2024-2025学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，共32分。
1.中国代表队在第届巴黎奥运会中取得了金银铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是( )
A. 乒乓球 B. 篮球 C. 排球 D. 冲浪
2.不等式组的解在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
3.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，共40分。
9.因式分解：______．
10.一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
11.如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得，则四边形的周长为______．
12.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13.如图，在中，，，，点，分别为，中点，连接并延长，交的外角平分线于点，则 ______．
14.已知，则代数式的值为______．
15.若关于的方程有增根，那么的值为______．
16.我们把关于的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程和是关于的“同族二次方程”，则的值为______．
17.如图，在正方形中，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，作的角平分线交延长线于点，若，，则正方形的面积为______．
18.如图，在中，，，，点为边上一动点不与点重合，以为边在上方作等边，过点作，点为垂线上任一点，点为中点，连接，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.（12分）解方程：；
解方程：．
20.（8分）先化简：，再从，中选择一个合适的值代入求值．
21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，点，，．
在图中画出平面直角坐标系，并标出坐标原点；
将以点为旋转中心逆时针旋转，请画出旋转后的图形；
将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，请画出平移后的图形，并直接写出线段的长度为______．
22.（10分）如图，已知一个直角三角形纸片，其中，，分别是，边上两点，连接现将纸片的一角沿直线折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．
试判断四边形的形状，并证明你的结论；
若，，求四边形的周长．
23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点．
求直线的解析式及点的坐标；
点是直线上一点，当的面积为时，求点的坐标；
点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
24.（8分）中秋节将至，某商店用元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了元．
第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？
商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前天，第二批月饼礼盒有盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于不考虑其他因素请求出的最大值．
25.（10分）我们把关于的一次函数且、都不为与一次函数定义为交换函数．
根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______；
试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为；
如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与轴交于点，点为上一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
26.（12分）【课本再现】
如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，与相交于点，与相交于点，连接在正方形绕点旋转的过程中，始终有，请证明这个结论．
【迁移应用】
如图，在中，，，点是边的中点，是射线上的动点，过点作的垂线交直线于点，连接．
当点在边上，点在边上时，试探究线段，，之间的数量关系并证明你的结论；
若，，设，，请直接写出与的关系．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：去分母得，
，
解得，
检验：当时，，则为原方程的增根，
所以原方程无解；
方程化为，
，，，
，
，
，．
20.解：
，
或时，原分式无意义，
，
当时，原式．
21.【答案解：建立平面直角坐标系如图所示．
如图，即为所求．
．
22.解：四边形形状为菱形．理由如下：
证明：根据折叠的性质，可知，且，．
，
，
，
．
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
，，
．
，，
，
．
又四边形为菱形，
四边形周长为：．
故四边形周长为．
23.解：，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
在直线上，
，
直线的解析式为，
在直线上，
，
直线的解析式为．
点在轴上，
令，则．
；
过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的面积为，
，
，
，
．
，，
，，
．
；
存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或理由：
由题意：，，
，．
．
过点作直线，当点在直线上时，如图，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
，
，；
当以为一边时，如图，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
，
．
当以为一条对角线时，如图，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
，，
设，
，
由勾股定理得：，
，
，
综上，存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
24.解：设第二批月饼礼盒每个的进价为元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批月饼礼盒每个的进价为元；
第二批购进月饼礼盒的数量为盒，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：的最大值是．
25.；
证明：由题意可得：，
，
，
，
，
，
一次函数与其交换函数的交点坐标为；
解：如图，设直线与轴交于点，交轴于点，连接，
点是一次函数与其交换函数的交点，
，
，
，，
直线与轴交于点，交轴于点，
点，点，
，
，
直线与轴交于点，
点，
，
点为上一动点，
当时，有最小值，
，
，
，
设点，
，
，
，
点
26.解：证明：如图，四边形、都是正方形，
，，，，
，
≌，
，
，连接，
在中，，
．
如图，结论：，
证明：作矩形，延长交于点，连接，如图：
点是矩形的中心，
又点是的中点，
，
在矩形中，，
，，
；
，，
又，
，
在矩形中，，
在中，，
．
解：当，分别在和上时，如图，由的结论可得，在中，由勾股定理得，
，
设， 则，
，
，
如图，点，分别在线段，的延长线上时，
由的结论可得，在中，由勾股定理得
，
，
设，则，
，
，
，
综上所述：与的关系为

第1页，共1页