2024-2025学年重庆一中高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆一中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.两条平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，在直线：上存在一点，使最小，则点坐标为( )
A. B. C. D.
4.若满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是( )
A. B.
C. D.
6.将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知“”是””表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，则( )
A. 椭圆的离心率的取值范围是 B. 椭圆的离心率的取值范围是
C. 椭圆的离心率的取值范围是 D. 椭圆的离心率的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点可能位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，则( )
A. B. 的面积为
C. 椭圆的离心率为 D. 的内切圆半径为
11.已知点，为圆：上两动点，且，点为直线：上动点，则( )
A. 以，为直径的圆与直线相离 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则 ______．
14.如图，正八面体的条棱长相等，则二面角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、分别为内角、、的对边，．
求；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知三角形，，，，以，为邻边作平行四边形．
求点的坐标；
过点的直线交直线与点，若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为、的中点，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在矩形中，，点，分别在，上，且，沿将四边形翻折至四边形，点平面．
求证：平面；
，，，四点是否共面？给出结论，并给予证明；
在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
过作一条斜率存在且不为的直线交于，两点．
证明：直线和直线的斜率均存在且互为相反数；
若直线与直线交于点，求的轨迹方程．
参考答案
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15.解：由正弦定理及，知，
由余弦定理，知，
因为，所以．
因为的面积，所以，
由知，，
所以，
所以，
故的周长为．
16.解：由题可知，以，为邻边的平行四边满足，，
所以，，
设，则可得且；
解得，，所以．
要使，则需，到直线 的距离，之比为，如图所示：
当斜率存在时，设的方程为，即，
由得，解得，
所以直线的方程为，
当直线斜率不存在时，的方程为，此时仍符合题意．
综上知，直线的方程为和．
17.解：证明：由四边形为平行四边形，且，，，为的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
可得，可得，
因为，，
所以在中，，
在中，，
所以，
可得，而，，面，面，
可证得平面；
由建立空间直角坐标系如图所示：且，，，，设，
，
因为，即，
可得，，，
，
所以，
设面的法向量，
则，即，令，则，，
所以，
所以，，，
所以，，
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以可得直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面．
所以平面，
又因为，所以平面平面，
因为面，所以平面．
，，，四点不共面．
证明：假设，，，四点共面，则或．
若，又因为平再，所以平面，
所以与已知矛盾，舍去，
若，所以平面，平面，
根据基本事实，所以，
所以，，交于一点与已知矛盾，舍去；
综上所述，，，，四点不共面．
如图，在面内作于点，作于，作于，
由题意可得点为点在平面的射影，所以平面，
所以，又因为，，
所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，所以为二面角的平面角，
设，
当时，点与点重合，由，
可得．
时，因为，
所以，
所以，
故，
所以
同理当时，，
所以，
故．
所以，
设，
所以．
所以，
由解得，
所以，当时．取到的最大值为．
19.解：因为椭圆的的长轴长为，
所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，
又，
联立，
解得，，，
则椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
当时，，，不符合题意，
所以，，
则直线和直线的斜率均存在，
此时，
所以
，
故直线和直线的斜率均存在且互为相反数；
由知，且，
设直线的方程为，直线的方程为，
设，
此时，
整理得，
由题意知，
所以，，
此时，，
将，代入，
此时，
整理得，
又，
所以．
故的轨迹方程为．
．
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