(共19张PPT)
第一章 特殊平行四边形
★单元核心考点归纳
1
菱形的性质与判定
1．在菱形ABCD中，若∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠DAE的度数是( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
B
D
3．将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为________.
24
4．(2023·嘉兴)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：
①作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D，交BC于点O；
②在直线MN上截取OE，使OE＝OD，连接CD，BE，CE.(保留作图痕迹)
(2)猜想证明：作图所得的四边形BECD是否为菱形？并说明理由．
解：(1)①如图所示，直线MN即为所求．
②如图所示，即为所求．
(2)四边形BECD是菱形，理由如下：
∵MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD.
∵OD＝OE，∴四边形BECD是平行四边形．
又∵BD＝CD，∴四边形BECD是菱形．
2
矩形的性质与判定
5．下列条件中，能判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AC B．AC⊥BD
C．AB＝AD D．AC＝BD
6．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD.下列结论：①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
D
B
7．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠BOC＝120°，AB＝5，则BD＝_____，BC＝______.
8．如图，线段BC是等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB，DE相交于点O.若OD＝2，则AC＝______.
10
4
9．(2023·岳阳)如图，点M在 ABCD的AD上，BM＝CM，请从以下三个选项：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是________(填序号)．
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
证明：(2)添加条件①， ABCD为矩形，理由如下：
在 ABCD中，AB＝CD，
AB∥CD.
在△ABM和△DCM中，
①或②
3
直角三角形斜边上的中线
D
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝AC＝8，∠BAD＝∠BCD＝90°.点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN＝______.
3
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，DE，∠ADE＝∠AED，点F，G，H分别是BE，DE，BC的中点．求证：FG＝FH.
13．下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.从中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图所示)．现有下列四种选法，其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
4
正方形的性质与判定
B
14．如图，把含30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AB和CD上，MN与BD交于点O，且点O是MN的中点，则∠AMP的度数是( )
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
C
15．(2023·菏泽)如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF.若∠ABE＝55°，则∠EGC＝_____.
80°
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由．
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
解：(1)DE⊥FG.理由如下：
由题意，得∠A＝∠BDE＝∠GFE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠BDE＋∠BED＝90°，
∴∠GFE＋∠BED＝90°，
∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，
∴CB∥GE，CB＝GE，
∴四边形CBEG是平行四边形．
∵∠GEF＝∠ABC＝90°，
∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，
∴矩形CBEG是正方形．(共16张PPT)
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
1
正方形的判定
1．下列命题中错误的是( )
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线垂直的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
B
2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的点F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
A
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E，连接MC，DE.若不增加任何字母与辅助线，使四边形MECD是正方形，则还需增加的一个条件是_______
_________________.
CD＝
CE(答案不唯一)
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(0,2)．求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(0,2)，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝2，
∴四边形ABCD是矩形．
∵AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形．
5．如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．
2
正方形的性质与判定综合运用
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC，BC的平行线DE，DF.下列结论中错误的是( )
A．AD＝BD
B．FC＝DF
C．∠ACD＝∠BCD
D．四边形DECF是正方形
A
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是正方形．
证明：由正方形的性质可知，OC＝OD，OC⊥OD，再证四边形OCED为平行四边形即可．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AH⊥BC于点H，AH＝CH＝5，则四边形ABCD的面积是( )
A．15
B．20
C．25
D．无法确定
C
9．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列条件：①AC平分∠BCD；②AC⊥BD；③OA＝OC；④OB＝OC；⑤∠BAD＋∠BCD＝180°；⑥AB＝BC.从中任选两个条件，能使 ABCD为正方形的选法有( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．8种
B
10．如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．当四边形ABCD的两条对角线：满足条件_________时，四边形EFGH是菱形；满足条件________时，四边形EFGH是矩形；满足条件__________________时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD
AC⊥BD
AC＝BD，AC⊥BD
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，点D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD.
(2)若点D是AB的中点，则当∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝
∠DFB，∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD.
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.
(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.
∵点D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，易证CE BD.
∵AD＝BD，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，
∴四边形BECD是正方形．
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
证明：(1)如图，过点G作GM⊥BC于点M.
易证△ADE≌△MGH，四边形ABMG为矩形，
∴AD＝MG＝AB，
∴四边形ABCD是正方形．(共10张PPT)
第一章 特殊平行四边形
实践操作一 尺规作图
1．如图，已知△ABC.
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)．
①作线段AC的垂直平分线，交AC于点O；
②连接OB，在BO的延长线上取一点D，使OD＝OB，连接AD，CD.
(2)在(1)的条件下，若AC＝2OB，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
解：(1)如图所示，点O，D即为所求．
(2)四边形ABCD为矩形，理由如下：
∵OB是线段AC的垂直平分线，
∴AO＝OC.
∵AC＝2BO，OD＝OB，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴四边形ABCD为矩形．
2．(1)如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F，使得四边形BDEF为菱形(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)在(1)的菱形BDEF中，若∠FBD＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积．
解：(1)如图所示，点D，E，F即为所求．
3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE.
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线，分别与AB，AE交于点F，G(不写作法和证明，保留作图痕迹)．
(2)在(1)所作的图形中，求证：AE＝DF.
解：(1)如图所示，DF即为所求．
解：(1)如图所示，点C即为所求．(共17张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质与判定的综合运用
1．已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是( )
A．80 B．60
C．40 D．30
1
菱形的面积
C
B
4．若菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为16 cm2，则菱形的周长为______cm.
5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：△AEF是等边三角形．
(2)若AB＝4，求四边形AECF的面积．
2
菱形的性质与判定的综合运用
6．如图，点O既是AB的中点，又是CD的中点，且AB⊥CD，连接AC，BC，AD，BD.若AC＝2，则四边形ACBD的周长是( )
A．6 B．8
C．10 D．无法确定
B
7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长是______cm.
4
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，并交AB于点E，DF∥AB，并交AC于点F.若AF＝6，求四边形AEDF的周长．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EAD＝∠FDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形．
∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24.
D
10．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC.小华依下列方法作图：①作∠C的平分线交AB于点D；②作CD的垂直平分线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( )
A．四边形CEDF为菱形
B．DE＝DA
C．DF⊥CB
D．CD＝BD
A
11．如图，点E，F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20.若BD＝24，则四边形ABCD的面积是________.
72
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形．
(2)若BF⊥CD，AD＝10 cm，AF＝30 cm.
①求BD的长；
②直接写出四边形ABCF的周长．
解：(1)证明：
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，(共17张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质与判定的综合运用
1．若矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的周长是( )
A．28 B．40
C．56 D．48
1
矩形的性质与判定的综合运用
C
2．如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2.若AC＝3 cm，则BD的长是( )
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
C
D
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若OA＝OB，∠OAB＝50°，则∠ODC＝______.
50°
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD.下列条件：①AB＝BE；②BE⊥DC；③∠ADB＝90°；④DE＝CE.其中能使四边形DBCE成为矩形的是______
(填序号)．
①③
6．若四边形ABCD的对角线BD＝AC，且对角线AC与BD互相平分于点O，则四边形ABCD是____形．若∠AOB＝60°，则AB：AC＝__________.
矩
1：2
7．教材P16例3改编如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若OE⊥BD，并交BC于点E，求证：BE＝2CE.
证明：(1)∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵ ABCD是矩形，△AOB是等边三角形，
∴∠OBE＝30°，
∴BE＝2OE.
∵∠EOC＝∠ECO＝30°，
∴OE＝CE，∴BE＝2CE.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是边AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，CD，则线段EF的最小值是( )
A．5
B．4.8
C．4.6
D．4.4
B
9．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC⊥BD，已知AC＝10，BD＝8，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG＝_____.
10．如图，四边形ABCD是一个矩形，在AD，BC上各取一点G，H，使得AG＝AH，CG＝CH，再取AH，CG的中点E，F，连接EG，FH.已知∠BAH＝∠GCD＝30°，GH＝8，则四边形EHFG的面积为________.
11．如图，在 ABCD中，连接BD，点E为边AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形．
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEB＝∠DEF，∴△ABE≌△DFE(ASA)，
∴AB＝DF.
又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．
又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF.
∵∠AFE＋∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°－∠AFE＝90°.(共10张PPT)
第一章 特殊平行四边形
实践操作二 无刻度直尺作图
模型一 利用平行四边形作等线段
条件：E为 ABCD的边AB上一点．
作法：(1)连接AC，BD交于点O；(2)连接EO，
并延长交CD于点F.
结论：DF＝BE，AE＝CF.
请仅用无刻度直尺完成下列作图：
1．如图，点E为 ABCD的边AB的中点，点G为BC上一点．
(1)作CD的中点F.
(2)在AD上作点H，使AH＝CG.
2．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点，在边CD上作点F，使BF＝DE.
模型二 利用轴对称作等线段、对称点
条件：点E为菱形ABCD的边AB上一点．
作法：(1)连接AC，ED交于点O；(2)连接BO，
并延长交AD于点F.
结论：①DF＝BE，AE＝AF；②点E，F关于AC对称.
3.如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点，在AD上作点M，使AM＝AE.
4．如图，点E为菱形AOCB的边OA上一点，在OC上作点M，使OM＝OE.
5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，P分别为CD，BC上一点，连接BD.
(1)作线段AE关于BD的对称线段CF.
(2)作点P关于BD的对称点Q.
解：(1)如图所示，线段CF即为所求．
(2)如图所示，点Q即为所求．
模型三 利用轴对称作等角
条件：线段AB和直线MN.
作法：作点A关于MN的对称点A1，连接A1B交MN于点O.
结论：∠AOM＝∠BON，OA＋OB最短.
6.如图，点E，F分别是菱形ABCD的边CD，AB上一点．
(1)在BD上作点P，使∠BPC＝∠DPE.
(2)在BD上作点Q，使∠BQF＝∠AQD.
解：(1)如图所示，点P即为所求．
(2)如图所示，点Q即为所求．(共19张PPT)
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．如图，四边形OBCD是正方形，若点O，D的坐标分别是(0,0)，(0,6)，则点C的坐标是( )
A．(6,3)
B．(3,6)
C．(0,6)
D．(6,6)
1
正方形的四个角都是直角，四条边相等
D
2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AEC的度数是_____.
45°
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，BE，AF相交于点O，且AE＝DF.求证：
(1)BE＝AF.
(2)BE⊥AF.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADF，BA＝AD.
又∵AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF.
(2)∵△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF.
又∵∠ABE＋∠AEO＝90°，
∴∠DAF＋∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴BE⊥AF.
2
正方形的对角线相等且互相垂直平分
4．正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．对角线互相平行
B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
C
C
45°
7．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，AB上的点，若∠EOF＝90°，求证：△DOE≌△AOF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，
∴DO＝BO，AO＝CO，
且BD＝AC，BD⊥AC，
∴∠AOD＝90°.
∵∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOF＝90°－∠AOE.
D
B
10．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点．若S△ABE＝8，CE＝3，则BE＝______.
5
11．(2023·广州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，且BE＝1，点F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为_____.
12．(2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为点E，F.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH.
证明：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD.
∵GE⊥CD，∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，请说明理由．
(2)AH与EF垂直，理由如下：
如图，连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG＝∠DCG.
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°.
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC.
又∵∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF.
解：(1)证明：如图，过点B作BH⊥EF于
点H，连接BF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠BEF，即BE平分∠AEF，
∴BH＝BA＝BC，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE(HL)，∴AE＝EH.
同理Rt△BFH≌Rt△BFC(HL)，
∴FH＝CF，∴AE＋CF＝EH＋FH＝EF.(共15张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )
A．AB＝AC
B．AB＝CD
C．AC＝BD
D．AB＝AD
1
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD.下列条件中能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
A
3．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF.求证：四边形ABEF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB.
∵AF＝AB，∴BE＝AF.
又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AF＝AB，∴平行四边形ABEF是菱形．
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O.下列说法正确的是( )
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
D
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，且满足AO＝CO.请你添加一个适当的条件_____________________，使四边形ABCD成为菱形．
BO＝DO(答案不唯一)
6．教材P6例2改编如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证： ABCD是菱形．
证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴AB2＝AO2＋BO2，
∴△OAB 是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
3
四边相等的四边形是菱形
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到由△DBC与△ABC拼成的四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的条件是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
8．如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D，依次连接点A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(2)求BD的长．
解：(1)四边形ABCD是菱形．
理由如下：
由题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
∴四边形ABCD是菱形．
9．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形；
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
关于甲、乙两人的作法，下列判断中正确的是( )
A．仅甲正确
B．仅乙正确
C．甲、乙均正确
D．甲、乙均错误
C
10．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______
__________________________________(只需写出一个条件即可)．
AB＝
CD或AD∥BC或OA＝OC或OB＝OD等
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.其中能使四边形BECF是菱形的一个条件是____(填序号)．
③
12．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
(1)求证：AD＝CF.
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
解：(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，
∠DAC＝∠FCA.
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD＝CF.
(2)当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形．
证明如下：由(1)知，AD＝CF.
∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，∴DE∥BC.
∵AC⊥BC，∴DE⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形．(共20张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1
菱形的四条边都相等
B
2．(2023·深圳)如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________.
24
4．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵点E，F分别是CD，AD的中点，
∴DE＝DF.
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴AE＝CF.
2
菱形的对角线互相垂直平分
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列说法中错误的是( )
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
B
6．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上．若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数是______.
64°
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝_______.
8．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，DC上．下列条件中，添加之后不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
C
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E为OB的中点，点F为AD的中点，连接EF，
则EF的长为_______.
10．(2023·绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是____________.
10°或80°
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝CE.
(2)当AD＝5，BD＝6时，求△ACE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵BE＝AB，
∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE.
(2)由(1)知，AD＝BC＝5，BD＝CE＝6，
BD∥CE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴AC⊥CE.
∵BE＝AB，∴AE＝2BC＝10，
13．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E，F在菱形ABCD内部，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：BE＝CF.
(2)若AE＝6，BE＝10，CE＝8，求∠AEC的度数．
解：(1)证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝DA＝AB＝BC，
∠DAC＝∠CAB.
∵DC＝DA，∠D＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝∠CAB＝60°，
∴AC＝AB.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠FAE＝60°，FA＝EA，
∴∠FAE－∠EAC＝∠CAB－∠EAC，
即∠FAC＝∠EAB.
(2)∵BE＝CF，∴CF＝10.
∵CF＝10，EF＝AE＝6，CE＝8，
∴CF2＝EF2＋CE2，∴∠CEF＝90°.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠FEA＝60°，∴∠AEC＝90°＋60°＝150°.(共16张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
1
矩形的性质
B
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠DOC＝120°，AO＝1，则AD的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A
3．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b.若∠1＝60°，则∠2＝_______.
60°
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝_____cm.
2.5
5．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.求证：DE＝AC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠BCD＝90°.
∵BC＝CE，
∴DC是BE的垂直平分线，
∴BD＝DE，∴DE＝AC.
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F.求证：BE＝CF.
证明：先证OB＝OC，
再证△OBE≌△OCF即可．
2
直角三角形斜边上的中线
7．如图，某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处．若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为( )
A．0.5 km
B．0.6 km
C．0.8 km
D．1 km
A
8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝30°，则∠BCD的度数是( )
A．35° B．45°
C．60° D．55°
C
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M，N分别是AC，BD的中点，连接MN.求证：MN⊥BD.
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是( )
A．14 B．16
C．17 D．18
D
11．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝____.
12．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.
(1)求证：DF＝AB.
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF.
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝AE，
∴△ADF≌△EAB(AAS)，
∴DF＝AB.
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，
∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
解：(1)易求∠FBA＝45°，∠ECA＝45°，∠ABC＋
∠ACB＝45°，
∴∠FBC＋∠ECB＝135°.(共17张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
1．在 ABCD中，当∠A＝______ 时，四边形ABCD是矩形．
2．如图，DE∥AB，DF∥AC.若∠B＝50°，则当∠C＝____时，四边形AFDE是矩形．
1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
90°
40°
3．如图，点O是菱形ABCD对角线AC，BD的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形OCED是矩形．
证明：∵CE∥OD，
DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
2
对角线相等的平行四边形是矩形
4．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．AB＝BC
C
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2.若要使 ABCD为矩形，则OB的长是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C
6．如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，DE，BC相交于点O，∠BOD＝2∠A．求证：四边形BECD是矩形．
解：易证BE綊CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠BOD＝2∠A＝2∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD＝OC，∴BC＝DE，
∴四边形BECD是矩形．
3
有三个角是直角的四边形是矩形
7．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形的门框是否为矩形．下列是某学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
8．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°.添加下列条件，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．∠B＝90°
B．∠C＝90°
C．AB∥CD
D．AD＝BC
A
9．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE平分∠CBF，CE⊥BE于点E.求证：四边形BDCE是矩形．
解：∵AB＝BC，
BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC.
又∵BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝90°.
又∵∠E＝90°，
∴四边形BDCE是矩形．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF.若添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是( )
A．AC＝CF
B．∠F＝90°
C．∠B＝∠BCF
D．DE＝EF
A
D
12．如图，在 ABCD中，点E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE.
又∵点E为BC的中点，
∴EC＝EB，
∴在△ABE和△FCE中，
(2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，
∴DC＝CF.
又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形．
∵点E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG.
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
