3.2 函数的基本性质——奇偶性 教学设计

函数的基本性质——奇偶性
一、教学目标与内容
教学目标：
知识与技能：学生能够理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，并能利用奇偶性解决相关问题。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力，以及数形结合的思想。
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神，以及用数学眼光观察世界的意识。
重难点：
1.从具体函数实例中抽象出奇偶性的概念。
2.通过分析函数图像和表达式，推理判断函数的奇偶性。
3.直观想象：利用函数图像直观感受奇偶性的几何特征。
二、教学准备
教具与媒体：多媒体教学设备、几何画板软件、函数图像示例图。
教学资源：课本、教学PPT、习题集。
三、教学过程
1. 情境导入
思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，比如说有和谐美、自然美、对称美……。而今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：蝴蝶、建筑物、剪纸）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以蝴蝶的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
2. 新知讲授
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.
推进新课
新知探究
提出问题
问题1：如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象有什么共同特征？.
图1-3-2-1
填写表1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2
f(x)=2|x|
表1
问题2：相应的两个函数值对应表是如何体现这一特征的呢？
活动：教师从以下几点引导学生:
①通过观察自变量取值互为相反数所对应的函数值得到数量相等的关系；
②引发学生思考整个定义域上任意x与-x所对应的函数值的数量关系式；
③最终引导学生给出偶函数的定义。
定义：一般地，如果函数在整个定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x) 就叫做偶函数。
概念理解：1）在整个定义域内，不是局部，跟单调性讨论范围有区别；
2）任意一个x
3）数量关系相等性，即f(-x)=f(x)。
④引导学生从形的角度去发现偶函数图像的性质：
偶函数是函数的整体性质；
偶函数的定义域关于原点对称；
f(-x)= f(x)或f(x) - f(-x)=0；
一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
问题3：初中所学的函数中你能举偶函数的例子吗？（引导学生思考排除一次函数和反比例函数（从图像上），得出有些二次函数是偶函数但有些不是。那能不能总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在满足啥条件就是偶函数呢？
结论：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴x=-b/2a=0，即b=0二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数。
例1：已知函数f(x)=2x2-(k-1)x+1是偶函数，则k的值为多少？
变式：已知函数f(x)=(k+2)x2-x+1是偶函数，则k的值为多少？
问题4：观察教材P83页探究中函数f(x)=x和f(x)=的图象有何共同特征？（图3.2-8），通过完成表2观察出什么共同特征？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x
f(x)=
表2
活动：教师从以下几点引导学生:
①通过从表3和表4，观察自变量取值互为相反数所对应的函数值得到数量相等的关系；
②引发学生思考整个定义域上任意x与-x所对应的函数值的数量关系式；
③最终引导学生给出奇函数的定义。
定义：一般地，如果函数在整个定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x),那么函数f(x) 就叫做奇函数。
概念理解：1）在整个定义域内，不是局部；
2）任意一个x；
3）数量关系相等性，即f(-x)= - f(x)。
④引导学生从形的角度去发现奇函数图像的性质：
奇函数是函数的整体性质；
奇函数的定义域关于原点对称；
f(-x)= - f(x)或f(-x)+ f(x)=0；
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称
问题5：初中所学的函数中所有一次函数和反比例函数均是奇函数吗？那能不能总结一次函数y=kx+b(k≠0)在满足啥条件就是奇函数呢？
结论：已知一次函数y=kx+b(k≠0)，b=0一次函数y=kx+b(k≠0)为奇函数。
反比例函数均是奇函数。
例2：已知函数f(x)=x+k-1是奇函数，则k的值为多少？
已知函数f(x)=+k+1是奇函数，则k的值为多少？
注意：奇函数、偶函数在x=0处的定义
若奇函数f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义有f(－0)=－f(0)，可得f(0)=0，偶函数则不一定.
例3： 画出函数的图像，并判断该函数是否为奇函数？
（通过图像可知，当x=0时，无对称点。）
发现：有些函数既不是奇函数也不是偶函数，就称此类函数不具有奇偶性。
若一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则称该函数非奇非偶函数。
同理也存在既是奇函数也是偶函数的函数，比如f(x)=0.
问题6.定义域不关于原点对称，请问这类函数能是奇函数或偶函数吗？
（通过列举例子，比如分段函数，及上述例3）
得出结论：
定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数。
问题7.若函数定义域关于原点对称，则该函数一定是奇函数或偶函数吗？
必须判断定义域内任意x与-x 对应的函数值f(x)与f(-x)的关系。
问题8：判断一个函数是否为奇函数或偶函数有什么方法呢？
结论：判断函数奇偶性的两个方法
方法一、图象法：利用奇、偶函数图象的对称性来判断。
方法二、定义法：利用函数奇偶性的定义判断，其步骤如下：
第一步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；
第二步：算出f(-x)后判断与f(x)的关系；
第三步：下结论。
例4（教材P84 例6）判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=x4； （2）f(x)=x5；
（3）f(x)=x+； （4）f(x)=.
活动：引导学生利用奇偶函数的定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
问题9：（教材P85）已知函数f(x)=x3+x,
判断函数f(x)的奇偶性；
图3.2-9是函数f(x)=x3+x图像的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图像；
一般地，如果知道y=f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
分析：利用判断函数奇偶性的方法步骤解决；再结合奇（偶）函数的图像性质，可以知道定义域中关于原点对称的一边函数解析式或图像即可解决另一对称区间的解析式和图像。
四、作业布置 作业练习单 必做题 A组 选做题 B组
五、教学反思
本节课通过情境导入、新知讲授、探究学习、巩固练习和总结提升等环节，系统地介绍了函数奇偶性的概念和判断方法。在教学过程中，注重培养学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象等核心素养，通过分组讨论和动手实践等方式激发学生的学习兴趣和探究欲望。同时，也注意到学生在解题过程中存在的共性问题和个体差异，及时调整教学策略和方法，以确保教学效果的最大化。未来教学中，可以进一步拓展奇偶性的应用场景，如与现实生活问题的联系，以加深学生对奇偶性概念的理解和应用能力。