)，点C的坐标是(12,0)．
13．如图，O为坐标原点，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，半径为2的⊙O经过A，B两点．
(1)求此一次函数的解析式．
(2)求圆心O到直线AB的距离．
解：(1)∵半径为2的⊙O经过A，B两点，
∴OA＝OB＝2，∴A(2,0)，B(0,2)．
把A(2,0)，B(0,2)代入y＝kx＋b，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋2.
(2)设圆心O到直线AB的距离为h.
14．【教材P101习题3改编】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE.
(1)求证：OB与⊙D相切．
(2)若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．(共18张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A＝40°，则∠C的度数是( )
A．110° B．120°
C．135° D．140°
圆内接四边形的性质
D
2．已知在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠C＝1∶2，则∠A的度数是( )
A．50° B．60°
C．100° D．120°
3．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
B
A
4．(2023·襄阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC的度数是_________.
140°
5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠DAB＝90°，CD＝3，BC＝4，则∠C的度数是_______，⊙O的直径长是______.
90°
5
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，且与BC相交于点E，连接AE.求证：AB＝AE.
证明：∵∠B＝∠D，
∠AEB＝∠D，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE.
解：如图，连接BC.
∵∠BOC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在AB，DC的延长线上，且∠F＋∠EBC＝180°，求证：EF∥AD.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵∠F＋∠EBC＝180°，
∴∠F＋∠D＝180°，
∴EF∥AD.
A．45° B．50°
C．55° D．60°
B
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AB，DC的延长线相交于点F.若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F的度数是__________.
35°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠C＝2∠A.
(1)求∠A的度数．
解：(1)∠A＝60°.
(2)如图，作直径BE，
连接DE，则∠E＝∠A＝60°，
∠BDE＝90°，
∴BE＝8，∴⊙O的半径为4.
12．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于直径AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C.
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：(1)证明：如图，连接AD，
则∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.
∵CD＝BD，∴AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝∠E，
即∠E＝∠C.
(2)∵∠B＝∠E＝55°，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°，
∴∠CAB＝70°，∴∠BDF＝110°.
13．已知，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.
(1)如图1，求证：BD是圆的直径．
(2)如图2，点O为圆心，过点C作∠BCF，使∠BCF＝∠ACB，交AB的延长线于点F，若FC∥AD，BF＝2，求⊙O半径的长．
解：(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴BD是圆的直径．
(2)如图，连接OC.
∵FC∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°.
∵BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°，
∴∠F＝90°.
∵∠BCF＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB＝∠BCF.
∵∠BAC＋∠ACB＋∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠BAC＝30°，∴BC＝2BF＝4.
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝4，即⊙O半径的长是4.(共19张PPT)
第二十四章 圆
◆小试卷(六)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列说法中正确的是( )
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
B
2．如图，在⊙O中，∠BOC＝54°，则∠BAC的度数是
( )
A．27° B．28°
C．36° D．54°
A
3．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BC，且AB＝10，AC＝8，则OD的长是( )
C．4 D．5
A
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是( )
A．45° B．50°
C．60° D．75°
5．如图， AB是⊙O 的直径， CD为弦，AB⊥CD.若∠BOC＝70°，则∠A的度数是( )
A．70° B．35°
C．30° D．20°
C
B
C．3 D．4
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
70°
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2，则CD的长是____.
10．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B＋∠E的度数是____________.
210°
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
11．(本题12分)如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
证明：如图，
连接AC.
∵AB＝CD，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC.
12．(本题12分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足是点M，AM＝18，BM＝8.求弦CD的长．
解：如图，连接OC.
∵AM＝18，BM＝8，
∴AB＝26，
∴OM＝OB－BM＝13－8＝5.
∵直径AB⊥弦CD于点M，
∴CD＝2CM＝2DM.
在Rt△OCM中，由勾股定理，得
∴CD＝24.
13．(本题12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE.
(1)求证：∠DAE＝∠BCD.
(2)求证：DB＝DC.
证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＋∠DAB＝180°.
又∵∠DAE＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝∠BCD.
(2)∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠DBC.
∵AD平分∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC.
由(1)可知∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠DBC，
∴DB＝DC.
14．(本题14分)如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD相交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F.
(2)求证：EF⊥BD.
解：(1)∵E是AC的中点，
∴OE垂直平分AC，
∴OE⊥AC，AC＝2AE.
(2)证明：∵AB⊥CD，
∴∠APC＝∠BPD＝90°，
∴∠DPF＋∠BPF＝90°.
∵E是AC的中点，
∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，
∴∠DPF＝∠B，
∴∠B＋∠BPF＝90°，
∴∠BFP＝180°－(∠B＋∠BPF)＝90°，
∴EF⊥BD.(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
1．下列图形中的角是圆周角的是( )
1
圆周角定理
C
2．(2023·河南)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数是( )
A．95° B．100°
C．105° D．110°
D
3．(2024·蜀山一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°，则∠C的度数是( )
A．35° B．40°
C．55° D．65°
C
15°
2
圆周角定理的推论
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B B．∠C
C．∠DEB D．∠D
D
6．(2023·广东)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是( )
A．20° B．40°
C．50° D．80°
B
7．(2023·黄冈)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC的度数是( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
D
8．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D.求证：∠BAO＝∠CAD.
证明：如图，连接CE，
则∠ECA＝90°，∠B＝∠E ，
证∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAO＝∠CAD.
9．(2023·鞍山)如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长 是( )
D
A．22° B．32°
C．34° D．44°
C
11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AB＝m.
(1)若∠ACB＝30°，则⊙O的直径为______.
(2)若∠ACB＝45°，则⊙O的直径为____.
2m
12．如图，⊙O的半径为5.若∠AOB＋∠COD＝180°，弦CD＝6，求弦AB的长．
解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCO＝∠D.
解：(1)证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B.
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D.
(2)∵AB是⊙O的直径，且 CD⊥AB于点E，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2.
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2，∴r2＝
∴⊙O的半径为3.
14．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)若AC＝6，BC＝8.
①求S四边形ADBC；
②求CD的长．
(2)若AB＝10，求AC＋BC的最大值．
(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F，
易证△BFD≌△DEA，
∴BF＝DE.(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
1．已知一个圆锥的底面圆的半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
1
圆锥的侧面积和全面积的计算
B
2π
3．已知Rt△ABC的一条直角边AB＝12，另一条直角边BC＝5，求以AB为轴旋转一周所得到的圆锥的全面积．
解：底面圆的面积：πr2＝π×52＝25π.
圆锥的全面积：25π＋65π＝90π.
2
圆锥侧面展开图的相关计算
4．已知一个圆锥侧面展开图的面积是24π的扇形，其弧长是2π，则这个扇形的半径为( )
A．24 B．22
C．12 D．6
5．圆锥的底面圆的半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是( )
A
A
6．已知圆锥的底面圆的半径为3 cm，高为4 cm，则母线长是______cm，圆锥的侧面积是__________cm2.
5
15π
7．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，母线l＝6 cm，求扇形的圆心角θ.
解：圆锥的底面周长是2π×2＝
4π (cm)．
∵圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，
母线l＝6 cm，
解得θ＝120°，
∴扇形的圆心角θ为120°.
8．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，刚好能围成一个圆锥模型．若设围成的圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则r与l之间的关系是( )
A．l＝2r B．4l＝9r
C．l＝3r D．l＝4r
D
2
10．(2023·自贡)如图，小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是____cm2.
11．如图，现有一个圆心角为90°、半径为80 cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．若用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封．(接缝都忽略不计)
(1)求该圆形盖子的底面半径．
(2)制作这个密封量筒共用铁片多少平方厘米？(结果保留π)
设圆锥底面圆的半径是r cm，则2πr＝40π，
解得r＝20.
故该圆形盖子的底面半径是20 cm.
2 000π(cm2)，
∴制作这个密封量筒共用铁片2 000π cm2.
(1)求AB的长．
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，求所得圆锥的底面圆的半径．
解：(1)如图，连接BC.
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝1 m.
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r m.
(2)如图2，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
解：(1)∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
(2)设圆锥的底面圆的半径为r.(共9张PPT)
第二十四章 圆
实践操作二 尺规作图与圆
1．(2023·甘肃)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧，交⊙O于G，H两点，即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．
解：如图，点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分．
2．(2023·连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
(2)在(1)的条件下，求证：BD＝BF.
解：(1)方法不唯一，如图所示，BF即为所求．
(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB.
∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°.
又∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°.
∵CE∥AB，
∴∠BFC＋∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC.
∴△BCD≌△BCF(AAS)，∴BD＝BF.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高．
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O.
解：(1)如图，作AC的垂直平分线交AD于点O，以点O为圆心，
OA的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求．
设OA＝OB＝R，则OD＝9－R.
∵OB2＝OD2＋BD2，∴R2＝(9－R)2＋32，解得R＝5，
∴⊙O的半径为5.(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
1．下列说法中错误的是( )
A．圆内接正多边形的每个内角都相等
B．圆内接正多边形都是轴对称图形
C．圆内接正多边形都是中心对称图形
D．圆内接正多边形的中心到各边的距离的相等
1
正多边形与圆的关系
C
2．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是正五边形．
证明：∵五边形ABCDE内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
点A，B，C，D，E将⊙O五等分，
∴五边形ABCDE是正五边形．
2
与正多边形有关的计算
3．若一个正多边形的中心角为 90°，则这个正多边形的边数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
A
4．(2023·安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60° B．54°
C．48° D．36°
D
5．【教材P106练习3改编】求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积，将结果填写在表中：
1
120°
90°
8
2
60°
6.(2023·陕西)如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为________.
3
等分圆周画正多边形
7．如图，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，四边形ABCD即为所求．
144°
2
10．如图，AB，CD是⊙O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O相交于E，F两点，连接AE.
(1)求证：AE是正六边形的一条边．
(2)请在图上作出这个正六边形．(不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)证明：如图，连接OE，OF，AF.
∵AE＝OA＝OE，
∴△AOE是正三角形，
∴∠OAE＝60°.
同理△OAF是正三角形．
∴∠OAF＝60°，
∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°，
∴AE是正六边形的一条边．
(2)如图所示，正六边形AFGBHE即为所求．
11．【核心素养·图形直观】如图1,2,3，…，n，M，N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数．
(2)图2中∠MON的度数是__________，图3中∠MON的度数是__________.
(3)探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
90°
72°
解：(1)如图1，连接OA，OB.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝30°，
∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，AB＝BC，∴AM＝BN，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，
∴∠AOB＝∠MON＝120°.
