(共18张PPT)
第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
相似三角形的判定定理
1．如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论中正确的是( )
A．△ABC∽△DAB
B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD
D．以上结论都不对
B
C
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若AB＝2AE，AC＝2AD，DE＝3，则BC＝______ .
6
5．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD
＝____ .
6．如图，在四边形ABCD中，连接BD.已知AB＝14，AD＝28，BD＝21，BC＝42，DC＝31.5，则AB与CD的位置关系为________.
平行
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
8．如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，求∠ABC的度数．
9．如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F.若AD＝3ED，CD＝3 cm，则BF的长是( )
A．3 cm
B．6 cm
C．9 cm
D．12 cm
C
D
11．如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段
MN的端点M，N分别在CD，AD上移动，当DM＝__________ 时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似．
12．如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，点F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，则BF＝______.
5.6
(2)证明：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，
∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠EAC，
又∵∠EAC＝∠DAC，∴∠ECA＝∠DAC.
∴CE∥AD.
14．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF＝45°.
(1)当BE＝BF时，求证：AE＝CF.
(2)求证：△ABF∽△CEB.
(3)如图2，延长BF交CD于点G，
连接EG.判断线段EB与EG的关
系，并说明理由．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCF＝45°.
∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠AEB＝∠CFB，∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝CF.
(2)∵∠BEC＝∠BAE＋∠ABE＝45°＋∠ABE，
∠ABF＝∠EBF＋∠ABE＝45°＋∠ABE，
∴∠BEC＝∠ABF.
∵∠BAF＝∠BCE＝45°，∴△ABF∽△CEB.(共9张PPT)
第四章 图形的相似
实践操作三 无刻度直尺作图(二)作平行线、垂线
一、作平行线
1．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A，B，C均为小正方形的顶点，D为AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示)
(1)如图1，过点D作AB的平行线DE.
(2)如图2，过点D作BC的平行线DF.
解：(1)如图1所示，DE即为所求．
(2)如图2所示，DF即为所求．
2．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个正方形的顶点叫做格点，四边形ABDC的顶点均在格点上，点M是边AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
(1)过点C作线段CE，使CE∥AB，且CE＝AB.
(2)在边AB上作一点F，使直线DF平分四边形
ABEC的面积．
(3)过点M作线段MN，使MN∥CD，且MN＝
CD.
解：(1)如图所示，线段CE即为所求．
(2)如图所示，直线DF即为所求．
(3)如图所示，线段MN即为所求．
二、作垂线
3．如图是由边长为1的小正方形构成的，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示)
(1)如图1，作△ABC的高BD.
(2)如图2，作△ABC的高BE.
(3)如图3，作△ABC的高AD.
解：(1)如图1所示，BD即为所求．
(2)如图2所示，BE即为所求．
(3)如图3所示，AD即为所求．
4．如图是由边长为1的小正方形构成的，其中A，B为小正方形的顶点，C，D，E是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示)
(1)如图1，过点C作AB的垂线．
(2)如图2，过点D作AB的垂线．
(3)如图3，过点E作AB的垂线．
解：(1)如图1所示，即为所求．
(2)如图2所示，即为所求．
(3)如图3所示，即为所求.(共12张PPT)
第四章 图形的相似
1 成比例线段
第1课时 线段的比和成比例线段
2．已知线段AB.若在线段BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比是( )
A．3 ：4 B．2 ：3
C．3 ：5 D．1 ：2
1
线段的比
A
A
3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则AC：AB＝__________，OA ：OD＝________.
1 ：1
2
成比例线段
4．下列各组线段中，成比例线段的是( )
A．1,2,3,4 B．1,2,2,4
C．3,5,9,13 D．1,2,2,3
5．在1 ：100 000的地图上，A，B两点之间的距离是 5 cm，则A，B两地之间的实际距离是( )
A．5 km B．50 km
C．500 km D．5 000 km
6．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝3 cm，b＝6 cm，c＝2 cm，则d＝______cm.
B
A
4
D
10．如图，下列各组线段：①AC，AD，CD，BD；②BC，AB，CD，BC；③AB，BC，BC，CD；④CD，BD，AD，AB.其中成正比例的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
B
9
13．如图，矩形纸片ABCD的长BC＝5，宽AB＝2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF，若矩形ABFE和矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长．(共10张PPT)
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第1课时 位似图形及其性质
1．下列选项中的两个图形不是位似图形的是( )
1
位似图形的概念及性质
A
2．下列说法中正确的是( )
A．如果两个图形是相似图形，那么它们一定位似
B．如果两个图形是位似图形，那么它们一定相似
C．位似图形的对应边平行且相等
D．位似图形的位似中心不只有一个
B
4．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1：2.若△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____.
12
2
画位似图形
5．下列关于△ABC位似图形的画法中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
D
6．如图，在四边形ABCD内任选一点O为位似中心，将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)．
解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所作．
7．如图，若图中两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是( )
A．点M B．点N
C．点O D．点P
D
8．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A是位似中心．已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．(共17张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
1
黄金分割的有关概念
C
C
B
4．数学文化在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中点E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2 m，则线段BE的长为___________m.
5．如图，线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值．
(1)AC－BC.
(2)AC·BC.
2
黄金分割的应用
6．一般认为肚脐是人的上下半身的分界点．已知某人的肚脐恰好是他的身高的黄金分割点，且他的下半身比上半身长．若该人的身高约为1.8 m，则他的下半身长约为(精确到0.1 m)( )
A．0.9 m B．1.0 m
C．1.1 m D．1.2 m
C
C
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
B
A
10．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______cm(结果保留整数)．
8
解：(1)如图所示，点B即为所作．
(3)按(1)中作点E的方法作点F，以点B为圆心，AF长为半径画弧，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求，如图所示：(共9张PPT)
第四章 图形的相似
实践操作二 无刻度直尺作图(一)分割线段、作相似
解：(1)如图1所示，点E即为所求．
(2)如图2所示，点F即为所求．
解：(1)如图1所示，点E即为所求．
(2)如图2所示，点F即为所求．
解：(1)如图1所示，△ADE即为所求．
(2)如图2所示，△DEF即为所求．
(3)如图3所示，点P即为所求．
4．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示)
(1)如图1，在AC上作点E，使△ABE∽△CDE.
(2)如图2，在AB上作点F，使△ACF∽△ABC.
(3)如图3，在AB上作点G，使△ACG∽△ABC.
解：(1)如图1所示，点E即为所求．
(2)如图2所示，点F即为所求．
(3)如图3所示，点G即为所求.
A
A
\
1
L
图1
图2
A
A
I
I
图1
图2
A
A
I
图1
图2
C
-7--1
D
」--
F---L---
L---
L-1-E-1B
A
图1
图2
图3
A
图1
图2
图3
图3(共6张PPT)
第四章 图形的相似
综合探究 新定义问题
【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
(1)如图1，在对余四边形ABCD中，∠BCD>90°，AB＝AC＝5，BC＝6，CD＝4，求点C到AD的距离．
(2)如图2，在凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？证明你的结论．
(2)四边形ABCD是对余四边形，理由如下：
在DC上方过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM，MB.
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°.
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM.
∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC △BDM(SAS)，∴AC＝BM.
∵2CD2＋CB2＝CA2，CM2＝DM2＋CD2＝2CD2，
∴CM2＋CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，∴∠DAB＋∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．
M
C
A
B
八
N
D
E
A
B
图3(共14张PPT)
第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
1．要测量出一棵树的高度，除了测量出人的身高与人的影子长外，还需测量出( )
A．仰角 B．树的影子长
C．标杆的影子长 D．都不需要
2．一根长1.5 m的标杆竖直地立在水平地面上，它在阳光下的影子长为2.1 m，此时一棵水杉树的影子长为10.5 m，则这棵水杉树的高为( )
A．7.5 m B．8 m
C．14.7 m D．15.75 m
利用相似三角形测高
B
A
3．数学文化(2023·江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.若测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝______m.
6
4．雨后初晴，一名学生在运动场上玩耍，在他前面2 m 远的一块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部高度是1.5 m，则旗杆的高度是_____ m.
30
5．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，求火焰的高度．
6．新考法(2023·河南)在综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m)．
解：由题意，可知∠BAE＝∠MAF＝90°，
则∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH.
∵∠AFE＝∠ABH＝90°，
答：树EG的高度为9.1 m.
7．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．某人扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，根据图中数据，两层楼之间的高约为( )
A．5.5 m
B．6.2 m
C．11 m
D．2.2 m
A
8．如图，在离某建筑物4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m长的竹竿A′B′垂直地面，影长BB′＝2 m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高CD＝2 m，那么这棵树的高度是______m.
4.4
9．如图，小明在A处测得某树的影子长为2 m，在B处又测得该树的影子长为8 m，若两处日照的光线互相垂直，则树的高度为______m.
4
10．核心素养·模型观念周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽度．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B处竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点A，C共线．已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量数据，求河宽AB.
答：河宽AB为17 m.
11．一天晚上，小明和小龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当小明走到点A处时，小龙测得小明直立身高AM与其影子长AE正好相等；接着小明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小明直立时身
高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB
＝1.25 m．已知小明直立时的身高为
1.75 m，求路灯的高CD的长(结果精确
到0.1 m)．
答：路灯的高CD的长约为6.1 m.(共10张PPT)
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1．(2023·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )
A．(2,4)
B．(4,2)
C．(6,4)
D．(5,4)
平面直角坐标系中的位似变换
C
2．在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于原点O位似，点A的坐标为(－2,1)，它的对应点A′的坐标为(1，－0.5)，若AB＝2，则 A′B′＝______.
1
4．如图，将△ABC的三边分别扩大1倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，若它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是____________.
(－4，－3)
5．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°.若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是________.
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标
为________.
8．如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O1A1B1与△OAB位似，位似中心为点O.
(1)请在图中标出位似中心点P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比．
(2)请以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似图形△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2，并写出点B的对应点B2的坐标．
解：(1)如图所示，点P的坐标为(－5，－1)，
△O1A1B1与△OAB的相似比为2.
(2)如图所示，△OA2B2即为所求，点B2的坐标为(－2，－6)．(共17张PPT)
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理(1)
1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则对应边上的高的比为( )
A．2∶3 B．3：2
C．4：9 D．9：4
2．若两个相似三角形对应角平分线的比为1：2，则它们对应中线的比为( )
A．1：2 B．1：3
C．1：4 D．1：8
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
A
A
3．若两个相似三角形的相似比为1：4，其中较小三角形某一条边上的中线长为3，则较大三角形对应边上的中线长为___ .
4．两个相似三角形的对应中线之比是3∶5，其中较大的三角形一边上的高是10 cm，那么另一个三角形对应边上的高为______cm.
12
6
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.若DE：BC＝2：3，则AG：GH＝_______.
2：1
6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O.若线段AB＝4 cm，则线段CD＝______ cm.
6
7．如图，△ABC∽△A′B′C′，且AE，A′E′是它们对应角的平分线，AD，A′D′是它们对应边上的中线．求证：△A′D′E′∽△ADE.
8．如图，某校宣传栏BC后面12 m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥DE，且相邻两棵树的间隔为2 m，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3 m，BC＝10 m，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？(不计宣传栏的厚度)
答：宣传栏后DE处共有26棵树．
B
10．如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的长为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
C
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上的一点，∠CBD＝∠A，点E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF ：CE＝__________.
3：4
12．如图，在△ABC中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的
高．若BC＝8，AD＝6，则EH的长为_______.
13．跨学科·物理如图是一个照相机成像的示意图．
(1)若像高MN＝35 mm，焦距CL＝50 mm，拍摄的景物高度AB＝4.9 m，则拍摄点离景物有多远？
(2)若要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？(共10张PPT)
第四章 图形的相似
3 相似多边形
1．用放大镜观察到的多边形与原多边形的关系是( )
A．形状不同，大小不同
B．形状相同，大小相同
C．形状相同，大小不同
D．形状不同，大小相同
1
相似多边形的定义及性质
C
2．下列说法中错误的是( )
A．相似多边形的对应边成比例
B．相似多边形的对应角相等
C．相似多边形的边数相同
D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形
3．一个四边形各边之比为1：2：5：7.若与它相似的四边形的最长边为21 cm，则其余三边之和是( )
A．24 cm B．21 cm
C．13 cm D．9 cm
D
A
5
90°
5．如图是两个相似的四边形，求边x，y的长和α，β的度数．
解：β＝140°，α＝360°－140°－66°－54°＝100°.
∵14：4＝y：8＝x：6，
∴x＝21，y＝28.
2
相似多边形的判定
6．下列说法中正确的是( )
A．对应角相等的两个多边形相似
B．对应边成比例的两个多边形相似
C．边数相同的正多边形都相似
D．有一组角对应相等的两个平行四边形相似
C
7．甲、乙、丙三名同学各制作了一个矩形模型，尺寸如图所示，其中相似的是( )
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
B
8．下列图形中不一定是相似图形的是( )
A．两个等边三角形
B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形
D．两个正方形
C
9．如图，点E，F分别是 ABCD的边AD，BC的中点．若四边形AEFB与 ABCD相似，且AB＝4，则AD＝______.
10．如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由．
(2)若沿矩形ABCD四周有上下宽为1，左右宽为 x的环形区域，当x为何值时，矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′？
解：(1)不相似．∵AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而28：30≠18：20，
∴不相似．
(2)由题意知，(30－2x)：30＝(20－2)：20，
解得x＝1.5.(共15张PPT)
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形的性质定理(2)
1．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为( )
A．1：2 B．2：1
C．1：4 D．4：1
2．△ABC的三边长分别为2,3,4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
A．54 B．36
C．27 D．21
1
相似三角形的周长比等于相似比
A
C
3．已知两个相似三角形的对应边上的中线之比为2：3，周长之和为20，则这两个三角形的周长分别是_______.
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若△ABC的周长是△ADE的周长的5倍，DE＝2，求BC的长．
解：10.
8和12
2
相似三角形的面积比等于相似比的平方
5．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为( )
A．32 B．8
C．4 D．16
C
6．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△DOE与△COB面积比为( )
A．1：4 B．2：3
C．1：3 D．1：2
A
7．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形BCED＝__________.
1：3
C
C
11．如图，每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为_______.
2：1
12．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为________.
1：6
13．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，求△FCE的周长．
解：先证△ABE∽△FCE，再求得AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长是16，
∴△FCE的周长是8.
解：(1)证△BPQ∽△BCA即可．(共15张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第2课时 两边成比例且夹角相等
1．下列能说明△ABC和△A1B1C1相似的条件是( )
A．AB：A1B1＝AC：A1C1
B．AB：A1C1＝BC：A1C1且∠A＝∠C1
C．AB：A1B1＝BC：A1C1且∠B＝∠A1
D．AB：A1B1＝AC：A1C1且∠B＝∠B1
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
C
2．如图，BD，CE相交于点A．在下列条件中，能得到△ABC∽△ADE的条件是( )
A．AE：AC＝AD：AB
B．AD：AB＝DE：BC
C．AD：DE＝AB：BC
D．BD：AB＝AC：EC
A
D
4．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，AD＝2，BD＝1，当AC＝____时，△ACD与△ABC相似．
5．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，当BF＝_____时，△CBF与△CDE相似．
1.8
6．如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F是边BC上一点，添加一个条件：_____________________，可以使得△FDB与△ADE相似(只需写出一个)．
DF∥AC(答案不唯一)
8．如图，BD，CE分别是边AC与AB上的高．求证：△ADE∽△ABC.
9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的三角形(阴影部分)与原三角形不相似的是( )
B
D
11．如图，△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝
2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝____ .
12．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？请说明理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．(共9张PPT)
第四章 图形的相似
实践操作一 尺规作图与相似
解：(1)如图所示，即为所求．
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD∶AB＝2∶3.
(1)在边AC上求作点E，使AE∶AC＝2∶3(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，若△ABC的周长为12，求△ADE的周长．
解：(1)如图所示，点E即为所求．
(2)∵AE∶AC＝2∶3，AD∶AB＝2∶3，
∴AE∶AC＝AD∶AB.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的周长∶△ABC的周长＝AD∶AB＝2∶3，
∵△ABC的周长为12，∴△ADE的周长为8.
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD的长．
解：(1)如图所示，点D即为所求．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC>AB，∠C＝36°.
(1)在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
(2)在(1)的条件下，若AB＝2，求BC的长．
解：(1)如图所示，点D即为所求．(共7张PPT)
第四章 图形的相似
1 成比例线段
第2课时 比例的性质
1
比例的基本性质
A
B
2
比例的等比性质
30
30
C
C
4
10
14(共17张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等
1．(2023·重庆B卷)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长为6，则DE的长为( )
A．4 B．9
C．12 D．13.5
1
相似三角形的定义
B
2．如图，△ABC∽△DEF，若∠EDF＝135°，则∠BAC的度数是( )
A．105° B．115°
C．125° D．135°
D
3．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列说法中正确的是( )
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1相似
D．△ABC与△A1B1C1全等
C
2
两角分别相等的两个三角形相似
4．如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①和②和③
A
5．下列各组图形中有可能不相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
A
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，请添加一个条件________________________，使△ADE∽△ABC.
∠ADE＝∠B(答案不唯一)
15
ABC
ACD
∠ACB
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC.
∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED＝∠C.
∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC，
∴△ADE∽△ABC.
10.如图，∠BCA＝∠CDA＝90°.
(1)求证：CD2＝BD·DA．
(2)若AC＝3，BC＝4，求BD，DA的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，点C为△AOB的边OA上的一点，AC：OC＝1：2，过点C作CD∥OB交AB于点D，点C，D的纵坐标分别为1,3，则点B的纵坐标为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
12．如图，点P为线段AB上的一点，AD交BC于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列说法中错误的是( )
A．△CGE∽△CBP
B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP
D．△PCF∽△BCP
A
13．如图，在 ABCD中，点E是边AD上的三等分点．若∠AEB＝∠BDC，AB＝3，则与△ABE相似的三角形有______
________，AE＝____.
△BCD，
△ABD
14．(2023·河南)在矩形ABCD中，点M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为____________.
15．(2023·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.
(1)求证：DE＝AF.
(2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE.(共16张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第3课时 三边成比例
1．若△ABC的每条边长增加各自边长的23%得到△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角的度数相比( )
A．增加了23%
B．减少了23%
C．增加了(1＋23%)
D．没有改变
三边成比例的两个三角形相似
D
2．有一个三角形的三边长分别为3,4,5，另一个三角形的三边长分别为8,6,10，则这两个三角形( )
A．都是直角三角形，但不相似
B．都是直角三角形，也相似
C．都是钝角三角形，也相似
D．都是锐角三角形，也相似
3．一个三角形的三边长分别为2,3,4，另一个与它相似的三角形的最长边的长为16，则其他两边长的和是( )
A．16 B．18
C．20 D．24
B
C
A
5．如图，下面图形及各选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在网格的格点上．下列选项中，阴影部分的三角形与已知△ABC相似的是( )
A
7．如图，若∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则当CD＝____时，△ABC∽△CAD.
9．如图，判断4×4正方形网格中的两个三角形是否相似，并说明理由．
△DEF
3：2
11．如图，在正方形网格中画出梯形ABCD，连接BD，则∠BDC的度数是_______.
135°
12．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个三角形框架的一边长为2，它
的另外两边长分别为______________________.
13．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，DF＝3CF.试判断△AEF与△ECF是否相似？并说明理由．
解：△AEF与△ECF相似．理由如下：设正方形ABCD的边长为4A．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵点E是边BC的中点，DF＝3CF，
∴BE＝EC＝2a，CF＝a，DF＝3a，
14．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由．
(2)求∠BAC的度数．
(3)在线段BC所经过的格点上是否存在一点Q(点P除外)，使得以点A，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请标出点Q的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)△PBA∽△ABC，理由略．
(2)∠BAC＝∠BPA＝135°.
(3)存在点Q，且点Q为线段PC的中点，理由略．(共17张PPT)
第四章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
1
平行线分线段成比例
B
2．如图，AD∥BE∥CF，它们分别交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝1，AC＝4，DE＝2，则DF的长是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
D
3．如图，AD∥BE∥CF，它们分别交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.若DE：EF＝3：5，AC＝24，则BC＝_____.
15
4．如图，直线l1∥l2∥l3，它们分别交直线l4，l5于点A，B，C和点D，E，F.
(1)若AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长．
(2)若DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．
2
平行线分线段成比例的推论
C
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，AB＝9，AE＝4，则EC的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
B
B
4
11．教材P85习题T4改编如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝3：4，BC＝21，则BF＝________.
12
13．如图，AB∥DF，∠EAB＝∠BCF.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(2)求证：OB2＝OE·OF.
解：(1)四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵AB∥DF，
∴∠EAB＝∠D.
又∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠D＝∠BCF，
∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．(共19张PPT)
第四章 图形的相似
★单元核心考点归纳
1
成比例线段、比例的性质和黄金分割
B
C
C
2
平行线分线段成比例
2
3
相似三角形的判定和性质
7．(2023·重庆A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是( )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶8
D．1∶16
B
D
B
1
11．如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，连接AF，EG，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF的
长为_____.
12．(2023·广东)如图，边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为______.
15
4
利用相似三角形测高
14．跨学科·物理如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照射到古城墙CD的顶端点C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，则该古城墙的高度是( )
A．6 m B．8 m
C．18 m D．24 m
B
15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图所示)．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72 m，EF＝2.18 m．已知点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47 m，则AB＝_______m.
9.88
6
位似
(3,4)
17．如图，在网格中，已知△ABC和点 M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，相似比为2，请画出△ABC的位似图形△A′B′C′.
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)A′(3,6)，B′(5,2)，C′(11,4)．
