2023-2024学年福建省泉州市科技中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市科技中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，设，则( )
A. B.
C. D.
3.已知，均为实数，复数：，其中为虚数单位，若，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的高线的长等于( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，点在棱上，且所在的平面将三棱柱分割成体积相等的两部分，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. ，则
B.
C. 若，则复数对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，且，则的最大值为
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在点，使，，，四点共面
B. 存在点，使平面
C. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 ______．
13.在正六边形中，已知，则 ______．
14.已知正六棱锥的高是底面边长的倍，侧棱长为，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是．
求石凳的体积；
为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
16.本小题分
已知，．
若，求；
若与的夹角为，求；
若与垂直，求与的夹角．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且，．
求角；
若，求边上的角平分线长；
若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，．
如图，若三角形是边长为的正三角形，且，求；
如图，若，，交于一点，
求证：；
若，，，，求．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：正方体的体积为，
石凳的体积为正方体的体积减去个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，
故一个小正三棱锥的体积为，
故石凳的体积为；
石凳的表面由个正方形和个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，
则石凳的表面积为，
则粉刷一个石凳需要元．
16.【答案】解：因为，所以，
因为，，所以；
因为，，与的夹角为，
所以，
所以；
因为与垂直，所以，
所以，
所以，
因为，所以与的夹角为．
17.【答案】解：因为，，
所以，
即．
所以，因为，
所以，即，
因为，所以；
由及余弦定理得，又，
所以，
由得，，
所以，所以，解得．
因为的的中点，所以，
则，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
所以
即边上的中线的取值范围为．
18.【答案】证明：Ⅰ在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
Ⅱ取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由Ⅰ可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
Ⅲ取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由Ⅱ可得平面，，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面．
19.【答案】解：设，则，
因为，
所以，
令，
所以，解得，所以．
证明：如图，过点作于点，
因为，所以；
同理可得：，所以，即；
同理可证：，
；
过点作的平行线交于点，过作交于点，如图，
由，，可得，所以，
所以，
由，，可得，且，
所以，即，
设，
则由余弦定理可得，
即，解得，
所以，
故，
所以．
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