(共13张PPT)
第二十一章 一元二次方程
◆小试卷(一)
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
A．不是整式方程 B．是分式方程
C．是一元二次方程 D．是一元一次方程
2．将一元二次方程9x2＝8x＋2化成一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是( )
A．9x2,8x,2 B．－9x2，－8x，－2
C．9x2，－8x，－2 D．9x2，－8x,2
C
C
3．一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( )
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有两个相等的实数根
4．将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4,21 B．－4,11
C．4,21 D．－8,69
D
A
5．已知a是一元二次方程x2－3x－5＝0的较小的实数根，则
( )
A
B
7．若x1，x2是一元二次方程3x2＋2x－6＝0的两个实数根，则x1－x1x2＋x2的值是( )
D
8．如图，在平面内，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点……若n条直线最多有55个交点，则n的值为
( )
A．9 B．10
C．11 D．12
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．一元二次方程x(x－3)＝x的根是______________.
10．若关于x的方程ax2－bx－c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝____________.
11．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值是______.
12．已知：m2－5m＝1，n2－5n＝1，m≠n.
(2)m3－5m2＋m2n－5mn＝______.
x1＝0，x2＝4
5
5
三、解答题(本大题共4小题，共48分)
13．(本题10分)用适当的方法解下列方程．
(1)(2x－1)2＝9.
解：x1＝－1，x2＝2.
(2)x2－5x＋6＝0.
解：x1＝2，x2＝3.
解得m＝1.
设方程的另一个根为x2，
即方程的另一个根是1.
(1)求k的取值范围．
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知，x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
解得k1＝－4，k2＝2(舍去)，∴k＝－4.(共8张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程的根的判别式
1．(2023·吉林)一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是
( )
A．33 B．23
一元二次方程的根的判别式
C
2．(2023·滨州)一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
3．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
A
A
4．(2024·新站一模)若关于x的一元二次方程(x＋1)2－4(x＋1)＋k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是________.
5．下列方程：①x2＋1＝2x；②x2＋1＝0；③x2－2x＝3；④x2－2x＝0.其中有实数根的是____________.(填序号)
k＝4
①③④
6．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程根的情况．
(2)若方程有一个根为1，求m的值．
解：(1)∵Δ＝4m2－4(m2－1)＝4>0，
∴方程x2＋2mx＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
(2)m＝0或m＝－2.
7．定义运算：m☆n＝mn2－mn－1(m，n为实数)．例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况是
( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
A
8．若关于x的方程(k－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
9．若一元二次方程x2－2x－3＝0有两个实数根a，b，则一次函数y＝(ab－1)x＋a＋b的图象一定不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
C
10．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若m＝1，用配方法解这个一元二次方程．
解：(1)证明：Δ＝m2－4×1×(－6)＝m2＋24.
∵m2≥0，∴m2＋24＞0，即Δ＞0，
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)当m＝1时，原方程为x2＋x－6＝0，
移项，得x2＋x＝6，(共14张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
1．用配方法将x2＋4x－96变形，结果正确的是( )
A．(x＋2)2－100 B．(x－2)2－100
C．(x＋2)2－92 D．(x－2)2－92
2．若x2＋10x＋m是一个完全平方式，则m的值是( )
A．5 B．10
C．25 D．±5
1
配方及其应用
A
C
3．填空．
(1)x2＋2x＋1＝(________)2.
(2)x2－4x＋______＝(x－______)2.
(3)4x2－4x＋1＝(__________)2.
x＋1
4
2
2x－1
3
2
用配方法解一元二次方程
4．用配方法解一元二次方程x2－6x＝16时，应在方程两边同时加( )
A．3 B．9
C．6 D．36
5．(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17
C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17
6．若将关于x的一元二次方程x2－6x＋p＝0配方得(x＋m)2＝1，则常数m＝________，p＝______.
B
C
－3
8
7．用配方法解下列方程．
(1)x2－2x＝3.
解：x1＝3，x2＝－1.
(2)x2－2＝4x.
(3)x2＋4x－2＝2x＋3.
(4)x2－2x－6＝x－11.
解：方程无实数根．
8．若代数式x2－1的值与代数式2x＋1的值相等，求x的值．
解：根据题意，得x2－1＝2x＋1.
整理，得 x2－2x－2＝0.
配方，得 (x－1)2＝3.
9．对于任意实数，代数式x2－4x＋5的值是一个( )
A．非负数 B．正数
C．负数 D．非正数
10．用配方法解下列方程时，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
B
D
11．用配方法解一元二次方程x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为________.
12．现定义一种新的运算：a★b＝a2－3a＋b(a，b为实数)．例如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________.
13
4或－1
13．用配方法解下列方程．
(1)3x2－6x－1＝0.
(2)2x2＋4x－5＝0.
14．有n个关于x的一元二次方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0.
小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：
x2＋2x＝8，①
x2＋2x＋1＝8＋1，②
(x＋1)2＝9，③
x＋1＝±3，④
x＝1±3，⑤
x1＝4，x2＝－2.⑥
(1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的．
⑤
(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含n的式子表示方程的根)
解：(2)x2＋2nx－8n2＝0，
x2＋2nx＝8n2，
x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，
(x＋n)2＝9n2，
x＋n＝±3n，
x1＝2n，x2＝－4n.
15．【核心素养·运算能力】阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【提示】可以用“换元法”解方程．
【续解】
移项，得t2＋4t＝5，
配方，得(t＋2)2＝9，
解得t1＝－5(舍去)，t2＝1，
配方，得(x＋1)2＝2，(共13张PPT)
第二十一章 一元二次方程
★单元复习与小结——核心考点归纳
1
一元二次方程的有关概念
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
2．若关于x的一元二次方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个实数根为－2，则k的值是( )
A．2或4 B．0或4
C．－2或0 D．－2或2
C
B
3．若方程(k－3)xk－2＋x2＋kx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则k＝______________.
4．若关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个实数根是1，则2 023－a－b＝______________.
4或3或2
2 022
2
解一元二次方程
A．－1 B．1和3
C．－1和3 D．3
B
B
7．一元二次方程x2＋x－1＝0的根为__________________ ___________________.
8．按要求解下列方程．
直接开平方法
(1)(3x－2)2＝(2x－3)2.
解：x1＝1，x2＝－1.
配方法
(2)x2－6＝－2(x＋1)．
公式法
(3)3x2＋5(2x＋1)＝0.
因式分解法
(4)3x(x－2)－2(2－x)＝0.
3
根的判别式及根与系数的关系的综合运用
9．(2023·河南)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
10．若关于x的一元二次方程2x2＋kx－4＝0的一个根为－2，则方程的另一个根x2和k的值分别是( )
A．1,2 B．2,2
C．1，－1 D．2，－1
A
A
11．已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋4－k＝0.
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根．
(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
解：(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4×1×(4－k)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根．
(2)∵2是方程x2＋(k－5)x＋4－k＝0的一个根，
∴22＋(k－5)×2＋4－k＝0，解得k＝2.
设方程的另一个根为x1，
则x·x1＝4－k，即2x1＝2，x1＝1，
则方程的另一个根为1.
4
一元二次方程的实际应用
12．某网店以每套24元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．二月以每套30元的价格销售了256套，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月的销售量达到400套．
(1)求三、四两月销售量的月平均增长率．
(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现：在四月销量的基础上，该商品每套降价1元，销售量就增加40套．求当该商品每套降价多少元时，五月可获利1 920元．
解：(1)设三、四两月销售量的月平均增长率为x.
解得x1＝0.25，x2＝－2.25(不合题意，舍去)．
答：三、四两月销售量的月平均增长率为25%.
解得m1＝2，m2＝－6(不合题意，舍去)．
答：当该商品每套降价2元时，五月可获利1 920元．
13．【新考法】如图，用一段长为77 m的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1 m的门，墙的最大可用长度为30 m.
(1)如果羊圈的总面积为300 m2，求边AB的长．
(2)请问羊圈的总面积能为440 m2吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
解：(1)设边AB的长是x m，则AD＝77－4x＋3＝(80－4x)m.
根据题意，得x(80－4x)＝300，解得x1＝5，x2＝15.
∵墙的最大可用长度为30 m，且当x＝5时，AD＝80－4×5＝60(m)，不合题意，
∴x＝15.
答：边AB的长是15 m.
(2)若羊圈的总面积能为440 m2，则结合(1)，可得x(80－4x)＝440，
整理，得x2－20x＋110＝0.
∵Δ＝(－20)2－4×1×110＝－40＜0，
∴羊圈的总面积不能为440 m2.(共4张PPT)
第二十一章 一元二次方程
综合与实践一 数形结合与方程思想
大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．例如图1，长代表a，宽代表b，长方形的面积代表ab.大约于公元830年，阿尔·花拉子米(Al-Khwarizmi)在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．
(1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解方程x2＋4x－5＝0(x>0)，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成x2＋4x＝5；
第二步：构造边长为x＋2的正方形(如图2)；
第三步：求得右下角正方形面积S的值是__①__；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积：
(x＋2)2＝x2＋2x＋2x＋S＝x2＋4x＋S，
将x2＋4x＝5代入等式右边，
可得(x＋2)2＝__②__.
∵x>0，
∴x＝__③__.
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容．
(2)请参照上述方法解方程x2＋5x－14＝0(x>0)．
解：(1)①4；②9；③1.
(2)第一步：将方程变形成x2＋5x＝14；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积：
X
5-2
X
5-2
X
S(共9张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1·x2的值是( )
A．3 B．－2
C．－1 D．－3
2．(2023·天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则
( )
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
1
一元二次方程的根与系数的关系
B
A
3．若x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝______.
4．(2023·宜昌)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两个根，则
0
1
2
根与系数的关系的应用
5．若关于x的一元二次方程 x2＋(m＋1)x＋m＝0 的两个实数根互为相反数，则( )
A．m＝0 B．m＝－1
C．m＝1 D．以上结论都错误
6．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是( )
A．－3,1 B．3,1
B
D
2
8．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2－ax－2＝0的两个实数根，则下列结论中正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0
C．x1x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
9．已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则a2＋b2＋ab的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A
C
10．在解关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，甲看错了一次项系数，解得两根为－1和6；乙看错了常数项，解得两根为－3和4，则正确的方程是______________.
x2－x－6＝0
11．设一元二次方程x2－3x－4＝0的两个实数根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．
解：原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝17.
(2)(x1＋2)(x2＋2)．
解：原式＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝6.
(3)(x1－x2)2.
解：原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25.
12．(2023·襄阳)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k>0，解得k>2.
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴k2＝3－k＋3k，解得k1＝3，k2＝－1(舍去)．
即k＝3.(共16张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、循环、数字问题
1．【教材P22T4改编】某种植物的主干长出若干个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支，则可列方程为( )
A．x2＋x＋1＝91 B．(x＋1)2＝91
C．x2＋x＝91 D．x2＋1＝91
1
传播问题
A
2．(2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程
( )
A．x＋(1＋x)＝36 B．2(1＋x)＝36
C．1＋x＋x(1＋x)＝36 D．1＋x＋x2＝36
C
3．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推．已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播活动，求n的值．
解：由题意，得1＋n＋n2＝111.
整理，得n2＋n－110＝0.
解得n1＝10，n2＝－11.
又∵n>0，∴n＝10.
2
循环问题
4．学校要组织足球比赛，赛制为双循环形式(每两队之间赛两场，即主场和客场)．计划安排42场比赛，设应邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为( )
D
5．【教材P22T6改编】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队有( )
A．6队 B．7队
C．8队 D．9队
D
3
数字问题
6．若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和 为( )
A．－50 B．－48
C．－46 D．－44
7．若两个数的和是14，积是33，则这两个数分别是____________.
C
3,11
8．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3，且十位上的数字与个位上的数字的积是28，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为(x＋3)．
由题意，得x(x＋3)＝28.
解得x1＝－7(不合题意，舍去)，x2＝4.
∴x＝4，则x＋3＝7，
∴这个两位数是74.
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司一共有飞机场( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
10．若n边形有14条对角线，则n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B
C
11．某聊天群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动，群内所有人一共抢到了90个红包，则该群一共有________人．
10
12．【数学文化】第十四届国际数学教育大会(ICME－14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83＋7×82＋4×81＋5×80＝2 021，表示ICME－14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是______________.
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
2 022
解：(2)根据题意，得
1×n3－1＋4×n3－2＋3×n3－3＝120，
整理，得n2＋4n＋4＝121，解得n＝9(负值舍去)，
故n的值为9.
13．【核心素养·抽象能力】某年10月份的日历表如图所示，在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示)，设这4个数从小到大依次为a，b，c，d.
(1)用含有a的式子分别表示出b，c，d：b＝_______；c＝________；d＝________.
(2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为__________.
(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135.”
a＋1
a＋7
a＋8
552
淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”
请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
解：(2)观察日历表可知，a的最大值为23，
∴ab的最大值为23×(23＋1)＝552.
(3)嘉嘉的说法错误，理由如下：
若圈出的四个数中，bc的值为135，则根据题意，得(a＋1)(a＋7)＝135，
整理，得a2＋8a－128＝0，解得a1＝8，a2＝－16(不符合题意，舍去)．
∵10月8日为周六，不符合题意，
∴嘉嘉的说法错误；
淇淇的说法正确，理由如下：
若圈出的四个数中，最小数a与最大数d的乘积ad为84，则根据题意，得a(a＋8)＝84，
整理，得a2＋8a－84＝0，解得a1＝6，a2＝－14(不符合题意，舍去)．
∵10月6日为周四，符合题意，
∴淇淇的说法正确．(共14张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
C．ax2＋bx＋c＝0 D．(x－1)(x＋2)＝1
1
一元二次方程的概念及一般形式
D
2．将一元二次方程2x2＝3x－1化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
3．若方程xm－1＋2x－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是______.
B
3
4．【教材P3例题改编】把方程(3x＋2)(x－3)＝2x－6化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：方程(3x＋2)(x－3)＝2x－6化为一般形式为
3x2－9x＝0.
它的二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是0.
2
一元二次方程的解(根)
5．下列各数中是方程2x2＋5x＋3＝0的根的是( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
6．若关于x的一元二次方程x2＋3x＋a＝0有一个根是－2，则a的值是( )
A．－2 B．－1
C．2 D．10
7．若－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a－b的值是________.
B
C
－1
3
根据实际问题列一元二次方程
8．根据题意，列出方程．
(1)已知一个面积为144 m2的矩形游泳池，它的长比宽长7 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为______________.
(2)已知一个小组有若干人，新年互送贺卡，全组共送贺卡56张．设这个小组一共有x人，则可列方程为_____________.
x(x－7)＝144
x(x－1)＝56
9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的棱长x.
(2)有x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了45场比赛，求参赛的篮球队支数x.
解：(1)6x2＝36,6x2－36＝0.
10．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1－mx＋6＝0是一元二次方程，则m的值是( )
A．－1 B．3
C．1 D．1或－1
11．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m的值为________.
C
－1
12．根据题意列方程．
(1)已知一个凸多边形共有14条对角线，若设这个凸多边形的边数为x，则可列方程为__________.
(2)如图，要在一幅长为65 cm，宽为30 cm的矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为x cm，若要使整个挂图的面积是2 450 cm2，则x满足的方程是___________________________.
(65＋2x)(30＋2x)＝2 450
13．已知m，n是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根．
(1)3m2－6m的值为______.
(2)若(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝16，则a的值为__________.
3
－11
14．【数学文化】《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、袤各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等(如图所示)．问门高、宽、对角线的长分别是多少尺？若设门对角线的长为x尺，根据题意列出方程并化成一般形式．
解：由题意，得门的宽为(x－4)尺，门的高为(x－2)尺．
根据勾股定理，得 (x－4)2＋(x－2)2＝x2 ，整理，得x2－12x＋20＝0.
∴所列方程的一般形式为
x2－12x＋20＝0.
15．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)若此方程有一个根是1，则a＋b＋c的值是______.
(2)已知9a＋c＝3b，试写出该方程的一个根，并说明理由．
(3)若此方程的两个根分别为1和3，则关于x的方程a(x－2)2＋b(x－2)＝－c的根为______________.
0
x1＝3，x2＝5
解：(1)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
∴将x＝1代入方程，得a＋b＋c＝0.
(2)方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为－3.理由如下：
∵9a＋c＝3b，∴9a－3b＋c＝0.
将x＝－3代入方程，得左边＝9a－3b＋c＝0＝右边，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为－3.
(3)∵方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为1和3，
∴a×12＋b×1＋c＝0或a×32＋b×3＋c＝0.
对于关于x的方程a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0，
对照上式，得x－2＝1或x－2＝3，解得x＝3或x＝5，
即关于x的方程a(x－2)2＋b(x－2)＝－c的根为x1＝3，x2＝5.(共7张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1．方程x2＝4的根是( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝±2 D．x＝4
2．关于x的一元二次方程x2－m＝0有实数根的条件是
( )
A．m>0 B．m≥0
C．m＜0 D．m≤0
3．一元二次方程2x2－8＝0的根是________________.
1
可化为x2＝p(p≥0)型的方程的解法
C
B
x1＝2，x2＝－2
4．解下列方程．
解：x1＝5，x2＝－5.
2
可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)型的方程的解法
5．若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值不能为( )
A．3 B．1
C．0 D．－3
6．一元二次方程(x＋1)2＝4的根是( )
A．x1＝2，x2＝－2 B．x1＝3，x2＝－1
C．x1＝x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3
D
D
7．解方程：
(1)4(1－x)2＝25.
(2)(2x－1)2＝9.
解：x1＝2，x2＝－1.
9．若一元二次方程a(x－m)2＝n的两个根分别是－4和1，则方程a(x－m＋2)2＝n的两个根分别是__________________.
B
x1＝－1，x2＝－6
10．解下列方程．
(1)x2－2x＋1＝4.
解：x1＝3，x2＝－1.
(2)(x－2)2＝(2x＋3)2.(共6张PPT)
第二十一章 一元二次方程
综合与实践二 数形规律与方程思想
在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
[发现问题]在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐．
[提出问题]小明提出问题：300是前多少行的点数和？
[分析问题]智慧小组分别从数和形两个角度探究前n行的点数和.
从数的角度看 从形的角度看
通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数和． S＝1＋2＋3＋…＋10①， 由①式倒序：S＝10＋9＋…＋2＋1②，①＋②：2S＝(10＋1)＋(9＋2)＋…＋(10＋1) ＝11×10＝110，所以S＝55，即前10行点数和为55. 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半．
[解决问题](1)根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前n行的点数和(用含n的式子表示)，并解决小明提出的问题．
[应用延伸](2)如果把三角形点阵的点数依次换为1,3,5,7…，如图3，这个三角形点阵前n行的点数和能是600吗？请说明理由．
解：(1)S＝1＋2＋3＋…＋n①，
由①式倒序：S＝n＋(n－1)＋…＋2＋1②，
①＋②：2S＝(n＋1)＋(n－1＋2)＋…＋(n＋1)＝n(n＋1)，
即前24行的点数之和为300.
(2)这个三角形点阵前n行的点数和不能是600.理由如下：
S＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)①，
由①式倒序：S＝(2n－1)＋(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1②，
①＋②：2S＝2n＋2n＋…＋2n＝2n·n，
所以S＝n2，即前n行点数和为n2.
当n2＝600时，n不是整数，
所以这个三角形点阵前n行的点数和不能是600.(共14张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率和利润问题
1．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2022年市政府已投资5亿元人民币．若每年投资的增长率相同，预计2024年投资额达到15亿元人民币．若设每年投资的增长率为x，则可列方程为( )
A．5(1＋2x)＝15 B．5x2＝15
C．5(1＋x)2＝15 D．5(1＋x2)＝15
1
平均变化率问题
C
2．(2024·经开一模)2023年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了30.2元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是( )
A．225(1－2x)＝225－30.2
B．30.2(1＋x)2＝225
C．225(1－x)2＝30.2
D．225(1－x)2＝225－30.2
D
3．某种药品原价为200元/瓶，经过连续两次降价后，现在售价为98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.
由题意，得200(1－x)2＝98.
解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.
2
利润问题
4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆应多植x株，则可列方程为( )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
A
5．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．若每天要盈利1 080元，则每件应降价____________元．
2或14
6．某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10 kg.专卖店若想要平均每天获利2 240元，且要让顾客尽可能得到实惠，则每千克特产应定价为多少元？
(1)方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，可列方程为________________________________.
方法2：设每千克特产降价后定价为x元．根据题意，可列方程为_______________________________________.
(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
(60－x－40)(100＋10x)＝2 240
(x－40)[100＋10(60－x)]＝2 240
解：(2)方法1：设每千克特产应降价x元．
根据题意，得(60－x－40)(100＋10x)＝2 240，
解得x1＝4，x2＝6.
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6,60－6＝54元．
答：每千克特产应定价为54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元．
根据题意，得(x－40)[100＋10(60－x)]＝2 240，
解得x1＝54，x2＝56.
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54.
答：每千克特产应定价为54元．
7．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为297.9万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是( )
A．90(1＋x)2＝297.9
B．90(1－x)2＝297.9
C．90(1＋2x)＝297.9
D．90＋90(1＋x)＋90(1＋x)2＝297.9
8．某工厂前年的电动汽车产量为a万辆，经过两年的连续增长，今年的产量达到了2.25a万辆，则该工厂这两年的电动汽车产量年平均增长率为__________.
D
50%
9．某水果店将标价为10元/斤的某种水果两次降价后，价格定为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率．
(2)从第二次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示．已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天(1≤x＜10)的利润为377元，求x的值.
时间/天 x
销量/斤 120－x
储藏和损耗费用/元 3x2－64x＋400
解：(1)设该水果每次降价的百分率为y.
由题意，得10(1－y)2＝8.1.
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：该水果每次降价的百分率为10%.
(2)由题意，得(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝377.
整理，得x2－20x＋99＝0.
解得x1＝9，x2＝11(不合题意，舍去)．
答：x的值为9.
10．某超市以40元/kg的价格购进菠萝蜜，计划以60元/kg的价格销售．为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(kg)与降价x(元/kg)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当菠萝蜜降价4元/kg时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2 400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
∴y与x之间的函数解析式为y＝20x＋60(0＜x＜20)．
(2)(60－4－40)×(20×4＋60)＝2 240(元)．
答：当菠萝蜜降价4元/kg时，超市获利2 240元．
(3)根据题意，得(60－x－40)(20x＋60)＝2 400，
整理，得x2－17x＋60＝0，解得x1＝5，x2＝12.
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12.
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．(共15张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 图形面积问题
1．(2023·哈尔滨)为了改善居民生活环境，某小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6 m，面积为720 m2.设矩形空地的长是x m，根据题意，下列所列方程正确的是
( )
A．x(x－6)＝720 B．x(x＋6)＝720
C．x(x－6)＝360 D．x(x＋6)＝360
图形面积类问题
A
2．如图，在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程为( )
A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0
B
3．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，草坪的面积为540 m2.设小路宽为x m，根据题意，可列方程为_________ ______________.
(20－x)(32
－x)＝540
4．如图，某中学准备围建一个矩形面积为72 m2的苗圃，其中一边靠墙(墙长为20 m)，另外三边用长为30 m的篱笆围成．设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m，则可列方程为____ ______________.
x(30
－2x)＝72
5．【数学文化】我国南宋数学家杨辉曾经提出这样的一个问题：“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？(请你利用所学知识解决以上问题)
解：设矩形田地的宽为x步，则长为(x＋12)步．
根据题意，得x(x＋12)＝864，整理，得x2＋12x－864＝0，
解得x1＝24，x2＝－36(不合题意，舍去)，
∴x＋12＝24＋12＝36.
答：矩形田地的长是36步，宽为24步．
6．【新情景】某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽1 m的门(不包括篱笆)，求这个茶园的长和宽．
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长为(69＋1－2x)m.
由题意，得x(69＋1－2x)＝600，解得x1＝15，x2＝20.
当x＝15时，70－2x＝40＞35，不合题意，舍去；
当x＝20时，70－2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长为30 m，宽为20 m.
7．如图，一张长为12 cm，宽为10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长是______cm.
2
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝8 cm.点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．
(1)几秒后，四边形APQC的面积等于16 cm2
(2)△PQB的面积能否等于9 cm2？请说明理由．
解：(1)设经过x s，四边形APQC的面积等于16cm2.
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝8 cm.
∴S△PBQ＝S△ABC－S四边形APQC＝4 cm2.
∵点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，
解得x1＝1或x2＝4(舍去)，
∴经过1 s，四边形APQC的面积等于16 cm2.
(2)△PQB的面积不能等于9 cm2，理由如下：
∴此方程无实数解，
∴△PQB的面积不能等于9 cm2.
9．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示)．
(2)当y＝108 m2 时，求x的值．
解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE.
设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，
(2)∵y＝S矩形ABCD＝AB·BC，
整理，得x2－40x＋144＝0.
解得x1＝36或x2＝4，
即当y＝108 m2 时，x的值为36或4.(共15张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
第2课时 用公式法解一元二次方程
1．用公式法解一元二次方程5x2－1－4x＝0时，a，b，c的值分别是( )
A．5，－1，－4 B．5，－4,1
C．5，－4，－1 D．5,4,1
2．用公式法解方程x2－4x－11＝0时，Δ的值为( )
A．－43 B．－28
C．45 D．60
用公式法解一元二次方程
C
D
3．若一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，则必须满足的条件是( )
A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0
C．p2－4q＞0 D．p2－4q＜0
A
B
5．已知2x＋3和x2的值相等，则x的值是____________.
6．一元二次方程x2－3x－1＝0的根为____________，它们的和为______.
3或－1
3
7．用公式法解下列方程．
(1)x2－4x－5＝0.
解：x1＝5，x2＝－1.
(2)4x2－3x＝－1.
解：Δ＝－7<0，无实数根．
(3)2x＝1－x2.
(4)2x2－4x－1＝0.
8．小明在解方程x2－4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
方程化为一般形式为x2－4x－2＝0.
∵a＝1，b＝－4，c＝－2，(第一步)
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2)＝24，(第二步)
(1)小明的解答是从第______步开始出错的．
(2)请写出本题正确的解答．
三
解：(2)方程化为一般式为x2－4x－2＝0.
∵a＝1，b＝－4，c＝－2，
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2)＝24，
A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0
10．若方程2x2－6x＋3＝0较小的实数根为p，方程2x2－2x－1＝0较大的实数根为q，则p＋q的值是( )
A．3 B．2
B
B
3
12．用公式法解下列方程．
(1)2x(x＋4)＝1.
解：方程化为2x2＋8x－1＝0.
∴a＝2，b＝8，c＝－1.
∴Δ＝b2－4ac＝82－4×2×(－1)＝72>0.
(2)(x－2)(3x－5)＝1.
解：方程化为3x2－11x＋9＝0.
∴a＝3，b＝－11，c＝9.
∴Δ＝b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0.
(3)0.3y2＋y＝0.8.
解：方程化为0.3y2＋y－0.8＝0.
∴a＝0.3，b＝1，c＝－0.8.
∴Δ＝b2－4ac＝12－4×0.3×(－0.8)＝1.96>0.
(1)当m为何值时， ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
(2)若AB的长为2，则 ABCD的周长是多少？(共15张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
1．一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的根是( )
A．x＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝1，x2＝2 D．x＝2
2．一元二次方程x2＝3x的根是( )
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
1
用因式分解法解一元二次方程
C
D
3．用因式分解法解方程9x2＝(x－2)2时，因式分解结果正确的是( )
A．4(2x－1)(x－1)＝0 B．4(2x＋1)(x－1)＝0
C．4(2x－1)(x＋1)＝0 D．4(2x＋1)(x＋1)＝0
4．若0是关于x的一元二次方程x2＋5x＋m2－2m＝0的一个根，则m的值是__________.
C
2或0
5．用因式分解法解下列方程．
(1)(1)2x2－8x＝0.
解：x1＝0，x2＝4.
(2)(x－2)2－4＝0.
解：x1＝0，x2＝4.
(3)x2－4x＝－4.
解：x1＝x2＝2.
(4)5x(3x＋2)＝6x＋4.
6．小敏同学解方程3(x－3)＝(x－3)2 的过程如图所示．你认为她的解法是否正确？若错误，请指出并写出正确的解答过程.
小敏的解法：
两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6.
解：她的解法不正确，忽略了x－3＝0的情况．
正确的解答过程：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0，
∴x－3＝0或3－x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝6.
2
用适当的方法解一元二次方程
7．解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的适当方法是( )
A．开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
D
8．用适当的方法解下列方程．
(1)4x2－1＝0.
(2)x2＋4x＝－3.
解：x1＝－1，x2＝－3.
(4)(x＋2)2＝4＋2x.
解：x1＝－2，x2＝0.
9．嘉嘉在解方程x(x－3)＝x－3时，只得到一个根是x＝1，则他漏掉的根是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝0 D．x＝－1
10．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长是( )
A．16 B．24
C．16或24 D．48
11．对于实数m，n，定义运算“?”如下：m?n＝m2－2mn.若(x＋1)?(x－2)＝5，则x的值为__________.
A
B
0或4
13．已知M＝x2－x＋1.
(1)若M＝3，求x的值．
(2)若M＝3x2＋1，求x的值．
(3)求证：M>0.
解：(1)若M＝3，则x2－x＋1＝3，即x2－x－2＝0，
∴(x－2)(x＋1)＝0，
解得x1＝2，x2＝－1.
(2)若M＝3x2＋1，则x2－x＋1＝3x2＋1，
即2x2＋x＝0，
14．【核心素养·运算能力】阅读材料：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0时，我们可以把x2－1当作一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.
(1)根据材料解方程：(x2－2x)2－3x2＋6x＝0.
(2)若实数a，b满足(a＋2b)(a＋2b－2)＝2a＋4b－4，求4a＋8b－1的值．
解：(1)设x2－2x＝y，则原式左边＝(x2－2x)2－3(x2－2x)＝y2－3y，
故原方程可化为y2－3y＝0.
因式分解，得y(y－3)＝0，即y＝0或y－3＝0，解得y1＝0，y2＝3.
当y＝0时，则x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0；
当y＝3时，则x2－2x＝3，解得x3＝－1，x4＝3.
综上所述，该方程的解为x1＝2，x2＝0，x3＝－1，x4＝3.
(2)令a＋2b＝x，则原方程可化为x(x－2)＝2x－4，解得x1＝x2＝2，∴a＋2b＝2，∴4a＋8b－1＝7.(共13张PPT)
第二十一章 一元二次方程
◆小试卷(二)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数是( )
A．0 B．3
2．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间比赛一场．若一共比赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则可列方程为( )
C
D
3．两年前，种植1亩某种农作物的成本是 5 000 元，现在种植1亩该种农作物的成本是 3 000 元．若设该种农作物成本的年平均下降率为x，则可列方程为( )
A．5 000(1－x)－(1－x)2＝3 000
B．5 000(1－x2)＝3 000
C．5 000(1－x)2＝3 000
D．5 000(1－x)2＝2 000
C
4．已知矩形ABCD的面积为1，长比宽长2，则该矩形的长为
( )
5．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500 kg.经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20 kg.现超市要保证每天盈利 6 000 元，则每千克应涨价( )
A．15元或20元 B．10元或15元
C．10元 D．5元或10元
A
D
6．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形．设a＝1，则b的值是( )
B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．一块矩形菜地的面积是120 m2，若它的长减少2 m，菜地就变成了正方形．设原矩形的长是x m，则可列方程为_______________.
8．一个直角三角形的三边长分别是三个连续的整数，则这个直角三角形的斜边长是______.
9．(2023·牡丹江)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5 000元，5月份盈利达到7 200元．若从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是__________.
x(x－2)＝120
5
20%
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝12 cm.点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发，则__________________s后，△PBQ的面积为1 cm2.
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
11．(本题12分)已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位上的数字是x，则十位上的数字是(x－3)．
由题意，得x2＝10(x－3)＋x.
解得x1＝5，x2＝6.
当x＝5时，x－3＝2；
当x＝6时，x－3＝3.
∴这个两位数是25或36.
12．(本题12分)如图，有一个面积为150 m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长为18 m)，另三边用竹篱笆围成．若竹篱笆的长为35 m，求养鸡场的长和宽．
解：设养鸡场的宽为x m，
则长为(35－2x)m.
由题意，得
x(35－2x)＝150.
解得x1＝10，x2＝7.5.
当x＝7.5时，35－2x＝20>18，故舍去，
∴x＝10，∴养鸡场的长为35－2x＝15(m)．
答：养鸡场的长为15 m，宽为10 m.
13．(本题12分)某产品第一季度的销售量为300件，第二季度的销售量比第一季度减少了4%，从第三季度起，销售量又有所提升，第四季度的销售量达到了450件．假设第三季度与第四季度销售量的增长率相同，求第三季度与第四季度销售量的增长率．
解：设第三季度与第四季度销售量的增长率是x.
由题意，得300(1－4%)(1＋x)2＝450.
解得x1＝0.25，x2＝－2.25(不合题意，舍去)．
答：第三季度与第四季度销售量的增长率是25%.
14．(本题14分)小李在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该工艺品的售价为x元/件(20≤x≤40)．
(1)请用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数．
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．求该工艺品的售价．
解：(1)∵该工艺品的售价为x元/件(20≤x≤40)，且当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60＋3(40－x)＝(180－3x)件．
(2)由题意，得(x－20)(180－3x)＝900.
整理，得x2－80x＋1 500＝0.
解得x1＝30，x2＝50(不合题意，舍去)．
答：该工艺品的售价为30元/件．
