2024-2025学年四川省南充高级中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省南充高级中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的实部是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知且，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
5.定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为，则在三棱锥中( )
A. 的面积为
B.
C. 平面平面
D. 三棱锥的体积为
10.在中，下列结论正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆下列说法正确的是( )
A. 沙漏中的细沙体积为
B. 沙漏的体积是
C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为
D. 该沙漏的一个沙时大约是秒
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则______．
13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生人，并从中抽取了人，则从高一年级中抽取______人
14.已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在边长为的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点且交于点，
求的值；
求的最小值．
16.本小题分
某校高一年级有男生人，女生人为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为的样本，并观测样本的指标价单位：，计算得男生样本的身高平均数为，方差为下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序
身高
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差参考数据：，，．
若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
17.本小题分
如图，在梯形中，，．
若，求周长的最大值；
若，，求的值．
18.本小题分
已知定义在上的奇函数，当时，．
求函数的解析式；
若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设，为边长为的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，
，
；
，，
，
所以当时，的最小值为．
16.解：因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本人的身高平均数为，方差为，女生样本人的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
因，，则，
即，约为，
由样本数据知，，为离群值，
剔除后，女生样本人的身高平均数为：，
由，
可得，则剔除后，女生样本人的身高的方差为：．
17.解：在中，由余弦定理可得：
，
而，
即，
解得：，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是；
设，则，，
，，
在中，，
在中，，
两式相除得，，
因为，
所以，
故．
18.解：是定义在上的奇函数，且时，，
，解得，
时，，
当时，，则，
即在上的解析式为．
函数的解析式为
时，，
在有解，
整理得，
令，显然与在上单调递减，
在上单调递减，则，
实数的取值范围是．
19.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
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