学情分析
学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识。初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。他们现在需要用强烈的荣誉感、成功感来激发学习热情，目前学生们已初步形成合作交流、勇于探索、敢于置疑的良好学风，学生间相互评价、相互学习、相互竞争的学习氛围较浓。
效果分析
本节课通过对等腰三角形叠合操作引出等腰三角形是轴对称图形，进而得到等腰三角形的性质1：等边对等角，这种操作有利于学生发现等腰三角形性质的证明，给出三种不同的辅助线，是用来培养学生的发散思维能力；在教学过程中，我设计了8个教学活动，体现了学生的学习是在一系列数学活动中完成的，同时，由于多种原因，出现了以下的不足：
学生准备不充分，操作部分占了大量时间，致使教学过程时间有点紧
学生互动较多，但时间不很充分，独立思考时间较少
内容量有点偏大
应补讲的内容有【拓展】
a.辅助线的添设（合理选择三线 如图附1；构造等腰三角形）
b.完整的几何图形的探索过程应包含的步骤
c.性质2的完整证明
附：
已知：如图附1 ，⊿ABC中，AB=AC,AD=AE,
求证：BD=EC
（本体可验证三条不同辅助线连接，带来的不同结果，
强调辅助线的添设合理，应根据实际题的要求选择）
《等腰三角形（第1课时）》教学设计
王春雪
【教学目标】
1、知识与技能
经历观察实验、猜想证明，知道等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质，并能初步运用它们进行简单的计算和证明。
2、过程与方法
（1）经历剪、折等腰三角形的过程，探索等腰三角形的性质，培养学生动手操作的能力和探究归纳的能力；
（2）通过运用等腰三角形的性质解决实际问题，发展学生合情推理能力和演绎推理能力，培养学生的数学应用意识。
3、情感态度与价值观
（1）通过设疑、欣赏图片激发兴趣，培养学生对数学的好奇心；
（2）强化数学分类讨论的思想；
（3）体验数学来源于生活又服务于生活。
【教学重点与难点】
教学重点：等腰三角形性质的发现，证明，应用。
教学难点：等腰三角形性质2“三线合一”的发现，证明，应用。
【教学过程】
自主学习任务单：
1、学具准备：硬纸、剪刀。
2、思考：如何利用长方形纸片剪出一个等腰三角形，
你对等腰三角形都有哪些认识？
3、等腰三角形性质定理的得出需要经历一个什么样的过程呢？
（要求在学生自主先学的过程中，记录下自己的困惑。）
一、创设情景、引入课题
教师向学生出示几张精美的建筑物图片。
师：同学们观看这一组图片，欣赏图片后有什么发现？
（学生很容易看出，这些图片都是等腰三角形在日常生活中应用的例子。）
师：你还能举出一些等腰三角形在日常生活中应用的其他例子吗？
（学生举例）
师：等腰三角形在日常生活中为什么能应用的如此广泛呢？它到底具有哪些性质？今天就让我们一起走进等腰三角形的世界，探索其中的奥秘。
（板书课题：等腰三角形）
设计目的：从学生的主观印象出发，用生活实例吸引学生的注意，设置疑问，激发学生的学习兴趣，同时也可以让学生感受到数学与生活的密切联系，生活中处处有数学。
二、动手操作，得出概念，归纳性质
活动1：折一折，剪一剪
要求：每个同学拿出一张长方形纸，把它对折，请你通过折一折、剪一剪等活动，
制作出一个等腰三角形。
教师参与，并作个别指导，及时肯定学生的劳动成果。
师：结合自己的作品。谈谈你对等腰三角形有哪些认识？
（引导学生在所剪出的等腰三角形上标注字母展示自己的想法。）
预设1: 学生说出等腰三角形的定义
预设2：指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
教师引导、鼓励，通过学生的补充，归纳出等腰三角形的相关概念。
设计目的：1、学生动手操作，自己剪出等腰三角形，给学生操作的机会.让学生从现实生活中发现数学问题，从实物形象中得到等腰三角形的几何图形，建立直观形象的数学模型，激发学习兴趣和探究欲望。
2、这个剪三角形的过程也保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴，这也为后面发现等腰三角形的性质作准备。
活动2：观察发现、猜想性质
任务要求：请你仔细观察刚才剪出的等腰三角形，大胆猜想，等腰三角形有哪些性质？
（独立思考2分钟后，进行小组合作）
教师归纳、整理小组的发言：
猜想1.等腰三角形的两个底角相等。
受剪出等腰三角形过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。
通过对折等腰三角形纸片，给学生观察的机会。
通过观察重合的线段、重合的角，引导学生得出等腰三角形 “等边对等角”的性质。
活动3.证明猜想、得出性质
教师提出问题：这是我们观察、实验得到的结果，你能证明它吗？
思考：猜想1中的条件和结论分别是什么？
怎样用数学符号表示条件和结论？
学生分析猜想1的条件和结论，并转换成数学符号.教师纠正和补充学生的发言。
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B = ∠C
（证明性质1，关键是添加辅助线，有了前面的剪纸制作和对折等腰三角形纸片的铺垫，如何添加这条辅助线就水到渠成了.对于部分学生，教师可引导他们分析证明角相等的方法，根据等腰三角形的轴对称性寻找辅助线的添加方法（添加顶角平分线或底边上的中线或底边上的高）。
然后学生自己证明，展示，其他小组成员补充，引导学生添加不同的辅助线证明性质1。
教师板书等腰三角形的性质1.并引导学生用几何符号表达。
性质1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）。
在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
设计目的：对性质1证明的分析,既让学生产生合情推理,又渗透了在等腰三角形中作辅助线的方法.从而突破了本节课的难点.教师与学生一起探究，经历观察、实验、猜想、论证等活动，给学生体验的机会，较好的提高了演绎推理的能力。
活动4.再探性质、渐进升华
（学生在活动2中若提出性质2的猜想，可提前讲解，逐个证明）
引导学生思考：我们通过剪一剪、折一折，发现并证明了等腰三角形“等边对等角”的性质，回顾这个性质的证明，我们在添加了辅助线（例如添加等腰三角形底边上的高AD）以后，在这两个全等三角形中，除了∠B=∠C,还有哪些相等的线段、相等的角？
猜想2：等腰三角形ABC这条底边上的高AD平分顶角∠A
并且平分底边BC, 这条线段在等腰三角形中扮演了三种角色。
师：你能证明吗？
（学生想到可以利用全等三角形证明）
学生可口述，具体证明过程放到课下。
性质2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（简称“三线合一”）
师： 你能把性质2分解为三个命题吗？
例如：如果已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，你能推出什么结论？
学生板演写出三个命题。
（教师总结等腰三角形的两条性质，并指出：在与等腰三角形有关的问题中，添加顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。）
教师提出问题鼓励学生课后继续思考：你还能发现其它的性质吗？请你课后自己研究一下，并与你的同伴进行交流。
设计目的：证明“等腰三角形的两个底角相等”后，继续出发、再探性质，顺理成章的发现等腰三角形的“三线合一”。等腰三角形的两个性质一气呵成，既发展学生的逻辑思维能力，又激发学生思维的开放性。
三、学以致用、应用性质
1.如图，在下列等腰三角形中，AB=AC,分别说出它们的另外两个角的度数。
2.计算
（1）等腰三角形的一个角是70°，它的另外两个角的度数是 .
（2）等腰三角形的一个角是90°，它的另外两个角的度数是 .
（3）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 .
设计目的：及时巩固所学知识，提高应用知识的能力，培养分类讨论的数学思想。题目循序渐进的呈现，引导学生拾阶而上，极大的增强了学生学习数学的自信心。
学生口答结果并陈述理由，开放学生的嘴巴，给学生表达的机会.同时，教师及时了解学生学习的反馈效果。
<典型例题>：如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
<变式练习>：
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,
AC=CD,求∠B的度数.
学生板演，教师面批，纠错，归纳解决方法。
设计目的：通过这个例题, 进一步开放学生的大脑，给学生思考的机会.例1主要强调对性质1的应用,同时也渗透了方程的思想在几何中的应用.方程思想的渗透，例题及变式的探究，为学生营造浓烈的数学探究氛围，极大的开拓了解题的视野。
当堂检测：
1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长等于 .
（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则其周长等于 .
2、已知等腰三角形的一个底角是顶角的 2 倍，你能求出这个等腰三角形的底角和顶角的度数吗？
3、请你设计一个有关等腰三角形的顶角和底角计算的题目，考考你的同学.
四、梳理反思、归纳总结
这节课我们主要学习了等腰三角形的哪些知识?
解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？
你还有哪些收获？有什么问题吗？
学生自主发言，经过5的补充，质疑，教师的点拨。达成共识。
设计目的：通过学生谈本节课的感悟与收获，引导学生反思学习过程，达到知识的概括与升华。
五、布置作业、课后延伸
必做题：
1.P56-57 1、4、6题
2.等腰三角形“等边对等角”性质的证明，你采用的是哪种作辅助线的方法，请你用另外两种方法证明.
选做题：
如图，GF⊥AF,垂足为点F，且AB=BC=CD=DE=EF=FG,求∠A 的度数.
设计目的：巩固所学知识，总结反思，通过课后独立思考，自我评价学习效果.根据不同层次学生学习的差异，作业以推荐的形式出现，一部分是必做题，一部分是选作题。
等腰三角形性质教材分析
一、教材分析
1、教材分析之地位和作用
《等腰三角形的性质》是“人教版八年级数(上）”第十二章第三节的内容。本课安排在《轴对称的认识》后，明确了《等腰三角形的性质》与《轴对称的认识》的联系，起到知识的链接与开拓的作用。主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”两个性质,本节内容又是今后学习等边三角形的基础知识，还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据，因此本节课具有非常重要的地位。
本节的课时安排如下:
本小单元共安排5课时,其中,等腰三角形的性质讲解1课时,第二课时为性质习题课,等腰三角形的判定为第三课时,另两可是归等边三角形.
2、教材分析之教学目标
知识和技能：
理解等腰三角形的两个性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。
能力目标：
通过观察等腰三角形的对称性,发展形象思维,培养学生观察,分析,归纳问题的能力,通过实践,观察,证明等腰三角形性质,发展学生合情推理和演绎推理能力,通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高分析问题,解决问题能力,发展应用意识
情感与态度目标：
通过对等腰三角形的观察、试验、归纳，体验数学活动充满着探索性和创造性，突出数学就在我们身边。在操作活动中，培养学生之间的合作精神。
3、教材分析之教学重难点
教学重点：等腰三角形中关于底和腰，底角和顶角的计算题；等腰三角形的性质及应用。
教学难点：等腰三角形性质的应用.
4、教材分析之教法
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初一学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。
5、教材分析之学法
八年级的学生逻辑思维，逻辑推理能力还不理想，成为学习数学的一大障碍，因此通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中通过实践,观察,交流, 发现，开拓自己的创造性思维，并且让学生通过自己动手操作、动脑思考，培养学生的观察、猜想、概括、论证的能力。让他们在感受知识的过程中,提高他们“观察---探究---发现---联想---概括”的能力！
教师观察用表
教师姓名
教师关注点
（所属分工）
组长所做组织工作
1、组长能积极地为小组服务。
☆
○
△
?
?
?
2、能平均、合理地分配任务。
?
?
?
3、能做好材料的收集、整理工作。
?
?
?
教学设计的引导，教师的指导
教学设计有适合小组合作的活动任务，明确要求，有组内合作的目标。
教师巡视小组活动情况，能及时作出指导与评价。
小组合作情况
1、自主学习的基础上，进行小组合作。（有资料分享）
2、每个成员都有自己明确的任务（学困生有简单任务），能认真完成任务，并能积极地参与小组活动。
?
?
?
3、小组成员间能认真倾听，互助互学，能帮助组内学困生有效达成其任务。
?
?
?
4、小组合作氛围愉快，合作效果好。针对老师提出的小组合作任务，通过组内合作达成，能提出有意义的问题，用于课堂展示。
?
?
?
小组合作效果
1、教师有过程性评价与形成性评价的设计。
2、组内有自评，互评，组间有互评方式。
3、课堂检测达成情况.
?A等，☆；B等，○；C等，△
《等腰三角形》自主学习任务单
一、学习指南
课题名称：人教版八年级上册数学 13.3.1等腰三角形
达成目标：
1、通过完成任务一、二，尝试说出等腰三角形的性质，并证明。
2、通过完成任务三，能够根据等腰三角形性质进行有关三角形角的计算。
二、学习任务
任务一．回顾思考
1、等腰三角形的定义（画出一个等腰三角形，标出它的底角、顶角、腰、底边）
2、解答：
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 任务二．自主探究
1、阅读课本75页，请你按照课本的操作，剪出一个三角形准备课上使用。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，你会发现等腰三角形是什么图形？并找出其中重合的线段和角（可画图来说明）
2、观察得出：等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?写出你的猜想。
3、验证
已知：△ABC，AB=AC
求证：∠B=∠C
提示：
1、如何证明两个角相等？
2、在一个等腰三角形中，如何构造两个全等的三角形?
3、那条折痕在你眼里可以看成等腰三角形的什么线？能用几种方法证明？
任务三.解决问题
1、等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_____ __
2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________
3、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为______ __
（思考：等腰三角形中边、角的条件往往需要分类思考.何时需要分类？何时不用分类呢？）
三、困惑与建议
评价标准：
1、每独立完成一个任务加1分。（共3分）
2、组内交流中，积极参与，能主动提出疑惑或帮助解答疑惑。（加2分）
3、课堂展示中，全员参与，分工明确，能够准确表达小组学习成果。（加3分）
《等腰三角形》 学案
【学习目标】
1、通过组内合作，展示交流，能准确说出并证明等腰三角形的两个性质，能用数学语言准确表述其性质；
2、结合典例分析，针对训练，能灵活运用等腰三角形的性质解决与三角形有关角的计算和证明问题。
【典型例题1】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数。
对应训练：如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，若∠BDC
=150 o，求∠A的度数.
【典型例题2】
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E在底边BC上且AD=AE，你能说明BD与CE相等吗？为什么？
【自评归纳】
谈一谈这节课你的收获.
【当堂检测】
A层：
在△ABC中，点D在CB上，且AB=AD=CD,∠C=25 o,那么∠BAC= .
B层：
如图，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M。
求证：CM=DM
反思、合作、成功
沣水中学 王春雪
盛夏时节，烈日炎炎，正是人们无法出门的时候，教师研修网给我们的心灵带来一丝丝清凉，它不仅丰富了我们的暑期生活，同时开阔了教师们的视野，在增长了知识的同时，也净化了教师们的心灵。通过学习我们在工作和生活方面有很多的认识并不断进步。
网络研修的第三天，大家已经陆续提交了自己的作业《课堂小组合作观察设计表》。清晨，打开电脑，看到我们本组的15份作业，指导教师韩卫东老师也已经全部阅读。登陆讨论组客户端，研修组的聊天群里，不断反馈着韩老师对作业的评价与反馈，并挑选出两份优秀作业供大家参考。接下来的任务便是在原作业的基础上进行修改，对比优秀作业，我们差距很大，却无从下手，如何对症下药呢。这时，研修组长高刚老师在与指导教师的主动沟通后，了解了本组各位老师的作业情况，并记录下修改建议与大家讨论。目前，我们的问题是，作业质量整体不高，主要是不理解要求，比如有的老师让学生做记录，应该是观察组内的老师就分工来做记录，并且多数老师缺少具体实际的评价记录标准，停留在文字上，实际操作很困难。针对这些问题，高老师打开一份作业案例，组织组员纷纷讨论起来，集思广益，从要求开始分析，商讨如何分工，如何记录，如何处理数据等，以及观察表的呈现形式，评价的落实情况。经过激烈的讨论，每一个人都意识到了作业的问题所在，在自己座位上专心的修改起来。那份认真，值得我学习。
（数学组全体教师在组长的带领下一起学习研讨优秀作业）
由于我的作业一开始并没有显示合格，便请教了韩老师许多。基于作业的想法和内容，韩老师给出了几点指导意见，既然采用教师用表和学生用表的评价手段，可以两表分开，明确标出，充实内容；教师观察用表要有课堂检测评价方式，这种评价是客观的。如果增加“能否提出有意义的问题”一项，能反映学生听讲、展示、提问三个角色转换这样最好。体现合作学习情境下的自主学习最好，毕竟合作学习的基础源于自主先学，而合作学习的效果还是要靠个体学习行为来体现。有了这些建议，在作业的修改上，我便从容了很多。在组长高老师的指导下，经过与大家的再揣摩，再修改，有幸被评价为优秀作业，我成功了。
（在与指导教师交流后，王春雪老师多次修改自己的作业）
一份耕耘，一分收获，“不管我们的能力如何，只要努力了，思考了，我们的目的就达到了。”在这儿引用了韩老师的这句话。相信在以后的工作中，我们会更努力，作为教师，不能够止步不前，要不断的进步。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
??反思
本节课通过对等腰三角形叠合操作引出等腰三角形是轴对称图形，进而得到等腰三角形的性质1：等边对等角，这种操作有利于学生发现等腰三角形性质的证明，给出三种不同的辅助线，是用来培养学生的发散思维能力；在教学过程中，我设计了8个教学活动，体现了学生的学习是在一系列数学活动中完成的，同时，由于多种原因，出现了以下的不足：
学生准备不充分，操作部分占了大量时间，致使教学过程时间有点紧
学生互动较多，但时间不很充分，独立思考时间较少
内容量有点偏大
应补讲的内容有【拓展】
a.辅助线的添设（合理选择三线 如图附1；构造等腰三角形）
b.完整的几何图形的探索过程应包含的步骤
c.性质2的完整证明
附：
已知：如图附1 ，⊿ABC中，AB=AC,AD=AE,
求证：BD=EC
（本体可验证三条不同辅助线连接，带来的不同结果，
强调辅助线的添设合理，应根据实际题的要求选择）
课标分析
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位臵关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。?
空间观念，至少反映了五个方面的要求：?（1）由形状简单的实物抽象出空间图形；?（2）由空间图形反应出实物；?（3）由复杂图形分解出简单的、基本的图形；?（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；?（5）由文字或符号做出或画出图形。?
关于空间观念是实物和图形之间的关系，是两个方向的关系，这就是说，通过实物，根据实物来抽象出几何图形，这是一个方向。另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体，在这里边一个是抽象，一个是想象。?
空间观念贯穿在图形与几何学习的全过程，无论是图形的认识、图形的运动、图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。?
如何培养学生的空间观念：?
（1）、重视促进空间观念发展的课程内容。?图形的运动，图形与位臵等都是重视学生空间观念很好的素材，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。?
（2）、促进空间观念发展的教学策略。现实情境和学生经验是发展空间观念的基础，教师可以通过多种途径发展学生的空间观念，如生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼接与画图、折纸与展开、分析与推理等。它包括：?
根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。?想象出物体的方位和相互之间的位臵关系。?描述图形的运动和变化。?依据语言的描述画出图形。?
（3）、教学中应该为学生提供足够的时间与空间去观察和想象、操作与分析。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。?
几何直观，一是指几何，二是指直观，就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理。??
为什么要强调几何直观，从数学最基本的研究对象说起，数学最主要的研究对象，一个是图形，一个就是数、字母。?该如何从学习图形中获得最大的好处，引用数学家希尔伯特写的一本书《直观几何》中谈到的：图形可以帮助发现、描述研究的问题；（一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。）?图形可以帮助我们寻求解决问题的思路；图形可以帮助我们理解和记忆得到的结果。?
??? ??从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚伪的，它与数学的内容紧密相连。??
这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此可见，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。??
如何帮助学生建立几何直观：?
第一，?要充分的发挥图形给带来的好处。?第二，?要让孩子养成一个画图的好习惯。?
第三，重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系。?
第四，学会从数与形两个角度认识数学；第五，掌握、运用一些基本图形解决问题。
