2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共16小题，共38分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则与的积为的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式有意义，则的取值应满足( )
A. B. C. D.
3.若等式成立，则“”内的是( )
A. B. C. D.
4.用整式，，组成的代数式有，，，，，所有式子中的，其中属于分式的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.是分式方程的解，则( )
A. B. C. D.
6.下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
7.与分式相等的是( )
A. B. C. D.
8.计算的结果是( )
A. B. C. D.
9.分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为( )
A. B. C. D.
10.某商店有、两箱水果，箱水果重量为千克，箱水果重量为千克其中，两箱水果均卖了元，那么箱水果的单价是箱水果单价的( )
A. B. C. D.
11.表格第一列是王江化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为( )
原式
A. B. C. D.
12.九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
13.如图，若，则表示的值的点落在( )
A. 段 B. 段 C. 段 D. 段
14.下列命题的逆命题是真命题的有( )
对顶角相等；
不相交的两条直线一定平行；
等角的补角相等；
如果，那么
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
15.题目：若关于的方程无解，求的值“”嘉嘉和淇淇的做法如下：
嘉嘉 淇淇
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
原方程无解，
该整式方程无解，
，
解得． 去分母得：，
移项，合并同类项得：，
当时，解得：，
原方程无解，为增根，
，解得，
，解得．
( )
A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对
C. 两人都错 D. 两人的答案合起来才对
16.根据分式的性质，可以将分式为整数进行如下变形：，其中为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有个( )
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
18.观察下面的等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；
写出第个等式： ______；
写出第个等式：______用含的式子表示．
19.已知关于的分式方程．
若原分式方程有增根，则 ______；
若原分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图是某同学分式求值的错误过程．
先化简，再求值：，其中解：原式
求原式正确的化简结果；
老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的”求图中被污染的的值．
21.本小题分
已知正整数，，满足．
当，时，求的值；
当时，用含的代数式表示．
22.本小题分
将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为．
发现再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 ______填“”“”或“”．
验证请证明你“发现”中的选择正确．
23.本小题分
现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图所示某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图，其阴影部分面积记为；图为乙卡片，其面积记为．
化简式子，并求当时，该式子的值；
当时，求的值．
24.本小题分
嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分．
嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，，中选取一个你喜欢的作为值代入求值；
若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？
25.本小题分
图和图是冀教版七年级下册“第九章三角形”教材片段．
请根据图给出的图示过点作，对“三角形内角和等于”说理．
作平行线是把角从一个位置“转移”到另一个位置的重要手段．图 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
如图，是的一个外角．
图
对于图的练习题，嘉淇将其改为证明格式如下，请帮她补充完整；
已知：在中，直线经过点，且求证：．
证明：已知，
______，
______，
______，
______ ______等量代换．
定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和请结合图证明上述定理，要求写出求证和证明过程．
已知：如图，是的外角求证：______．
证明：
26.本小题分
年杭州第届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”某校准备举行亚运会知识竞赛活动，购买套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵元，若用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同．
求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
若购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍，并且总费用不得超过元，试求该校一共有哪几种购买方案？
在的条件下，直接写出该校购买套吉祥物的最低费用．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.两直线平行，同位角相等
18.
19.；
且．
20.解：
；
由题意得，，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
21.解：当，时，
，
解得，
经检验，是方程的解，
的值为；
当时，
，
，
．
22.；
证明：，
，，
，，
即，
，
．
23.解：由题意可知，，，
，
当时，．
，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解．
24.解：
，
，，
，，
从，，中选取作为值代入求值，
原式；
，
，
则被墨水遮住的式子是．
25.证明：已知，
，两直线平行，内错角相等，
平角的定义，
等量代换．
．
26.解：设甲规格吉祥物每套元，则乙规格吉祥物每套元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
元，
答：甲规格吉祥物每套元，乙规格吉祥物每套元；
设乙规格吉祥物购买套，总费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
又，
解得：，
，
为正整数，
取，，，，，，
该校一共有种方案，分别为：甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；
由知：，
，
随的增大而增大，
又，
当时，取得最小值，最小值为元，
该校购买套吉祥物的最低费用为元．
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