第十三章 轴对称 单元试卷 （含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称
一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
3．下列说法正确的是（ ）
A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形
B．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称
C．等腰三角形的对称轴是顶角的平分线
D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
4．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点， 作直线交于点，连接，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，点在上，点在上，且．若，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
6．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和关于直线对称，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．直线平分
C．和的周长相等
D．和的面积相等
8．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=13:3:2，则∠α的度数为（ ）
A．80° B．100° C．90° D．50°
9．在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
10．如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
11．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的点的坐标是 ．
13．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝ ．
14．如图，等腰三角形ABC中，，，于D，则等于 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 ；满足条件的点C一共有 个．
16．如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度．
17．如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为 ．
三、解答题
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′并写出顶点坐标．
（2）求出△ABC的面积．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点D、E、F．
（1）试说明PD与PE的关系．
（2）请证明PD+PE与BF的关系．
20．如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数．
21．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．
22．数学课上，老师出示了如下框中的题目：
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为3，AE＝5，求CD的长（请你直接写出结果）．
23．如图，是边长为厘米的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．

(1)当运动时间为秒时，的长为________厘米，的长为________厘米；用含的式子表示
(2)当为何值时，是直角三角形；
(3)如图，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C C B B A C
11．或
12．（1，5）．
13．
14．
15． （0，2）（答案不唯一） 5
16．120
17．120°
18．解：（1）
A′（3，2），B′（4，-3），C′（1，﹣1）
（2）S△ABC=3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3
=15﹣﹣3﹣3=
19．解：（1）∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，且BP＝PC，∠BDP＝∠PEC＝90°
∴△BDP≌△CEP（AAS）
∴PD＝PE
（2）PD+PE＝BF
理由如下：如图，连接AP，
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC，
∴AC×BF＝AB×PD+×AC×PE
∴BF＝PD+PE．
20．解：如图，连接，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
是的一个外角，
，
，
，
．
21．
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，
∵BD=CD，BM=EC
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
在△DMN和△DEN中
∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴NM=EN
即NM=CE+CN
∴BM+CN=NM．
22．解：（1）如图1中，结论：AE=BD．
∵△ABC是等边三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
（2）AE＝DB．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°，
∴AE＝AF＝EF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
即BE＝CF，
∵∠ABC＝∠EDB+∠BED，∠ACB＝∠ECB+∠FCE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD，
故答案为：＝．
（3）分为四种情况：
①当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图：
∵AB＝AC＝3，AE＝5，
同（2）可得BD=AE，
∴BD＝AE＝5，
∴CD＝3+5＝8；
②当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，
∴∠AEM=90°-∠B=30°，
∴BM＝BE＝×（3+5）＝4，
∴CM＝BM-BC＝4﹣3＝1，
∵EC=ED，EM⊥CD，
∴CD＝2CM＝2；
③当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图，
∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC＝ED；
④当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图，
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
综上所述：CD的长是8或2．
23．（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，；

当时，
，
，
，
∴
解得 ；
综上所述，当 或 时，为直角三角形．

（3）解：不变，且，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴不会变化．