苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 511.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-21 13:05:55 | ||
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文档简介
苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训
第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”
一、填空题。
1．用丝带捆扎一种礼品盒（如下图），结头处长15cm，要捆扎这种礼品盒至少需准备( )cm的长丝带。
2．将个相同的小正方体拼成一个体积为立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有个面涂红的小正方体有个，则有个面涂红的小正方体有( )个。
3．一个长方体的表面积为52平方厘米，底面积为12平方厘米，宽为3厘米，高为( )厘米。
4．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加( )平方米。
5．如图所示，将一个长方体分割成两个小长方体，如果按下面三种不同的方式分割，表面积分别增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。
6．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。
7．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。
8．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）
9．用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。
10．有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，则原来两杯中共有( )毫升饮料。
二、解答题。
11．下图是从长方体纸箱上撕下的一部分，这个纸箱的棱长和是多少？
12．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）
13．五（2）班要粉刷教室的屋顶和四壁。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗和黑板的面积一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这间教室需要多少元钱？
14．从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，剩下的长方体的表面积是多少平方厘米？
15．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？
16．一个长方体鱼缸，从里面量底面长40厘米，宽3分米，水面与鱼缸口的距离是1.5分米，妈妈买了一块盆景假山（完全浸没）放入后，水面与鱼缸口的距离是0.7分米。这块盆景假山的体积是多少？（可以试着先画图，再解答）
17．一个长方体水箱，长为6分米，宽为4分米，水深5分米，当把一个铁块放入水箱后（铁块完全浸没），水位上升到5.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？
18．一个有盖油箱长1米，宽6分米，高5分米，做这样一个油箱至少用铁皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么这个油箱可装这样的柴油多少千克？
19．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？
20．一个长方体的无盖水族箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m。
（1）这个水族箱占地面积有多大？
（2）现在要在水族箱的各边安上角铁，至少需要多少米的角铁？
（3）需要用多少平方米的玻璃？
（4）它的体积是多少？
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苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训
第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”
一、填空题。
1．用丝带捆扎一种礼品盒（如下图），结头处长15cm，要捆扎这种礼品盒至少需准备( )cm的长丝带。
【答案】215
【分析】观察图形可知，这条丝带的长度等于两条长加两条宽，再加上4条高，最后再加上结头处的长度。据此计算即可。
【详解】30×2＋20×2＋25×4＋15
＝60＋40＋100＋15
＝100＋100＋15
＝200＋15
＝215（cm）
则要捆扎这种礼品盒至少需准备215cm的长丝带。
【点睛】本题考查长方体的棱长的应用，明确丝带的组成是解题的关键。
2．将个相同的小正方体拼成一个体积为立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有个面涂红的小正方体有个，则有个面涂红的小正方体有( )个。
【答案】0
【分析】长方体的体积是32立方厘米，把32写成3个数相乘的形式，找出长、宽、高的所有可能，然后考虑每种情况下有1个面涂红的小正方体的个数。
【详解】长方体的尺寸有：
，，，，五种情况；
要使得2个面涂红的小正方体有24个，只有尺寸为的长方体的表面染色后符合要求；
而在这种情况下，有个面涂红的小正方体有个。
【点睛】对于长宽高都大于等于3的长方体的染色问题，3个面染色，从顶点处找，2个面染色，从棱的中间找，1个面染色，从面的中间找，0个面染色，从长方体的最中间找。
3．一个长方体的表面积为52平方厘米，底面积为12平方厘米，宽为3厘米，高为( )厘米。
【答案】2
【分析】长方体底面是长方形，根据长方形的长＝面积÷宽，求出长方体的长，长方体侧面展开是一个大长方形，大长方形的长＝长方体底面周长，大长方形的宽＝长方体的高，表面积－底面积×2＝前后左右4个面的面积和，再除以底面周长就是长方体的高。
【详解】12÷3＝4（厘米）
（4＋3）×2
＝7×2
＝14（厘米）
（52－12×2）÷14
＝（52－24）÷14
＝28÷14
＝2（厘米）
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积的求法。
4．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加( )平方米。
【答案】54
【分析】把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。
【详解】2×3＝6（个）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方米）
【点睛】本题考查立体图形的切割，明确切一刀增加2个面，进而得出切3刀增加6个面。
5．如图所示，将一个长方体分割成两个小长方体，如果按下面三种不同的方式分割，表面积分别增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】68
【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图一是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图二是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图三是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。
【详解】14＋32＋22
＝46＋22
＝68（平方厘米）
【点睛】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。
6．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。
【答案】 24 28或34
【分析】用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的棱长为2厘米，用正方体的表面积公式求出大大正方体的表面积即可；拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根据长方体的表面积公式求解即可。
【详解】正方体表面积：
2×2×6
＝4×6
＝24（平方厘米）
长方体表面积：
（4×2＋4×1＋2×1）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
（8×1＋8×1＋1×1）×2
＝17×2
＝34（平方厘米）
【点睛】本题考查长方体、正方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体、正方体的表面积公式。
7．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。
【答案】 192 576
【分析】根据题意，长方体的高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体，那么原来长方体的长、宽都是12cm；
增加的表面积是高为4cm的小长方体的4个侧面积之和，每个面是长为12cm、宽为4cm的长方形，求出一个面的面积，再乘4，即可求出增加的表面积；
增加的体积是高为4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出增加的体积。
【详解】12×4×4
＝48×4
＝192（cm2）
12×12×4
＝144×4
＝576（cm3）
表面积增加了192cm2，体积增加了576cm3。
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得出长方体的长、宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。
8．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）
【答案】 22000 5800
【分析】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40cm，宽30cm，高20cm的长方体里挖去了一个长10cm，宽10cm，高20cm的长方体（如下图）。
根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。
先求出外面大长方体的表面积，再求出边长10cm的正方形的面积，再求出里面小长方体的4个侧面的面积和，最后用大长方体的表面积－2个边长10cm的正方形的面积＋里面小长方体的4个侧面的面积和，即可求出这个零件的表面积。
【详解】40×30×20－10×10×20
＝24000－2000
＝22000（cm3）
（40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4
＝（1200＋800＋600）×2－200＋800
＝2600×2－200＋800
＝5200－200＋800
＝5000＋800
＝5800（cm2）
所以这个空心零件的体积是22000cm3，表面积是5800cm2。
【点睛】解决此题关键是根据三视图确定几何体的形状。
9．用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。
【答案】 108 600 486
【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出这个铁丝的长度；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体的体积。
如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出这个正方体框架的表面积。
【详解】长方体的棱长总和：
（12＋10＋5）×4
＝27×4
＝108（cm）
长方体的体积：
12×10×5
＝120×5
＝600（cm3）
正方体的棱长：
108÷12＝9（cm）
正方体的表面积：
9×9×6
＝81×6
＝486（cm2）
至少需要铁丝108cm，这个长方体的体积是600cm3，这个正方体框架的表面积是486cm2。
【点睛】本题考查长方体棱长总和、正方体棱长总和、长方体体积、正方体表面积公式的灵活运用，明确用同一根铁丝围成长方体或正方体框架，那么铁丝的长度等于长方体或正方体的棱长总和。
10．有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，则原来两杯中共有( )毫升饮料。
【答案】315
【分析】观察题意可知，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，两杯剩下的差不变，已知第一杯剩下的是第二杯的2倍，则第一杯剩下的比第二杯多1倍，用85÷（2－1）即可求出第二杯剩下的量，再乘2即可求出第一杯剩下的量，然后将两杯剩下的量分别加上30毫升，即可求出两杯原来各自的量，最后相加即可。
【详解】第二杯剩下的量：85÷（2－1）
＝85÷1
＝85（毫升）
第一杯剩下的量：85×2＝170（毫升）
第一杯原来的量：170＋30＝200（毫升）
第二杯原来的量：85＋30＝115（毫升）
总共：200＋115＝315（毫升）
原来两杯中共有315毫升饮料。
【点睛】本题主要考查了差倍问题的应用，关键是抓出差不变。
二、解答题。
11．下图是从长方体纸箱上撕下的一部分，这个纸箱的棱长和是多少？
【答案】52（分米）
【分析】通过图中数据，可以得到3中不同长度得棱长，分别时3分米、4分米、6分米，就说明它们就是长、宽、高。利用长方体棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，进行代入即可
【详解】（3＋4＋6）×4
＝＝13×4
＝52（分米）
答：这个纸箱的棱长和时52分米。
【点睛】此题主要考查长方体棱长和公式：（长＋宽＋高）×4。
12．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）
【答案】112平方厘米
【分析】观察这个近似长方体的硅胶手机外壳，长为60毫米，宽为10毫米，高为125毫米，这个长方体缺少一个正面，根据长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h＋b×h×2，先统一单位，再代入到公式中，即可得解。
【详解】60毫米＝6厘米
10毫米＝1厘米
125毫米＝12.5厘米
6×1×2＋6×12.5＋1×12.5×2
＝12＋75＋25
＝112（平方厘米）
答：大约需要112平方厘米的硅胶。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。
13．五（2）班要粉刷教室的屋顶和四壁。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗和黑板的面积一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这间教室需要多少元钱？
【答案】720元
【分析】粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板面积，粉刷面积×每平方米费用即可。
【详解】（8×6＋8×3×2＋6×3×2－12）×6
＝（48＋48＋36－12）×6
＝120×6
＝720（元）
答：粉刷这间教室需要720元钱。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。
14．从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，剩下的长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】208平方厘米
【分析】由题意可知，从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，则正方体的棱长相当于长方体的宽，则剩下的长方体的表面积＝原来长方体的表面积－正方体的四个面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
【详解】（15×4＋15×4＋4×4）×2－4×4×4
＝（60＋60＋16）×2－64
＝136×2－64
＝272－64
＝208（平方厘米）
答：剩下的长方体的表面积是208平方厘米。
【点睛】本题考查长方体和正方体的表面积，明确正方体的棱长相当于长方体的宽是解题的关键。
15．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？
【答案】600立方厘米
【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。
【详解】10－4＝6（厘米）
10×10×6＝600（立方厘米）
答：这个长方体的体积是600立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。
16．一个长方体鱼缸，从里面量底面长40厘米，宽3分米，水面与鱼缸口的距离是1.5分米，妈妈买了一块盆景假山（完全浸没）放入后，水面与鱼缸口的距离是0.7分米。这块盆景假山的体积是多少？（可以试着先画图，再解答）
【答案】画图见详解；9600立方厘米
【分析】由题意可知：水面上升的那部分水的体积就是放入的盆景假山的体积。先用原来水面与鱼缸口的距离减去放入假山后水面与鱼缸口的距离，求出水面上升的高度；再用容器的长×宽×水面上升的高度即可求出这块盆景假山的体积。
【详解】画图如下：
3分米＝30厘米
1.5分米＝15厘米
0.7分米＝7厘米
40×30×（15－7）
＝40×30×8
＝1200×8
＝9600（立方厘米）
答：这块盆景假山的体积是9600立方厘米。
【点睛】用排水法求不规则物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度是解题的关键。
17．一个长方体水箱，长为6分米，宽为4分米，水深5分米，当把一个铁块放入水箱后（铁块完全浸没），水位上升到5.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？
【答案】12立方分米
【分析】铁块完全浸没在水里后，铁块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为6分米，宽为4分米，高为（5.5－5）分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。
【详解】6×4×（5.5－5）
＝24×0.5
＝12（立方分米）
答：这个铁块的体积是12立方分米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。
18．一个有盖油箱长1米，宽6分米，高5分米，做这样一个油箱至少用铁皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么这个油箱可装这样的柴油多少千克？
【答案】（1）280平方分米；
（2）246千克
【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长方体油箱的长、宽、高的数据代入长方体表面积公式计算，可求出做这样一个油箱所用铁皮的面积。
（2）长方体的体积（容积）＝长×宽×高，把长方体油箱长、宽、高的数据代入公式计算，先求出这个油箱的容积；再用油箱的容积乘1升柴油的质量，求出这个油箱可装柴油的质量。
【详解】1米＝10分米
（1）（10×6＋10×5＋6×5）×2
＝（60＋50＋30）×2
＝140×2
＝280（平方分米）
答：做这样一个油箱至少用铁皮280平方分米。
（2）10×6×5
＝60×5
＝300（立方分米）
300立方分米＝300升
300×0.82＝246（千克）
答：这个油箱可装这样的柴油246千克。
【点睛】此题考查了长方体的表面积、容积计算公式。
19．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？
【答案】立方厘米
【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。
【详解】由分析可知，长×高＋长×宽＝209，
长×（高＋宽）＝209，
209＝19×11，
要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19
11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数，
所以，宽＋高＝19符合要求，
19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数，
宽、高分别为2厘米、17厘米，
209÷19＝11（厘米）
所以，这个长方体的长是11厘米。
体积：11×17×2
＝187×2
＝374（立方厘米）
答：这个长方体的体积是374立方厘米。
【点睛】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。
20．一个长方体的无盖水族箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m。
（1）这个水族箱占地面积有多大？
（2）现在要在水族箱的各边安上角铁，至少需要多少米的角铁？
（3）需要用多少平方米的玻璃？
（4）它的体积是多少？
【答案】（1）3.6平方米
（2）32.4米
（3）23.4平方米
（4）5.4立方米
【分析】（1）求水族箱占地面积就是求水族箱的底面面积，首先，要进行单位换算：60厘米＝0.6米，然后根据长方体的长×长方体的宽＝长方体的底面面积，求得长方体的底面面积。
（2）给水族箱的各边安上角铁是求长方体水族箱的棱长和，根据（长方体的高＋长方体的宽＋长方体的长）×4＝长方体的棱长和，求得长方体的棱长和。
（3）求需要用多少平方米的玻璃就是求长方体水族箱的表面积，题中知长方体无盖，即只求长方体水族箱5个面的面积之和，根据长方体的长×长方体的宽＋长方体的长×长方体的高×2＋长方体的宽×长方体的高×2＝无盖长方体的表面积，求得无盖长方体的表面积。
（4）根据长方体的长×长方体的宽×长方体的高＝长方体的体积，求得长方体的体积。
【详解】（1）60厘米＝0.6米
6×0.6＝3.6（平方米）
答：这个水族箱占地面积是3.6平方米。
（2）（1.5＋0.6＋6）×4
＝8.1×4
＝32.4（米）
答：要在水族箱的各边安上角铁，至少需要32.4米的角铁。
（3）6×0.6＋6×1.5×2＋0.6×1.5×2
＝3.6＋18＋1.8
＝23.4（平方米）
答：需要用23.4平方米的玻璃。
（4）6×0.6×1.5
＝3.6×1.5
＝5.4（立方米）
答：它的体积是5.4立方米。
【点睛】本题考查了长方体表面积和体积公式在解决问题中的实际应用，做题时要注意审题，发现题中单位名称不统一，一定要先统一单位名称再计算。
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第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”
一、填空题。
1．用丝带捆扎一种礼品盒（如下图），结头处长15cm，要捆扎这种礼品盒至少需准备( )cm的长丝带。
2．将个相同的小正方体拼成一个体积为立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有个面涂红的小正方体有个，则有个面涂红的小正方体有( )个。
3．一个长方体的表面积为52平方厘米，底面积为12平方厘米，宽为3厘米，高为( )厘米。
4．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加( )平方米。
5．如图所示，将一个长方体分割成两个小长方体，如果按下面三种不同的方式分割，表面积分别增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。
6．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。
7．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。
8．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）
9．用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。
10．有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，则原来两杯中共有( )毫升饮料。
二、解答题。
11．下图是从长方体纸箱上撕下的一部分，这个纸箱的棱长和是多少？
12．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）
13．五（2）班要粉刷教室的屋顶和四壁。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗和黑板的面积一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这间教室需要多少元钱？
14．从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，剩下的长方体的表面积是多少平方厘米？
15．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？
16．一个长方体鱼缸，从里面量底面长40厘米，宽3分米，水面与鱼缸口的距离是1.5分米，妈妈买了一块盆景假山（完全浸没）放入后，水面与鱼缸口的距离是0.7分米。这块盆景假山的体积是多少？（可以试着先画图，再解答）
17．一个长方体水箱，长为6分米，宽为4分米，水深5分米，当把一个铁块放入水箱后（铁块完全浸没），水位上升到5.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？
18．一个有盖油箱长1米，宽6分米，高5分米，做这样一个油箱至少用铁皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么这个油箱可装这样的柴油多少千克？
19．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？
20．一个长方体的无盖水族箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m。
（1）这个水族箱占地面积有多大？
（2）现在要在水族箱的各边安上角铁，至少需要多少米的角铁？
（3）需要用多少平方米的玻璃？
（4）它的体积是多少？
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苏教版2024-2025学年六年级数学上册强化特训
第一单元专练篇·15：长方体和正方体应用综合“拓展版”
一、填空题。
1．用丝带捆扎一种礼品盒（如下图），结头处长15cm，要捆扎这种礼品盒至少需准备( )cm的长丝带。
【答案】215
【分析】观察图形可知，这条丝带的长度等于两条长加两条宽，再加上4条高，最后再加上结头处的长度。据此计算即可。
【详解】30×2＋20×2＋25×4＋15
＝60＋40＋100＋15
＝100＋100＋15
＝200＋15
＝215（cm）
则要捆扎这种礼品盒至少需准备215cm的长丝带。
【点睛】本题考查长方体的棱长的应用，明确丝带的组成是解题的关键。
2．将个相同的小正方体拼成一个体积为立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有个面涂红的小正方体有个，则有个面涂红的小正方体有( )个。
【答案】0
【分析】长方体的体积是32立方厘米，把32写成3个数相乘的形式，找出长、宽、高的所有可能，然后考虑每种情况下有1个面涂红的小正方体的个数。
【详解】长方体的尺寸有：
，，，，五种情况；
要使得2个面涂红的小正方体有24个，只有尺寸为的长方体的表面染色后符合要求；
而在这种情况下，有个面涂红的小正方体有个。
【点睛】对于长宽高都大于等于3的长方体的染色问题，3个面染色，从顶点处找，2个面染色，从棱的中间找，1个面染色，从面的中间找，0个面染色，从长方体的最中间找。
3．一个长方体的表面积为52平方厘米，底面积为12平方厘米，宽为3厘米，高为( )厘米。
【答案】2
【分析】长方体底面是长方形，根据长方形的长＝面积÷宽，求出长方体的长，长方体侧面展开是一个大长方形，大长方形的长＝长方体底面周长，大长方形的宽＝长方体的高，表面积－底面积×2＝前后左右4个面的面积和，再除以底面周长就是长方体的高。
【详解】12÷3＝4（厘米）
（4＋3）×2
＝7×2
＝14（厘米）
（52－12×2）÷14
＝（52－24）÷14
＝28÷14
＝2（厘米）
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积的求法。
4．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加( )平方米。
【答案】54
【分析】把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。
【详解】2×3＝6（个）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方米）
【点睛】本题考查立体图形的切割，明确切一刀增加2个面，进而得出切3刀增加6个面。
5．如图所示，将一个长方体分割成两个小长方体，如果按下面三种不同的方式分割，表面积分别增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】68
【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图一是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图二是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图三是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。
【详解】14＋32＋22
＝46＋22
＝68（平方厘米）
【点睛】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。
6．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。
【答案】 24 28或34
【分析】用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的棱长为2厘米，用正方体的表面积公式求出大大正方体的表面积即可；拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根据长方体的表面积公式求解即可。
【详解】正方体表面积：
2×2×6
＝4×6
＝24（平方厘米）
长方体表面积：
（4×2＋4×1＋2×1）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
（8×1＋8×1＋1×1）×2
＝17×2
＝34（平方厘米）
【点睛】本题考查长方体、正方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体、正方体的表面积公式。
7．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。
【答案】 192 576
【分析】根据题意，长方体的高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体，那么原来长方体的长、宽都是12cm；
增加的表面积是高为4cm的小长方体的4个侧面积之和，每个面是长为12cm、宽为4cm的长方形，求出一个面的面积，再乘4，即可求出增加的表面积；
增加的体积是高为4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出增加的体积。
【详解】12×4×4
＝48×4
＝192（cm2）
12×12×4
＝144×4
＝576（cm3）
表面积增加了192cm2，体积增加了576cm3。
【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得出长方体的长、宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。
8．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）
【答案】 22000 5800
【分析】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40cm，宽30cm，高20cm的长方体里挖去了一个长10cm，宽10cm，高20cm的长方体（如下图）。
根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。
先求出外面大长方体的表面积，再求出边长10cm的正方形的面积，再求出里面小长方体的4个侧面的面积和，最后用大长方体的表面积－2个边长10cm的正方形的面积＋里面小长方体的4个侧面的面积和，即可求出这个零件的表面积。
【详解】40×30×20－10×10×20
＝24000－2000
＝22000（cm3）
（40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4
＝（1200＋800＋600）×2－200＋800
＝2600×2－200＋800
＝5200－200＋800
＝5000＋800
＝5800（cm2）
所以这个空心零件的体积是22000cm3，表面积是5800cm2。
【点睛】解决此题关键是根据三视图确定几何体的形状。
9．用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。
【答案】 108 600 486
【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出这个铁丝的长度；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体的体积。
如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出这个正方体框架的表面积。
【详解】长方体的棱长总和：
（12＋10＋5）×4
＝27×4
＝108（cm）
长方体的体积：
12×10×5
＝120×5
＝600（cm3）
正方体的棱长：
108÷12＝9（cm）
正方体的表面积：
9×9×6
＝81×6
＝486（cm2）
至少需要铁丝108cm，这个长方体的体积是600cm3，这个正方体框架的表面积是486cm2。
【点睛】本题考查长方体棱长总和、正方体棱长总和、长方体体积、正方体表面积公式的灵活运用，明确用同一根铁丝围成长方体或正方体框架，那么铁丝的长度等于长方体或正方体的棱长总和。
10．有两杯饮料，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，则原来两杯中共有( )毫升饮料。
【答案】315
【分析】观察题意可知，第一杯比第一杯多85毫升，两杯同时倒掉30毫升后，两杯剩下的差不变，已知第一杯剩下的是第二杯的2倍，则第一杯剩下的比第二杯多1倍，用85÷（2－1）即可求出第二杯剩下的量，再乘2即可求出第一杯剩下的量，然后将两杯剩下的量分别加上30毫升，即可求出两杯原来各自的量，最后相加即可。
【详解】第二杯剩下的量：85÷（2－1）
＝85÷1
＝85（毫升）
第一杯剩下的量：85×2＝170（毫升）
第一杯原来的量：170＋30＝200（毫升）
第二杯原来的量：85＋30＝115（毫升）
总共：200＋115＝315（毫升）
原来两杯中共有315毫升饮料。
【点睛】本题主要考查了差倍问题的应用，关键是抓出差不变。
二、解答题。
11．下图是从长方体纸箱上撕下的一部分，这个纸箱的棱长和是多少？
【答案】52（分米）
【分析】通过图中数据，可以得到3中不同长度得棱长，分别时3分米、4分米、6分米，就说明它们就是长、宽、高。利用长方体棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，进行代入即可
【详解】（3＋4＋6）×4
＝＝13×4
＝52（分米）
答：这个纸箱的棱长和时52分米。
【点睛】此题主要考查长方体棱长和公式：（长＋宽＋高）×4。
12．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）
【答案】112平方厘米
【分析】观察这个近似长方体的硅胶手机外壳，长为60毫米，宽为10毫米，高为125毫米，这个长方体缺少一个正面，根据长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h＋b×h×2，先统一单位，再代入到公式中，即可得解。
【详解】60毫米＝6厘米
10毫米＝1厘米
125毫米＝12.5厘米
6×1×2＋6×12.5＋1×12.5×2
＝12＋75＋25
＝112（平方厘米）
答：大约需要112平方厘米的硅胶。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。
13．五（2）班要粉刷教室的屋顶和四壁。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗和黑板的面积一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这间教室需要多少元钱？
【答案】720元
【分析】粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板面积，粉刷面积×每平方米费用即可。
【详解】（8×6＋8×3×2＋6×3×2－12）×6
＝（48＋48＋36－12）×6
＝120×6
＝720（元）
答：粉刷这间教室需要720元钱。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。
14．从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，剩下的长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】208平方厘米
【分析】由题意可知，从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体，则正方体的棱长相当于长方体的宽，则剩下的长方体的表面积＝原来长方体的表面积－正方体的四个面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
【详解】（15×4＋15×4＋4×4）×2－4×4×4
＝（60＋60＋16）×2－64
＝136×2－64
＝272－64
＝208（平方厘米）
答：剩下的长方体的表面积是208平方厘米。
【点睛】本题考查长方体和正方体的表面积，明确正方体的棱长相当于长方体的宽是解题的关键。
15．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？
【答案】600立方厘米
【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。
【详解】10－4＝6（厘米）
10×10×6＝600（立方厘米）
答：这个长方体的体积是600立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。
16．一个长方体鱼缸，从里面量底面长40厘米，宽3分米，水面与鱼缸口的距离是1.5分米，妈妈买了一块盆景假山（完全浸没）放入后，水面与鱼缸口的距离是0.7分米。这块盆景假山的体积是多少？（可以试着先画图，再解答）
【答案】画图见详解；9600立方厘米
【分析】由题意可知：水面上升的那部分水的体积就是放入的盆景假山的体积。先用原来水面与鱼缸口的距离减去放入假山后水面与鱼缸口的距离，求出水面上升的高度；再用容器的长×宽×水面上升的高度即可求出这块盆景假山的体积。
【详解】画图如下：
3分米＝30厘米
1.5分米＝15厘米
0.7分米＝7厘米
40×30×（15－7）
＝40×30×8
＝1200×8
＝9600（立方厘米）
答：这块盆景假山的体积是9600立方厘米。
【点睛】用排水法求不规则物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度是解题的关键。
17．一个长方体水箱，长为6分米，宽为4分米，水深5分米，当把一个铁块放入水箱后（铁块完全浸没），水位上升到5.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？
【答案】12立方分米
【分析】铁块完全浸没在水里后，铁块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为6分米，宽为4分米，高为（5.5－5）分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。
【详解】6×4×（5.5－5）
＝24×0.5
＝12（立方分米）
答：这个铁块的体积是12立方分米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。
18．一个有盖油箱长1米，宽6分米，高5分米，做这样一个油箱至少用铁皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么这个油箱可装这样的柴油多少千克？
【答案】（1）280平方分米；
（2）246千克
【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长方体油箱的长、宽、高的数据代入长方体表面积公式计算，可求出做这样一个油箱所用铁皮的面积。
（2）长方体的体积（容积）＝长×宽×高，把长方体油箱长、宽、高的数据代入公式计算，先求出这个油箱的容积；再用油箱的容积乘1升柴油的质量，求出这个油箱可装柴油的质量。
【详解】1米＝10分米
（1）（10×6＋10×5＋6×5）×2
＝（60＋50＋30）×2
＝140×2
＝280（平方分米）
答：做这样一个油箱至少用铁皮280平方分米。
（2）10×6×5
＝60×5
＝300（立方分米）
300立方分米＝300升
300×0.82＝246（千克）
答：这个油箱可装这样的柴油246千克。
【点睛】此题考查了长方体的表面积、容积计算公式。
19．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？
【答案】立方厘米
【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。
【详解】由分析可知，长×高＋长×宽＝209，
长×（高＋宽）＝209，
209＝19×11，
要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19
11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数，
所以，宽＋高＝19符合要求，
19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数，
宽、高分别为2厘米、17厘米，
209÷19＝11（厘米）
所以，这个长方体的长是11厘米。
体积：11×17×2
＝187×2
＝374（立方厘米）
答：这个长方体的体积是374立方厘米。
【点睛】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。
20．一个长方体的无盖水族箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m。
（1）这个水族箱占地面积有多大？
（2）现在要在水族箱的各边安上角铁，至少需要多少米的角铁？
（3）需要用多少平方米的玻璃？
（4）它的体积是多少？
【答案】（1）3.6平方米
（2）32.4米
（3）23.4平方米
（4）5.4立方米
【分析】（1）求水族箱占地面积就是求水族箱的底面面积，首先，要进行单位换算：60厘米＝0.6米，然后根据长方体的长×长方体的宽＝长方体的底面面积，求得长方体的底面面积。
（2）给水族箱的各边安上角铁是求长方体水族箱的棱长和，根据（长方体的高＋长方体的宽＋长方体的长）×4＝长方体的棱长和，求得长方体的棱长和。
（3）求需要用多少平方米的玻璃就是求长方体水族箱的表面积，题中知长方体无盖，即只求长方体水族箱5个面的面积之和，根据长方体的长×长方体的宽＋长方体的长×长方体的高×2＋长方体的宽×长方体的高×2＝无盖长方体的表面积，求得无盖长方体的表面积。
（4）根据长方体的长×长方体的宽×长方体的高＝长方体的体积，求得长方体的体积。
【详解】（1）60厘米＝0.6米
6×0.6＝3.6（平方米）
答：这个水族箱占地面积是3.6平方米。
（2）（1.5＋0.6＋6）×4
＝8.1×4
＝32.4（米）
答：要在水族箱的各边安上角铁，至少需要32.4米的角铁。
（3）6×0.6＋6×1.5×2＋0.6×1.5×2
＝3.6＋18＋1.8
＝23.4（平方米）
答：需要用23.4平方米的玻璃。
（4）6×0.6×1.5
＝3.6×1.5
＝5.4（立方米）
答：它的体积是5.4立方米。
【点睛】本题考查了长方体表面积和体积公式在解决问题中的实际应用，做题时要注意审题，发现题中单位名称不统一，一定要先统一单位名称再计算。
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