(共16张PPT)
第二十五章 概率初步
★单元复习与小结——核心考点归纳
1
事件的分类
1．(2023·营口)下列事件是必然事件的是( )
A．四边形的内角和是360°
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
A
2．下列事件：①若a，b都是实数，则a＋b＝b＋a；②射击一次，中靶；③抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上；④8张相同的小标签分别标有数字1～8，从中任意抽取1张，抽到0号签．其中属于随机事件的是____.(填序号)
②③
2
概率的计算和实际应用
3．(2023·通辽)在英语单词polynomial(多项式)中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是( )
A
4．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 s、绿灯亮25 s、黄灯亮5 s，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是
( )
A
5．有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个信封，现将编号为Ⅰ，Ⅱ的两封信随机地放入其中两个信封里，则信封编号与信编号都相同的概率是( )
C
7．某校九(1)班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是____.
12
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是____.
(2)先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签，求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
解：(2)从盒子A中任意抽出2支签，可能得到的实数组合列表如下：
再从盒子B中任意抽出1支签，将抽到的2个实数进行运算列表如下：
对应的组合运算结果共12个，其中运算结果为无理数的有10个，
10．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
(1)在随机抽取的240人中最喜欢A套餐的人数是________，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的度数是____________.
(2)依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数．
(3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中随机选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
60
108°
解：(2)估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336(人)．
(3)画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲被选到的结果有6种，
3
用频率估计概率
11．一个袋子中装有12个球 (袋子中每个球除颜色外其余都相同). 某活动小组想估计袋子中红球的个数， 分10个组进行摸球试验， 每一组做400次试验， 汇总后， 摸到红球的次数为 3 000次．请你估计袋子中红球的个数接近( )
A．3 B．4
C．6 D．9
D
12．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是__________(结果保留一位小数)．
0.9(共9张PPT)
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
1．(2023·武汉)掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
2．(2023·徐州)下列事件中的必然事件是( )
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
1
必然事件，不可能事件，随机事件
B
A
3．判断下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
①两直线平行，内错角相等；②打靶命中靶心；③物体在重力的作用下自由下落；④掷一次骰子，向上一面是0点．其中，必然事件是____；随机事件是____；不可能事件是____.(均填序号)
①③
②
④
2
随机事件发生的可能性大小
4．一个不透明的袋子里有5个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．随机从袋子中摸出一个球，是红球的可能性________是白球的可能性．(选填“大于”“小于”或“等于”)
5．甲、乙两人轮流做游戏：掷一枚质地均匀的骰子，若骰子向上一面的点数大于3，则甲获胜；若骰子向上一面的点数小于3，则乙获胜．你认为获胜的可能性比较大的是______.
大于
甲
6．如图，转盘平均分成六个扇形．转动转盘，当转盘停止转动时，记录指针所指向区域的颜色(若指针落在交界处，则重转一次)．
(1)所记录的颜色区域会有哪些可能的结果？
(2)指针指向哪种颜色区域的可能性较大？指向哪种颜色区域的可能性较小？
解：(1)由图可知，所记录的颜色区域可能为红色、黄色、蓝色．
(2)指针指向红色区域的可能性较大，指向蓝色区域的可能性较小．
7．一个不透明的袋子中有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球．下列事件中是不可能事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
B
8．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，布袋中的小球已搅匀．若随机从袋中取出1个小球，取出红球的可能性大，则红球的个数是( )
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
D
9．如图，转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数字1～8，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时，对于下列事件：①指针落在标有5的区域；②指针落在标有10的区域；③指针落在标有奇数的区域；④指针落在能被3整除的区域．其中发生可能性最大的事件是____.(填序号)
③(共18张PPT)
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第1课时 用列举法或列表法求概率
1．(2023·北京)先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )
1
用列举法求概率
A
2．小红上学要经过两个十字路口，每个十字路口遇到红绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过的每个十字路口都是绿灯，但实际这样的概率是( )
A
3．(2023·安徽)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )
C
2
用列表法求概率
4．在数字1,2,3中随机选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率是( )
C
5．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是( )
C
6．(2023·淄博)“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
B
7．(2023·德州)一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同．小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是____.
8．张华和李明两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．
(1)请用列表法表示出所有可能出现的结果．
(2)求张华胜出的概率．
解：(1)列表如下：
总共有9种等可能的结果．
(2)∵张华胜出的可能结果有3种，
石头 剪刀 布
石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布)
剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布)
布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布)
9．(2024·瑶海一模)苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因(A，a)控制，体内由成对基因AA，Aa控制的个体是正常的，而体内由成对基因aa控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是Aa，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是( )
D
A
11．数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆．背面向上洗匀后，先让小明抽出一张，记下正面图形的形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张，则两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是____.
12．在四边形ABCD中，①四边形ABCD是平行四边形；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC.从这四个条件中随机选两个，可以判定四边形ABCD是菱形的概率是____.
13．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1，BB1，CC1.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1 的概率是____.
(2)小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1 三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
解：(2)列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有6种，
AB AC BC
A1B1 × √ √
A1C1 √ × √
B1C1 √ √ ×
14．(2023·内蒙古)如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是－6，－1,5，转盘B上的数字分别是6，－7,4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)．
(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是____.
(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a＋b＞0，则小聪获胜；若a＋b＜0，则小明获胜．请用列表法说明这个游戏是否公平．
解：(1)∵A转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是－6，－1,5，其中正数有1个，
(2)列表如下：
一共有9种等可能的结果，其中a＋b＞0有4种可能的结果，a＋b＜0有4种等可能的结果，
∵P(小聪获胜)＝P(小明获胜)，
∴这个游戏公平．
－6 －1 5
6 0 5 11
－7 －13 －8 －2
4 －2 3 9(共18张PPT)
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 用树状图法求概率
1．如图，小球从入口A往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从出口E落出的概率是
( )
1
用树状图法求两步事件的概率
C
2．(2023·赤峰)某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是( )
D
3．(2024·包河一模)如图，十一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进，从D出口离开的概率是( )
B
4．(2023·大庆)新高考“3＋1＋2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为____.
5．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢．用画树状图法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
解：画树状图如图所示：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有4种，这些结果出现的可能性相等，其中取出的扇子和手绢都是红色的结果
2
用树状图法求多步事件的概率
6．某校有A，B两个电脑教室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个电脑教室上课，则甲、乙、丙三名学生在同一个电脑教室上课的概率是( )
C
7．三名同学同一天生日，他们做了一个游戏：买来3张相同的贺卡，各自在其中一张贺卡内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则他们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是____.
8．从甲地到乙地有A1，A2两条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3三条路线，从丙地到丁地有C1，C2两条路线．一个人随机选了一条从甲地到丁地的路线，求他恰好选到B2路线的概率．
解：画树状图如图所示：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且这些
9．从1,2,3,4这四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数根的概率是( )
C
10．如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，随机选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形．从这些矩形中随机选一个，则所选矩形含点A的概率是( )
D
11．现有4条线段，长度依次是2,5,7,8，从中随机选三条，能组成三角形的概率是____.
12．(2023·雅安)某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值．
(2)补全频数分布直方图．
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
解：(1)调查人数为10÷0.1＝100(人)，b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4.
(2)补全频数分布直方图如图所示．
(3)用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能的结果，其中1男1女的有4种，(共15张PPT)
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
1．对“某市明天出现的彩虹的概率是80%”这句话理解正确的是( )
A．某市明天将有80%的时间出现彩虹
B．某市明天将有80%的地区出现彩虹
C．某市明天一定出现彩虹
D．某市明天出现彩虹的可能性较大
1
概率的意义
D
2．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法中正确的是
( )
A．每2次必有1次正面向上
B．必有5次正面向上
C．可能有7次正面向上
D．不可能有10次正面向上
C
3．下列说法中错误的是( )
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．概率很小的事件不可能发生
D
2
概率的简单计算和应用
4．(2023·株洲)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是( )
B
A
6．在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率是_____.
7．一个不透明的袋子中装有20个除颜色外无其他差别的5个黄球，8个黑球，7个红球，则随机从袋子中摸出一个球是黄球的概率是_____.
8．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次(若指针落在交界处，则重转一次)，当转盘停止转动时．
(1)求指针指向奇数的概率．
(2)求指针指向大于6的数的概率．
解：(1)∵8个扇形中奇数有1,3,5,7共4个，
(2)∵8个扇形中大于6的有7和8共2个，
3
10．(2023·金华)下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该学生体重“标准”的概率是____.
11．从－6，－3,0,3,6这五个数中任选一个数作为m的值，能使得x2－2mx＋9是关于x的完全平方式的概率是____.
偏瘦 标准 超重 肥胖
80 350 46 24
(1)求袋子中红球的个数．
(2)求随机从袋子中摸出一个球是黑球的概率．
设黑球的个数为x个．
由题意，得2x＋3＋x＝290－29，解得x＝86.
∴2x＋3＝175，
∴袋子中红球的个数是175个．
13．一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图所示，若你只能在9个数字中选中一个翻牌．
(1)直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小．
(2)若第一次没有抽到“手机”奖品，求第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小．
(3)请你根据题意设计翻奖牌背面的奖品(包含“手机”“微波炉”“球拍”“电影票”“谢谢参与”)，使得最后抽到“球
(3)设计九张牌中有四张写着“球拍”，其他的五张牌中“手机”“微波炉”“电影票”各一张，“谢谢参与”两张．(答案不唯一)(共9张PPT)
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
1．在大量重复实验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法中正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与实验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
1
频率与概率的关系
D
2．抛掷一枚质地均匀的硬币 2 000 次，正面朝上的次数最有可能为( )
A．500 B．800
C．1 000 D．1 200
C
2
用频率估计概率
3．做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次，经过统计发现“凸面向上”的次数为420次，则由此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为____________.
4．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中，不断重复上述过程．一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有________枚白棋子．
0.42
20
5．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的a＝____________，b＝__________.
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是__________(精确到0.1)．
(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球？
解：(3)12÷0.6－12＝8(个)．
答：除白球外，还有大约8个其他颜色的小球．
0.59
116
0.6
6．某班学生在做“用频率估计概率”的试验时，给出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中随机抽一张，出现偶数
C．一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后，从中随机抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中随机取一球，取到的是黑球
D
7．在一个不透明袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)从袋子中随机摸出2个球，用画树状图法或列表法求摸出的2个球颜色不同的概率．
(2)在袋子中再放入x个白球后，进行如下试验：从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀．经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，求x的值．
解：(1)画树状图如图所示：
由树状图可知，所有等可能的结果共12种，其中2个球颜色不同的结果有6种，
经检验x＝16是原方程的解，∴x的值是16.(共18张PPT)
第二十五章 概率初步
◆小试卷(九)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．下列事件中是必然事件的是( )
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B
2．若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法中正确的是( )
A．明天下雨的可能性比较大
B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨
D．明天下雨的可能性比较小
A
3．(2023·广东)某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
C
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B
5．一个小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停在某块方砖上．若每一块方砖除颜色外无其他差别，则小球最终停留在白色方砖上的概率是( )
C
6．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
C
B
8．如图，小明、小刚利用两个转盘进行游戏．规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色(红与蓝)得5分，否则小刚得3分，此规则( )
A．公平 B．对小明有利
C．对小刚有利 D．无法判断
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．一个不透明的袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球和
3
10．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位志愿者为学生在线辅导功课，则甲被选中的概率是____.
11．(2023·南充)不透明袋中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有______个．
6
80°
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
13．(本题12分)小明做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，共做了100次试验，试验的结果如下表所示：
(1)求“4点朝上”的频率．
(2)小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
(3)小明投掷一枚骰子，求投掷点数小于3的概率．
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
(2)小明的说法错误．
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
14．(本题14分)(2023·南通)有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率为____.
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
解：(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa，Bb，
15．(本题14分)有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2,4,6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，转盘停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
(1)请用列表法或画树状图法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果．
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢．这个游戏公平吗？为什么？
解：(1)列表如下：
(2)由(1)的表格可知，共有9种等可能的结果，其中“两数字之和是3的倍数”的结果有3种，“两数字之和是7的倍数”的结果有3种．
∴这个游戏是公平的．
2 4 6
1 2＋1 4＋1 6＋1
3 2＋3 4＋3 6＋3
5 2＋5 4＋5 6＋5
