2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷（含答案）

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷
一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若，且，则 ______．
2. ______．
3.已知正实数，，满足，则的最小值为______．
4.已知函数，当时，有最大值，则的值为______．
5.已知中，上的一点，，，则的最大值为______．
6.若点为线段中点，，且，，，，则 ____．
7.如图，在中，，分别在，上，连结交于，若，，
，，共线，的面积为，则的面积为______．
8.已知整数，，满足，则的最小值为______．
9.已知，，是大于的正整数，且为整数，则 ___．
10.已知、为圆的两条切线，连结交圆于点，若，，
，则 ______．
二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
已知，矩形的，顶点分别在轴，轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为．
判断并证明直线与的关系．
求的值．
若，分别为直线和反比例函数上的动点，为中点，求的最小值．
12.本小题分
如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于．
求证：．
证明：，，，四点共圆．
若，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.或
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.解：如图，
，理由如下：
由题意得，
，，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
；
如图，
作于，
，
，
，
，
，舍去，
；
如图，
取点，，
则直线与直线关于对称，
连接，并延长交于，连接，
则，
是的中点，
，
当最小时，最小，
作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作，
则的最小值是的长，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由整理得，，
，
，舍去，
，
，
，，，
，
，
，
．
12.解：根据题意，以为圆心，为半径作圆，延长交圆于点，延长交于点，连接，，，，
是直径，
，，
为垂心，
，，，
，，
是平行四边形，
，
，，
，
，
设半径为，，
，
又，
；
为垂心，
，，，
，
，
，
，，
、、、四点共圆；
设，
，
，
在直角中，，，，
，，
，
在直角中，，
即：，
在直角中，，
即：，
，
，
在中，，
即：，
，
或舍去，
．
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