(共13张PPT)
11 【题型研究专题】 二次函数与线段
类型一 竖线→纵标差
AB∥y轴 AB＝|yA－yB|
解：∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)，
∴PD＝|－m2＋4m－(－m＋4)|＝|m2－5m＋4|.
当m2－5m＋4＝－2时，解得m1＝2，m2＝3.
类型二 横线→横标差
AB∥x轴 AB＝|xA－xB|
类型三 斜线→横(竖)线
解：过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F.
可知A(－3,0)，C(0,3)，
∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°，
∴在Rt△AEF中，EF＝AE.
∵M(m，－m2－2m＋3)，E(m,0)，
∴EF＝AE＝m－(－3)＝m＋3，
∴F(m，m＋3)，
∴FM＝(－m2－2m＋3)－(m＋3)＝－m2－3m，
∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴－m2－3m＝2，解得m1＝－2，m2＝－1(舍去)，
∴M(－2,3)．
4．如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c与一次函数y＝x－3的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，点P(p，q)是该抛物线上A，B两点之间的一动点，点M为线段AB上的一点．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)若点M是一次函数的图象与二次函数的对称轴的交点，设m＝PM2，求m关于p的函数解析式，并求m的最小值．
解：(1)把x＝0代入y＝x－3，
得y＝－3，∴A(0，－3)．
把y＝0代入y＝x－3，
得x－3＝0，解得x＝3，
∴B(3,0)．
又∵A(0，－3)，B(3,0)在抛物线y＝ax2＋4x＋c上，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.
(2)把x＝2代入y＝x－3，得y＝－1，
∴点M的坐标为(2，－1)．
过点P作PN垂直于直线x＝2于点N，
则PN＝| p－2|，MN＝|p＋1|，
∴m＝PM2＝PN2＋MN2＝(p－2)2＋(q＋1)2.
∵点P在抛物线上，
∴－(p－2)2＋1＝q，∴(p－2)2＝1－q，(共9张PPT)
21 【方法技巧专题】 证切线
一、有公共点→连半径，证垂直
1．如图，AB是⊙O的直径，点O为圆心，C是⊙O上的一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD.求证：MC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵OM⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠A＋∠ADO＝90°，
∵∠ADO＝∠CDM，
∴∠A＋∠CDM＝90°.
∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，
∴∠A＋∠MCD＝90°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，
∴∠MCD＋∠ACO＝90°，
∴∠MCO＝90°，即MC⊥OC.
又∵点C在⊙O上，
∴MC是⊙O的切线．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.求证：AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接DE，CF.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，
∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF.
∵∠DFC＝90°，
∴∠FCD＋∠CDF＝90°.
∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，∴AB是⊙O的切线．
二、有切点→作垂直，证半径
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE长为半径作⊙O.求证：⊙O与CD相切．
证明：如图，延长EO交CD于点F.
∵在菱形ABCD中，
AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD.
∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
AC⊥BD，AB＝CD，
∴OE＝OF.
∵OE是⊙O的半径，
∴OF是⊙O的半径，
∴⊙O与CD相切．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＋BC＝CD，以AB为直径作⊙O.求证：⊙O与CD相切．
证明：如图，连接DO并延长交CB的延长线于点E.
易证△AOD≌△BOE，
∴AD＝BE，∠ADO＝∠E.
∵AD＋BC＝CD，
∴CD＝BC＋BE＝CE，
∴∠E＝∠CDE＝∠ADO.
过点O作OF⊥CD于点F，
∴OF＝OA，
∴⊙O与CD相切．(共7张PPT)
23 【中考热点专题】 圆中的最值与分类讨论问题
一、圆中的最值问题
1．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则线段OP长的取值范围是( )
A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5
C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
B
A
3．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的两侧．若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是( )
A．2 B．4
D
二、圆中的分类讨论问题
4．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A(－2,3)，B(3,4)为圆心，以1,2为半径作⊙A，⊙B.M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P是x轴上的一个动点，则PM＋PN的最小值是( )
C
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是____________________.
6．点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC的度数是________________.
7．已知⊙O的半径为13 ，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB，CD之间的距离是_________.
3＜r≤4或r＝2.4
110°或30°
7或17
45°或135°
9．如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边的长是________.(共8张PPT)
22 【类比归纳专题】 证线段关系
一、线段的相等关系
1．如图，O是Rt△ABC的斜边AC上的一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，与AB相交于点F，连接AE，DE，EF，OE.求证：EF＝ED.
证明：∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠OEA.
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC.
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，∴OE∥AB，
∴∠OEA＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠OAE，
∴EF＝ED.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线相交于点F，连接BD.求证：BD＝BF.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵CF∥AB，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
即CB平分∠DCF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.
∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB.
又∵CF∥AB，∴BF⊥CF.
易证△BCD≌△BCF，
∴BD＝BF.
二、线段的倍分关系
证明：如图，连接OE，OF.
∵∠B＝∠C＝∠OFC，
∴OF∥AB.
又∵FH⊥AB，OE＝OF，
∴四边形EHFO为正方形，
三、线段的和差关系
4．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，
CB＝CD，CE⊥AB于点E.求证：AE＝BE＋AD.
证明：如图，过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M.
证△BCE≌△DCM，
∴BE＝DM，CE＝CM.
连接AC，
证△AEC≌△AMC，
∴AE＝AM＝DM＋AD＝BE＋AD.(共7张PPT)
1 【方法技巧专题】 配方法的应用
一、用配方法解方程
1．(教材P17习题21.2T3)用配方法解下列方程：
(1)x2－2x－8＝0.
解：配方，得(x－1)2＝9，
由此可得x1＝4，x2＝－2.
(2)2m2－4m－3＝0.
解：配方，得2(m－1)2＝5，
二、用配方法判断三角形形状
2．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且c＝5，a2－6a＋b2－8b＋25＝0.求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵a2－6a＋b2－8b＋25＝0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＝0，∴a＝3，b＝4.
∵c＝5，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
三、用配方法确定代数式的符号
3．求证：代数式－x2－2x－2的值总是负数．
证明：∵原式＝－(x＋1)2－1<0，
∴代数式－x2－2x－2的值总是负数．
四、用配方法比较大小
4．求证：无论x为何值，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大．
证明：∵(2x2－4x－1)－(x2－6x－6)＝2x2－4x－1－x2＋6x＋6＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4＞0，
∴无论x为何值，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大．
五、用配方法求多项式的最值
5．阅读理解并解答：
(1)把一个多项式进行配方可以来解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，
∴(x＋1)2＋2≥2.
则这个代数式x2＋2x＋3的最小值是______，这时相应的x的值是________.
(2)求代数式－x2＋14x＋10的最小(或最大)值，并写出相应的x的值．
2
－1
解：(1)由题意，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
当x＝－1时取到最小值．
故最小值为2，相应的x＝－1.
(2)－x2＋14x＋10＝－(x2－14x＋49－49)＋10
＝－(x－7)2＋59，
则代数式－x2－14x＋10的最大值是59，这时相应的x的值是7.(共7张PPT)
15 【方法技巧专题】 等半径构等腰(或全等)
一、利用等半径构建全等
1．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且相交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时．求证：AB＝CD.
证明：如图，连接OB，OD，
证△OAB≌△ODC即可．
2．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，半径OA平分∠BAC.求证：OA⊥BC.
证明：如图，连接OB，OC，
证△AOB≌△AOC即可．
二、利用等半径构建等腰
3．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝20 cm，∠O＝120°，求△AOB的面积．
解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC.
∵OA＝OB，
4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC平行于半径OD，探究∠A与∠C之间的数量关系．
0
C
P
B
A
D
C
B
A
D
A
B
O
C
A
B
C
A
B
0
A
C
B
0
A
O
C
D
B(共6张PPT)
6 【类比归纳专题】 分析判断函数图象
类型一 根据函数性质判断函数图象
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是( )
C
2．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝a(x－b)2＋c的图象正确的是( )
B
类型二 分析图形动态问题判断函数图象
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B方向运动，过点D作AB的垂线，垂足为E.设点D的运动时间为x s，△ADE的面积为y(当点A，D，E在同一条直线上时，不妨设y＝0)，则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
C
4．如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝5.设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为( )
D
类型三 分析函数图象解决含参问题
5．已知抛物线y＝mx2＋2mx＋n(m＞0)上有两点P(t，y1)和Q(t＋3，y2)．
(1)此抛物线的对称轴是______________.
(2)若y1＞y2，则t的取值范围是__________.
6．已知抛物线y＝x2＋ax＋a(a为常数，a≠0)．
(1)若a＝2，则此抛物线的对称轴为_______________.
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)是抛物线上的两点，其中x1＜x2，当x1＋x2＞4时，都有y1＜y2，则a的取值范围是_________.
直线x＝－1
直线x＝－1
a≥－4(共11张PPT)
10 【题型研究专题】 二次函数与面积
类型一 割补法
连接OP，则S△PBC＝S△POB＋S△POC－S△OBC
1．如图，抛物线y＝x2＋2x－3交x轴于点A，B，交y轴于点C，点N在第三象限的抛物线上，求四边形ABCN面积的最大值．
解：易知A(－3,0)，B(1,0)，C(0，－3)．连接ON.设N(m，m2＋2m－3)，
类型二 铅垂法
(1)求点D，E的坐标．
(2)求△NED面积的最大值．
解：过点N作NM⊥x轴交直线DE于点M.易求B(4,0)，设点N横坐标为t，
类型三 牵引法
PQ∥BC交y轴于点Q，则S△PBC＝S△QBC
∴点P的坐标为(－2,3)或(3，－12)．
A
0
B
X
C
P
0
A
B
X
N
C
y
0
A
B
X
N
C
y↑
0
Q
B
X
C
P
七-》
N
E
0
B
X
D
y
x
N
E
B
X
M
D
0
B
C
P
Q(共14张PPT)
8 【方法技巧专题】 求二次函数的解析式
类型一 利用一般式求解析式
已知抛物线上三点的坐标，常设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入三点坐标，转化为三元一次方程组来求二次函数解析式．
1．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，函数值是 －1；当x＝1时，函数值是5，则此二次函数的解析式为__________________.
y＝2x2＋4x－1
2．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(2,5)，C(0，－3)．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)直接写出当－3≤x≤1时，求y的取值范围．
解：(1)将A(2,5)，C(0，－3)代入二次函数解析式，
则二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)作出函数图象，如图所示：
根据图象，得当－3≤x≤1时，y的取值范围为－4≤y≤0.
类型二 利用顶点式求解析式
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，常设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)来求二次函数解析式．
3．若二次函数图象的顶点坐标为(2,3)，且过点(1,5)，则该二次函数的解析式为_______________.
4．已知当x＝1时，二次函数有最值为2，且二次函数的图象过点P(－1，－2)，则该二次函数的解析式为______________.
y＝2(x－2)2＋3
y＝－x2＋2x＋1
5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … －3 0 1 0 …
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若y＜－3，直接写出x的取值范围．
解：(1)由题意，可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，
设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋1，
把点(0,0)代入y＝a(x－1)2＋1，得a＝－1，
故抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.
(2)由(1)知，抛物线的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x＝1，过原点和点(2,0)，抛物线的大致图象如图所示：
当y＝－3时，－x2＋2x＝－3，解得x1＝－1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜－3时，x＞3或x＜－1.
类型三 利用交点式求解析式
已知抛物线与x轴两交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，常设交点式y＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)来求二次函数解析式．
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,0)，(3,0)，且与y轴
交于点(0，－5)，则抛物线的解析式为___________________.
7．若抛物线过A(3,0)，B(2,0)，C(1，－6)三点，求此抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．
∵抛物线上有A(3,0)，B(2,0)，
∴y＝a(x－3)(x－2)．
又∵抛物线上有点C(1，－6)，
∴a(1－3)(1－2)＝－6，解得a＝－3.
故此抛物线的解析式为y＝－3(x－3)(x－2)，即y＝－3x2＋15x－18.
类型四 利用特殊式求解析式
若抛物线的顶点为原点，可以将解析式设为y＝ax2来解答；若抛物线的顶点在y 轴上，可以将解析式设为y＝ax2＋k来解答；若抛物线的顶点在x轴上，可以将解析式设为y＝a(x＋m)2来解答；若抛物线过原点可以设为y＝ax2＋bx .
8．(1)若抛物线的顶点在原点，且过(－1,3)，(2，m)，求m的值.
(2)若抛物线顶点在y轴上，且过A(1，－6)，B(2，3)，求此抛物线的解析式.
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2.
将A(－1,3)代入，可得a·(－1)2＝3，
解得a＝3.
故此抛物线的解析式为y＝3x2.
将B(2，m)代入，得m＝3×22＝12.
(2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线过A(1，－6)，B(2,3)，
故此抛物线的解析式为y＝3x2－9.
类型五 利用平移或对称求解析式
先将抛物线的解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，利用平移过程中开口方向、大小不变，即a不变，再利用“左加右减，上加下减”来确定平移后顶点坐标来解题；做对称变换时，利用开口大小不变，再确定对称后的抛物线的开口方向和顶点坐标来解题．
9．已知抛物线C1的解析式y＝2x2－4x＋5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为_______________.
y＝－2x2＋4x－5
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1，求b，c的值．
解：将抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，向右平移4个单位，得y＝(x－1－4)2－3＝(x－5)2－3＝x2－10x＋22.
故b＝－10，c＝22.(共11张PPT)
5 【类比归纳专题】
一元二次方程的实际应用
一、增长率问题
1．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
(1)求该公司投递快件总件数的月平均增长率．
(2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？
解：(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x.
根据题意，得5(1＋x)2＝6.05，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%.
(2)6月份快递总件数为6.05×(1＋10%)＝6.655(万件)，0.4×16＝6.4(万件)．
∵6.4＜6.655，
∴该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务．
二、图形的面积问题
2．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30 m的篱笆围成．如图，已知墙长为 20 m，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃的面积为108 m2，求x的值．
(2)苗圃的面积能达到120 m2吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
解：(1)根据题意，得
(30－2x)x＝108，
解得x1＝6，x2＝9.
∵0＜30－2x≤20，
∴5≤x＜15，
∴x的值为6 m或9 m.
(2)根据题意，得(30－2x)x＝120，
整理，得x2－15x＋60＝0.
∵Δ＝152－4×60＝－15＜0，
∴方程无实数根，
∴苗圃的面积不能达到120 m2.
3．如图，一幅长20 cm、宽12 cm的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，设竖彩条的宽度为x cm.
(1)用含x的代数式表示图案中三条彩条的总面积．
则三条彩条的总面积为
答：图案中三条彩条的总面积为(－3x2＋54x)cm2.
整理，得x2－18x＋32＝0，
解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)，
答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.
三、营销问题
4．某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内(含5株)，植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植x(5≤x≤12)株，
①则单株售价____________元，每盆售价______________元．(均用含x的代数式表示)
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(－0.3x＋4.5)
(－0.3x2＋4.5x)
(2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y(元)与每盆种植株数x(株)之间满足y＝2＋0.3x，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．
解：(1)②令－0.3x2＋4.5x的值为16.2，则－0.3x2＋4.5x＝16.2，解得x1＝6，x2＝9，
答：当每盆售价为16.2元时，x＝6或9.
当12＜x≤18时，0.8x×30－40(2＋0.3x)＝100，解得x＝15，
综上所述，每盆种植12株或15株时，还剩余100元．(共7张PPT)
4 【方法技巧专题】
根与系数关系的应用
类型一 运用根系关系求值
1．若a，b是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则a＋b(1－a)的值为______.
2
类型二 运用根系关系求待定系数的值
解：∵x1，x2是方程的两根，∴Δ＝(－k)2－4(2k－1)＝k2－8k＋4≥0，x1＋x2＝k，x1x2＝2k－1，
当k＝5时，Δ＝－11<0，故k＝5舍去；当k＝－1时，Δ＝13>0，∴k＝－1.
类型三 利用根的定义与根系关系求值
∵x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2 022，
＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝1＋4 044
＝4 045.
类型四 利用根系关系解几何问题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB于点H，若AB＝5，且BC，AC的长分别是关于x的方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两个实数根．
(1)求m的值．
(2)求CH的长．
解：(1)由根与系数的关系得BC＋AC＝2m－1，BC·AC＝4m－4，
又BC2＋AC2＝25，∴(BC＋AC)2－2BC·AC＝25，
即(2m－1)2－2(4m－4)＝25，解得m1＝4，m2＝－1.
∵当m2＝－1时，BC＋AC＜0，∴m＝4.(共12张PPT)
25 【母题研究专题】 概率中的(不)放回问题
类型一 概率中的显性(不)放回问题
教材母题 (教材P140第3题)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则：
(1)两次取出的小球的标号相同的概率是______.
(2)两次取出的小球标号的和等于4的概率是______.
(1)直接写出布袋中白球的个数．
(2)从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率．
解：(1)2.
(2)依题意列表如下：
第2个 第1个 白1 白2 黑 红
白1 (白1，白1) (白1，白2) (白1，黑) (白1，红)
白2 (白2，白1) (白2，白2) (白2，黑) (白2，红)
黑 (黑，白1) (黑，白2) (黑，黑) (黑，红)
红 (红，白1) (红，白2) (红，黑) (红，红)
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中“两次摸到的球都是白球”的结果有4种．
2．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好
是《论语》和《大学》的概率是______.
3．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为3,5,5,7.
(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，则所抽取的这两张牌的牌面数字之和
是10的概率是______.
(2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．求所抽取的这两张牌的牌面数字之和是10的概率．
类型二 概率中的隐性(不)放回问题
教材母题 (教材P140第8题)两张图片形状完全相同，内容完全不相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是________.
4．某校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小红搭不同车的概率是( )
D
5．为做好安全防控工作，某学校门口设置了A，B两条安全检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是
( )
A
6．我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2,3,5,6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为( )
A
7．端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，则爷爷奶奶吃到同类
粽子的概率是______.
8．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是
______.
9．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”．小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，求他途中遇到两次红灯，一次绿灯的概率．
解：根据题意画树状图如下：(共18张PPT)
9 【类比归纳专题】
二次函数与实际问题
类型一 图形面积
1．用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙，围成一个矩形的菜园．
(1)如图1，若矩形菜园的一边靠
墙AB，另三边由篱笆CDEF围成．
①设DE＝x m，直接写出菜园
面积y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
②菜园的面积能不能等于110 m2，若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
(2)如图2，若矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．
②若菜园的面积等于110 m2，
解得x1＝10，x2＝22.
∵0＜x≤8.
∴不能围成面积为110 m2的菜园．
(2)设DE＝k m，则菜园的面积
∵－1＜0，∴当k＝10时，y有最大值100，
∴当DE的长为10 m时，菜园的面积最大，最大值为100 m2.
2．如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．
(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE.
(2)在(1)的条件下，设BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：(1)证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF的面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH.
∵四块矩形花圃的面积相等，
即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，∴AE＝3BE.
(2)∵篱笆总长为100 m，
∴2AB＋GH＋3BC＝100，
∵BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，
类型二 销售利润
3．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(单位：件)与售价x(单位：元)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中售价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得的利润为w(单位：元)，求每月获得的利润w与售价x之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．
(2)当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解：(1)根据题意，得w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000.
∵每件的利润不高于成本价的60%，
∴20≤x≤20(1＋60%)，∴20≤x≤32，
∴w＝－10x2＋700x－10 000(20≤x≤32)．
(2)∵w＝－10x2＋700x－10 000(20≤x≤32)，∴对称轴为直线x＝35.
又∵a＝－10＜0，∴抛物线的开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w有最大值，最大值为
－10×322＋700×32－10 000＝2 160(元)．
答：当售价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2 160元．
4．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(单位：kg)与售价x(单位：元/千克)的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)求这一天销售西瓜获得的利润w的最大值．
解：(1)当6≤x≤10时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
(2)由已知得 w＝(x－6)y.
当6≤x≤10时，
∵a＝－200＜0，抛物线的开口向下，
当10＜x≤12时，w＝(x－6)×200＝200x－1 200.
∵y随x的增大而增大，∴当x＝12时，w取得最大值，w＝200×12－1 200＝1 200(元)．
答：这一天销售西瓜获得的利润w的最大值为1 250元．
类型三 抛物线形建筑与抛物线运动
5．某景区平面图如图1所示，点A，B，C，E，D为边界上的点，边界CED是一段抛物线，其余边界均为线段，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝BC＝3，AB＝8，抛物线顶点E到AB的距离OE＝7，以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求边界CED所在抛物线的解析式．
(2)如图2，该景区管理处欲在区域ABCED内围成一个矩形场地MNPQ，使得点M，N在边界AB上，点P，Q在边界CED上，试确定点P的位置，使得矩形场地MNPQ的周长最大，并求出最大周长．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋7.
根据题意，得点C(4,3)，
则PQ＝MN＝2m，
∴当m＝4时，矩形MNPQ的周长最大，最大周长为22.
6．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足y＝at2＋5t＋c，足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行多长时间，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，球门的高度为2.44 m．若该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将足球直接射入球门？
解：(1)∵函数y＝at2＋5t＋c的图象经过点(0,0.5)，(0.8,3.5)，
(2)把x＝28代入x＝10t，得t＝2.8，
∴他能将足球直接射入球门．(共16张PPT)
12 【中考热点专题】 二次函数与几何最值问题
类型一 线段的最值问题
(1)求b，c的值．
(2)若点D是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E.当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
设点D的横坐标为m，
2．已知二次函数y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m.
(1)当m＝2时，求二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A，B.
①求m的取值范围．
②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的解析式．
解：(1)当m＝2时，y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝2x2－3x－5，
(2)①Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m(1－3m)＝(4m－1)2＞0，
②y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝(mx－3m＋1)(x＋1)，
当m＝4时，y＝4x2－7x－11.
类型二 周长的最值问题
3．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象与x轴交于点A(－1, 0)，B，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求该二次函数和直线BC的解析式．
(2)如图，过直线BC上方的抛物线上一动点P作x轴的垂线PH，垂足为H，线段PH交BC于点Q，过点P作PG⊥BC于点G，求△PGQ周长的最大值．
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
令y＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴点B(3,0)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
(2)∵点B(3,0)，C(0,3)，∴BO＝CO，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵∠BOC＝90°，∴∠ABC＝∠OCB＝45°.
∵PH⊥x轴，∴PH∥y轴，
∴∠PQG＝∠OCB＝45°.
∵PG⊥BC，∴△PGQ为等腰直角三角形，
∴△PGQ的周长为PG＋GQ＋PQ＝(＋1)PQ，
∴当PQ的值最大时，△PGQ的周长有最大值．
设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)．
∵点Q为PH与直线BC的交点，
∴点Q的坐标为(m，－m＋3)，
类型三 图形面积的最值问题
(1)求抛物线和直线AB的解析式．
(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值．
解：(1)将点A(－1,0)，(共19张PPT)
26 【中考热点专题】 统计与概率的综合问题
1．某校数学社团对该校学生进行“我最喜爱的小吃”随机调查，每人只能从“A.锅贴；B.鸡蛋灌饼；C.小笼包；D.赤豆糊”中选择一个本人最喜欢的小吃，将调查问卷整理后绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题．
(1)“小笼包”所在扇形的圆心角的度数为______，将条形统计图补充完整．
(2)该校共有 1 200 名学生，估计最喜欢“赤豆糊”的同学有_________名．
(3)甲、乙两名学生从这四种小吃：“A.锅贴；B.鸡蛋灌饼；C.小笼包；D.赤豆糊”中随机地选一项去品尝，请你利用画树状图法或列表法求出两名学生选到小吃A，B的概率．
108°
120
解：(1)调查的总人数有20÷40%＝50(人)，
喜欢“锅贴”的人数有50×20%＝10(人)，
补全条形统计图如图所示．
(2)估计最喜欢“赤豆糊”的学生有
故答案为120.
(3)画树状图如图所示：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两名学生选到小吃A，B的结果有2种，
2．为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同的时间抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
尺寸/cm 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98
编号 ⑨ ⑩
尺寸/cm a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸/cm 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x<8.90或x>9.10 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内．
(1)已知这次抽检的合格率为80%，请判断编号为 的产品是否为合格品．并说明理由．
(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数是9 cm.
(i)求a的值；
(ii)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm，另一组尺寸不大于9 cm.从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
解：(1)∵抽检的合格率为80%，∴合格的产品有15×80%＝12(件)，即非合格品有3件，而从编号①至编号 对应的产品中，只有编号①与编号②对应的产品为非合格品，从而编号为 的产品是非合格品．
3．某环保兴趣小组的李亮同学想了解本小区1 200户家庭的用水情况，他随机调查了50户家庭的月平均用水量(单位：t)，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数直方图．
月平均用水量/t 频数 百分比
2≤x<3 2 4%
3≤x<4 12 24%
4≤x<5 ________
5≤x<6 10 20%
6≤x<7 ______ 12%
7≤x<8 3 6%
8≤x<9 2 4%
15
30%
6
(1)补全频数分布表和频数直方图．
(2)若每户月平均用水量“大于或等于4 t且小于7 t”为中等用水量家庭，请你估计李亮所在的小区属于中等用水量的家庭大约有多少户？
(3)从月平均用水量在2≤x＜3和8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中随机抽取2户，请用画树状图法或列表法求随机抽取出的2户家庭来自不同范围的概率.
(2)中等用水量的家庭大约有1 200×(30%＋20%＋12%)＝744(户)．
(3)在2≤x＜3范围的两户用a，b表示，在8≤x＜9范围内的两户用1,2表示．
画树状图如图所示：
4．某中学开展普通话演讲比赛，九(1)、九(2)两个班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，10名选手的复赛成绩如图所示．
(1)根据统计图补充完成下面的成绩统计分析表.
平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率
九(1)班 85 ____ 85 ____ _______ 60%
九(2)班 85 80 ______ 160 100% ______
85
70
100%
100
40%
(2)九(1)班学生说他们的复赛成绩好于九(2)班，结合图表，请你给出三条支持九(1)班学生观点的理由．
(3)若从复赛成绩为100分的3名选手中随机选2人参加学校决赛，求选中的两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的概率．
解：(1)九(1)班选手的成绩为75,80,85,85,100，
(2)理由①：九(1)班选手成绩的中位数比九(2)班高；
理由②：九(1)班选手的成绩的方差小，成绩稳定；
理由③：九(1)班的优秀率大于九(2)班．
(3)将九(1)班的选手记为甲，九(2)班2名选手记为乙、丙，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的情况有4种，(共8张PPT)
3 【基础夯实专题】 解一元二次方程
一、直接开平方法
1．(x－1)2＝4.
解：∵(x－1)2＝4，
∴x－1＝2或x－1＝－2，
即x1＝3，x2＝－1，
∴原方程的根为x1＝3，x2＝－1.
二、配方法
3．x2－2x－1＝0.
4．4x2－4x＋1＝7.
三、公式法
5．x2－3x－2＝0.
解：∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17，
四、因式分解法
7．(x＋7)(x＋1)＝－5.
解：整理，得x2＋8x＋12＝0.
因式分解，得(x＋2)(x＋6)＝0.
于是得x＋2＝0或x＋6＝0，
∴x1＝－2，x2＝－6.
8．(x－2)2＝(2x＋3)2.
五、选用适当方法
9．x2－x＝0.
解：x1＝0，x2＝1.
10．2(x－3)＝3x(x－3)．
11．3(x－1)2－15＝0.
12．2(x－3)2＝x2－9.
解：x1＝3，x2＝9.(共9张PPT)
17 【基础夯实专题】 垂径定理应用(二)列方程
【基本图形】 【已知条件】直径AB⊥CD.
【基本结论】
①OC2＝OE2＋CE2，BE2＋CE2＝BC2，
AE2＋CE2＝AC2；
②AC2－AE2＝OC2－OE2＝BC2－BE2.
类型一 运用单勾股列方程
1．如图，半径OD与弦AB垂直相交于点C，AB＝8，CD＝3，求⊙O的半径．
解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC＝R－3.
2．如图，⊙O的弦CD交直径AB于点E，OD＝DE，CE∶DE＝3∶5.若OE＝5，求CD的长．
解：过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∵OF⊥CD，
类型二 运用双勾股列方程
解：设CD＝x，则OC＝5－x，
∵OA2－OC2＝AC2＝AD2－CD2，
∴x＝2，∴OC＝3，∴AC＝4，
∴AB＝2AC＝8.
4．如图，在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AB⊥CD，AE＝2，BE＝6，CE＝4，求⊙O的半径．
解：连接OB，OC，过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥CD于点G，
易得矩形OGEF，BF＝4，EF＝2＝OG.设OF＝EG＝x，则CG＝4－x.
∵CG2＋OG2＝OC2＝OB2＝OF2＋BF2，
∴(4－x)2＋22＝x2＋42，(共6张PPT)
7 【难点探究专题】 二次函数的最值或函数值的范围
一、不限制自变量求最值
1．已知二次函数y＝3x2－12x＋1，则函数值y的最小值是
( )
A．－9 B．－10
C．－11 D．－13
2．关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法中正确的是( )
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值6 D．有最小值6
C
D
二、限制自变量求最值或取值范围
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(0≤x≤3)的部分图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是( )
A．有最小值0和最大值3
B．有最小值－1和最大值0
C．有最小值－1和最大值3
D．有最小值－1，无最大值
C
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，当－2≤x≤2时，关于y的取值范围，下列说法中正确的是( )
A．有最大值4和最小值0
B．有最大值0和最小值－4
C．有最大值4和最小值－4
D．有最大值5和最小值－4
5．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是________.
6．已知二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围
是________________.
D
y≤3
三、已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
7．已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8．若二次函数y＝x2－6x＋8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)3，则满足条件的x的取值范围可以是( )
A．－1≤x≤5 B．1≤x≤6
C．－2≤x≤4 D．－1≤x≤1
D
D
9．已知二次函数y＝－x2＋4x－3，当－1≤x≤m时，此函数的最小值为－8，最大值为1，则m的取值范围是( )
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5
C．m＞5 D．2≤m≤5
10．关于x的二次函数y＝(x－h)2＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值是( )
A．0或2 B．2或4
C．0或4 D．0或2或4
D
C(共9张PPT)
20 【母题研究专题】 角分图
【基本图形一】AB是直径，CD平分∠ACB.
【基本方法】将△DAC绕点D顺时针旋转90°至△DBE.
证明：方法一(作垂线)：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，证△DAM≌△DBN，
方法二(补短法)：延长CA至点E，使AE＝BC，连接DE，证△ADE≌△BDC，△CDE是等腰直角三角形，
2．如图，⊙O的直径AC长为10，弦AD的长6.
(1)求DC的长．
(2)若∠ADC的平分线交⊙O于点B，求AB，BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°.
∵AC＝10，AD＝6，
(2)∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°.
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠ACB＝∠ADB，∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC.
【基本图形二】∠ACD＝∠BCD＝60°.
【基本方法】将△BCD绕点D逆时针旋转60°至△AED.
(1)求证：DC是∠ADB的平分线．
解(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线．
(2)延长DA至点H，使HA＝DB连接CH，
∴∠HAC＝∠DBC.
∴△HAC≌△DBC(SAS)，∴HC＝DC，
∴∠ADC＝∠BDC＝60°，(共8张PPT)
18 【方法技巧专题】 构造直径与直角
一、见直径，连直角
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．
若∠AOD＝30°，求∠BCD的度数．
解：如图，连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠AOD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋15°＝105°.
2．如图，AB是⊙O的直径，弦AE，BD的延长线交于点C，∠C＝60°，CD＝3，CE＝4，求直径AB的长．
解：如图，连接AD，BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDA＝∠CEB＝90°.
∵∠C＝60°，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴BC＝2CE＝8，
AC＝2CD＝6，
∴BD＝BC－CD＝8－3＝5.
在Rt△ADB中，
二、遇直角，作直径
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO.
(1)求证：∠BAD＝∠CAO.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长．
解：(1)证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°＝∠ADB.
又∵∠B＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAO.
(2)∵∠E＝∠B＝60°，∠ACE＝90°，
设CE＝x，则AE＝2x，且AC＝6，
∴4x2－x2＝36，
三、构造直径与直角
4．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，求AB的长．
解：如图，延长BO交⊙O于点D，连接AD.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
BD＝4×2＝8.
∵AB∥OC，∠BOC＝30°，∴∠ABD＝30°.
在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，(共7张PPT)
19 【方法技巧专题】
构造圆内接四边形
一、利用圆内接四边形对角互补求角
解：如图，补全⊙O，在⊙O上AB的下方圆弧上取一点M，连接DM，EM.
∠M＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°－50°＝130°.
2．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°.求∠B＋∠E的度数．
解：∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＋∠ACD＝150°.
∵∠E＋∠ACD＝180°，
∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠B＋∠E＋∠ADC＋∠ACD＝
180°＋180°＝360°，
∴∠B＋∠E＝360°－150°＝210°.
二、利用圆内接四边形对角互补解决线段问题
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD的延长线上的一点，DE平分∠CDF.求证：AB＝AC.
证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝∠EDF.
∵∠EDF＝∠ADB，
∴∠CDE＝∠ADB.
∵∠CDE＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC，AD的延长线交于点E，且CD＝DE.
(1)求证：BA＝BE.
(2)连接OE交CD于点F，若OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
证明：(1)∵CD＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠A，
∴BA＝BE.
(2)∵OE⊥CD，
∴DF＝CF，
∴OE垂直平分CD，
∴EC＝ED，CD＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．(共8张PPT)
2 【母题探究专题】 活用根的判别式
教材母题(教材P17习题21.2 T13)
无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．
解：原方程可化为x2－5x＋6－p2＝0.
∵Δ＝4p2＋1>0，
∴原方程总有两个不等的实数根．
一、判断方程的根的情况
1．判断下列方程的根的情况．
(2)x2＋2x－1＝0.
(3)x2＋x＋2＝0.
∴原方程有两个相等的实数根．
(2)∵Δ＝22－4×(－1)>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(3)∵Δ＝12－4×2<0，
∴原方程无实数根．
2．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限内，试判断关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．
解：已知点P(a，c)在第二象限内，可得a＜0，
c＞0，∴ac＜0，即可判定Δ＝b2－4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
3．判断下列关于x的一元二次方程的根的情况．
(1)x2－4mx＋4m2＝0.
(2)x2＋mx＋m－2＝0.
(3)2x2＋(m＋2)x＋m＝0.
解：(1)∵Δ＝(－4m)2－4×4m＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(2)∵Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(3)∵Δ＝(m＋2)2－4×2m＝(m－2)2≥0，
∴原方程有实数根．
二、根据方程的根的情况，求待定系数的值或取值范围
4．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<－1 B．k>－1
C．k<1 D．k>1
5．关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝______，c＝______.
B
1
1
6．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)判断关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
解：(1)Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋2)＝4m－7.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴4(1－m)＜0，则方程(m－1)x2＋2(m－1)x＋m＝0无实数根．(共8张PPT)
24 【方法技巧专题】
求阴影部分的面积
一、割补法
1．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF.若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积是( )
A
2π－4
二、等积变形法
C
4．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六个部分．若大圆的半径为2，则阴影部分的面积是________.
2π
三、图形变换法
C
6．如图，在两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是_________.
72π
四、覆盖法
7．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是___________.(结果精确到0.1，参考数据：π≈3.14)
1.7
A
B
D
E
F
C
A
C
F
口
0
D
B
E
D
C
F
E
A
B
E.
D
C
40°
A
B(共18张PPT)
14 【模型构建专题】
旋转中的常见模型
模型一 “手拉手”模型
如图1，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD.将△OCD绕公共顶点O旋转，连接AC，BD交于点E，如图2，则有下列结论：①△AOC≌△BOD(SAS)；②AC＝BD；③∠AOB＝∠COD＝∠CED.
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在BC的延长线上，连接BD.求证：∠3＝∠1＋∠2.
证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABE＝∠2.
∵∠3＝∠1＋∠ABE，
∴∠3＝∠1＋∠2.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE.求证：BE＝CD.
证明：∵将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，
∴∠DAE＝α，AD＝AE.
∵∠BAC＝α，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE.
在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE＝CD.
3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转108°得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E.连接EC交AB于点G.求证：四边形ADEG是平行四边形．
证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转108°得到△ADE，
∴∠CAE＝108°，
AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝36°.
又∵∠DAE＝∠BAC＝36°，
∴DA∥EG.
∵∠BAC＝36°，
∴∠EAB＝∠CAE－∠BAC＝108°－36°＝72°.
∵∠AED＝∠ACB＝72°，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形．
4．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连接CQ.
(1)求证：AP＝CQ.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°.
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ.
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ (SAS)，
∴AP＝CQ.
(2)如图，连接PQ.
∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，
∴PC＝CQ＝1.
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PCQ＝90°，∴PC⊥CQ.
模型二 “半角”模型
如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边BC上，∠EAF＝45°，延长CB至点G，使得BG＝DE，连接AG，则有△ABG≌△ADE(SAS)，△FAG≌△FAE(SAS)，EF＝GF＝BF＋DE.
如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，∠EAD＝45°.将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，此时AC与AB重合，连接DF，则△ACE≌△ABF，△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2.
5．如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
(1)求证：△EAG≌△EAF.
(2)若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝______.
2
解：(1)证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AF＝AG，
∠DAF＝∠BAG.
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠BAG＋∠EAB＝45°，
即∠EAF＝∠EAG.
在△EAG和△EAF中，
∴△EAG≌△EAF(SAS)．
(2)设BE＝x，则EF＝GE＝3＋x，CE＝6－x.
∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝CD－DF＝3.
在Rt△ECF中，由勾股定理，得CE2＋CF2＝EF2，∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2，
解得x＝2，即BE＝2.
(1)求证：DF＝DE.
(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2＋EC2.
∵△ABF由△CBE旋转得到，
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
∴∠DBF＝∠DBE.
∴△DBF≌△DBE(SAS)，
∴DF＝DE.
(2)∵将△CBE绕点B逆时针旋转一定角度得到△ABF，∴BA＝BC.
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，EC与AF重合，∴AF＝EC，
∴∠FAB＝∠BCE＝45°，∴∠DAF＝90°.
在Rt△ADF中，DF2＝AF2＋AD2.
∵AF＝EC，∴DF2＝EC2＋AD2.
由(1)可得DE＝DF，∴DE2＝AD2＋EC2.(共10张PPT)
16 【基础夯实专题】 垂径定理应用(一)直接计算
【基本图形】 【基本结论】
类型一 已知直径与弦垂直
1．如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，求四边形ACBD的面积．
解：连接OC.
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3.
类型二 由弧中点得垂直
解：连接OC，交AB于点D，连接OA，OB.
∴由圆的对称性可得OC⊥AB，
类型三 由弦的中点得垂直
3．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，D是AB的中点．若⊙O的半径为5，AC＝6，BC＝DC，求OC的长．
解：连接OA，OD.
∵D是AB的中点，
∴OD⊥AB，AD＝BD，
∵AC＝6，BC＝DC，
∴CD＝2，∴AD＝4，
类型四 过圆心作垂直
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以CA为半径的⊙C与AB相交于点D，求BD的长．
∵∠ACB＝90°，
DAD-BD
OC⊥AB→
②AC=BC,AE=BE
③0A2=OD2+AD2
C
A
O
E
B
D
C
E
B
D
Q
A
B
C
A
D
B
C
A
D
C
O
B
A
D
C
0
B
A
D
B
C
A
D
E
B
C(共9张PPT)
13 【中考热点专题】 旋转与网格作图
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1.
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(三角形顶点是网格线的交点)和△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1成中心对称．
(1)画出△ABC和△A1B1C1的对称中心O.
(2)将△A1B1C1沿直线ED方向向上平移6个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2.
(3)将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转
90°得到△A3B3C2，画出△A3B3C2.
解：(1)连接BB1，CC1，线段BB1与线段CC1的交点为O，点O即为所求的对称中心．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)如图所示，△A3B3C2即为所求．
3．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为(－1，－1)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标．
(2)将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(－1, 3)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(3,1)．
4．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长
度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1.
(2)画出△A1B1C1关于点O成中心
对称的图形△A2B2C2.
(3)若将△ABC绕某一点旋转也可
得到△A2B2C2，直接写出旋转中
心的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)根据图形可知，旋转中心的坐标为(－3,0)．
