3.4 函数的应用（一） 单元教学设计

3．4 函数的应用（单元教学设计）
一、【单元目标】
【知识与能力目标】
能利用已知的函数类型解决实际问题，体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．
【过程与方法目标】
能分析实际问题中的变量和变量关系，并会用数学符号语言表达结果，能用已知的函数类型刻画简单实际问题的变化规律．
【情感态度价值观目标】
培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生虽然已经学习了函数的概念与思想方法，同时也熟悉了一次函数、二次函数、幂函数等函数模型，但是在把现实问题抽象为数学问题时，学生比较缺乏经验．因为生活阅历、数学应用的训练不足，学生对实际问题中的各种关系把握不准，导致对函数类型的选择比较盲目．如例1中，将个税税额写成综合收入所得额的函数需要分段表述，难点在于如何将自变量进行分段，当在什么范围内可以使落在相应区间，从而确定税率与速算扣除数，这对学生有较大的挑战性．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约1课时
教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系，且能够根据背景材料，选择恰当的函数模型，解决实际问题．
教学难点：将实际问题抽象为数学问题，找到变量的关系，用恰当的函数类型解决实际问题．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
问题1：面对实际问题，我们需要选择合适的函数类型刻画其中的变化规律．我们学过哪些类型的函数
【破解方法】学生思考后全班交流，教师对学生的回答进行整理、点评．
（1）一次函数：为常数，；
（2）反比例函数：（为常数，）；
（3）二次函数：为常数，；
（4）幂函数：（为常数）．
环节二、抽象概念，内涵辨析
问题2：你能举一个分段函数的例子吗
【破解方法】教师提出问题，学生思考回答，例如，就是一个分段函数．
【例1】设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与教科书3．1．2的例8相同，全年综合所得收人额为（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为（单位：元）．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税
【破解方法】根据3．1．2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式．解析步骤见教材．
问题3：回顾例1的求解过程，总结利用函数模型解决实际问题的基本步骤．
【破解方法】第一步：分析、联想、转化、抽象；
第二步：建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学问题，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把函数模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．
环节三：例题练习，巩固理解
题型一：二次函数模型
【例1】某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．
如果你是企业的决策者，为了使每日获利最大，你会选择哪种补贴方案？为什么？
【解析】（1）由题意知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，
又由，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低，
因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．
（2）若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获得为元，
由题可得
，
因为，所以当时，企业每日获利最大为850元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题可得．
因为，所以当时，企业每日获利最大为850元．
因为两种方案所获最大利润相同，所以选择两种方案均可．
【对点训练1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨．
（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【解析】（1）因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元．
（2）设该工厂年获得总利润为万元，
则．
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为．
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．
题型二：分段函数模型
【例2】为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为6元．通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时， ，
所以．
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元．
综上所述，由于，最大值为15万元．
所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元．
【对点训练2】年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【解析】（1）当时，
，
当时，，
；
（2）若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
题型三：幂函数模型
【例3】党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．

（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【解析】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时．
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．
【对点训练3】果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示．
1 4 9 16
1
（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
（2）已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
与表格中的和相差较大，
所以不适合作为与的函数模型．
②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
刚好与表格中的和相符合，
所以更适合作为与的函数模型．
（2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，
令，则
经计算，当时，取最大值（万元），
即，时（每亩约38棵），利润最大．
题型四：分式型函数模型
【例4】为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法，市场调查发现，某件产品的月销售量m（万件）与广告促销费用x（万元）（）满足：，该产品的单价n与销售量m之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为y万元．
（1）请用x表示y并表示出x的范围；（利润=销售额-成本-广告促销费用）
（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
【解析】（1）由题意，，
又，
所以且．
（2）由（1）知：，
当且仅当时等号成立，
所以，广告促销费用定为万元的时候，该产品的利润最大为万元．
【对点训练4】为了提升住宅品质，便利居民生活娱乐，某房地产开发公司规划在如图所示的住宅区（矩形）的基础上扩建成一个更大规模的商业住宅一体化社区（矩形），要求在上，在上，且对角线过点，已知．

（1）要使矩形的面积大于，则的长度应该在什么范围内？
（2）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
【解析】（1）由题意知，，则，
设，因为，可得，
所以矩形的面积为
要使得矩形的面积大于，可得，
整理得，解得或，
所以或，即或，
所以的长度的取值范围内．
（2）由（1）知，矩形的面积为，
可化为
当且仅当时，即时，等号成立，此时
所以矩形的最小值为．
环节四：小结提升，形成结构
问题4：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）本节课我们用函数模型解决实际问题的步骤是什么
（2）如何将实际问题抽象成数学问题
【破解方法】先由学生带着问题回顾、整理，再让学生发言．在此基础上，教师和学生一起总结，得出结论．
六、【教学成果自我检测】
环节五：目标检测，检验效果
1．某商店进了一匹服装，每件进价为60元．每件售价为90元，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．请写出每天的利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大．
【解析】设售价为元，利润为元，则由题意，
其中，且为正整数，当时，有最大值；
即当售价是90元时，每天的利润最大．
2．今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为．数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上．某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点．秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）．经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元．每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件．
（1）写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）
（2）当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元．
3．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
【解析】（1）由题意得，
当时，，代入上式，得
所以
（2）
，
当且仅当，即时取“=”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为
4．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0．25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示．
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片．设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润 并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金）
【解析】（1）设投入资金（千万元），则生产芯片的毛收入．
将，代入，得，
∴，
生产芯片的毛收入．
（2）由，得；由，得；由，得．
∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大
（3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，
投入千万元资金生产芯片，
∴公司所获利润，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元．
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业：教科书第95页练习第2、3题
【设计意图】巩固本节课所学的知识，提升应用函数模型解决实际问题的能力．
七、【教学反思】