2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：都有的否定是( )
A. 使得 B. 使得
C. 都有 D. 都有
2.若：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，
；
点是的一个对称中心；
直线是函数的一条对称轴；
函数的单调递增区间是，．
其中正确的( )
A. B. C. D.
5.已知实数，则，，这三个数的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰三角形，且，若点为棱的中点，点为面的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知中，设角、、所对的边分别为、、，的面积为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
10.已知函数，若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值可以为( )
A. B. C. D.
11.对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：在内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为那么把称为闭函数下列结论正确的是( )
A. 函数是闭函数
B. 函数是闭函数
C. 函数是闭函数
D. 时，函数是闭函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若具有性质：为偶函数，对任意，都有，则的解析式可以是______只写一个即可
13.若正实数，满足，则的最小值为______．
14.已知三棱锥外接球直径为，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小正周期和对称轴；
Ⅱ设的内角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，求，的值．
16.本小题分
如图，在五面体中，四边形是正方形，，，．
求证：平面平面；
设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于型手机，小于或等于的产品应用于型手机假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
若临界值，请估计该公司生产的个该型号芯片Ⅰ级品和个级品中应用于型手机的芯片个数；
设且，现有足够多的芯片级品、级品，分别应用于型手机、型手机各万部的生产：
方案一：直接将该芯片Ⅰ级品应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失元；
方案二：重新检测芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值单位：万元的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
18.本小题分
设是同时符合以下性质的函数组成的集合：
，都有；在上是减函数．
判断函数和是否属于集合，并简要说明理由；
把中你认为是集合中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；
若，，且对任意恒成立，求的取值范围．用来表示
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或等．
13.
14.
15.解：，
则函数的最小正周期为；
令，，则函数的对称轴为：．
Ⅱ，且，，
由，可知，
由余弦定理及，
可知；
解得．
16.证明：四边形是正方形，．
又，，
平面，面，
平面平面．
存在．
，面，面，并且面面，．
取中点，中点，取中点，中点，连，，，
可得，且，故四边形为平行四边形，．
又为中点，在中，，
，，
面面，
在棱上，故当且仅当与重合时，面，
．
17.解：临界值时，Ⅰ级品中该指标大于的频率为，Ⅱ级品中该指标大于的频率为，
故该公司生产的个该型号芯片Ⅰ级品和个Ⅱ级品中应用于型手机的芯片个数估计为：；
当临界值时，
若采用方案一：Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的概率为，
可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误，
Ⅱ级品中该指标大于临界值的概率为，
可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误，
故可以估计芯片生产商的损失费用，
，，
又采用方案二需要检测费用共万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二．
18.解：，在上是单调递增函数，
在上是单调减函数，
，
，
，
是同时符合以下性质的函数组成的集合：，都有；在上是减函数，
不符合，
不在集合中；
时，，
，
，
又在上是单调递减函数，
在上是单调递减函数，
是同时符合以下性质的函数组成的集合：，都有；在上是减函数，
同时符合，
在集合中，
故不在集合中，在集合中；
由可知，，
，
在上是单调递减函数，
在上是单调递减函数，
当时，取得最大值，
对任意的总成立，即，
，
故所求的实数的取值范围是．
19.抛物线的对称轴为，
当时，即时，
当时，，，
，
，．
当时，即时，在上为增函数，与矛盾，无解，
综合得：，．
对任意恒成立，即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
，，
(ⅰ)若，即时，在单调递减，此时，
即，得，此时，
．
(ⅱ)若，即时，在单调递减，在单调递增，
此时，，
只要，
当时，，
当时，，．
综上得：时，；
时，；
时，．
第1页，共1页