2024-2025学年江西省南昌市聚仁高级中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市聚仁高级中学高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为在上单调递增，则取值的范围是( )
A. B. C. D.
7.当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则若随机变量服从正态分布，则
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为，则( )
A. B. 点在上
C. 在第一象限的纵坐标的最大值为 D. 当点在上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设双曲线：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交与，两点，若，，则的离心率为______．
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ______．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后轮次中不能使用则四轮比赛后，甲的总得分不小于的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求的离心率；
若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若，证明：平面；
若，且二面角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知函数．
若，且，求的最小值；
证明：曲线是中心对称图形；
若当且仅当，求的取值范围．
19.本小题分
设为正整数，数列，，，是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列，，是可分数列．
写出所有的，，使数列，，，是可分数列；
当时，证明：数列，，，是可分数列；
从，，，中一次任取两个数和，记数列，，，是可分数列的概率为，证明：．
参考答案
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15.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
16.解：依题意，，解得，
则离心率；
由可知，椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，
点到直线的距离为，则，与易知矛盾；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
设，，
联立，消去整理可得，，
则，
由弦长公式可得，，
点到直线的距离为，
则，
解得或，
则直线的方程为或．
17.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，，所以，
于是，又平面，平面．
所以平面．
因为，以为原点，分别以，，为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的一个法向量，因为，，
所以由，即，
可取；
又，，
设平面的一个法向量，所以由
取，
因为二面角的正弦值为，所以余弦值的绝对值为．
所以由，得，，
因此，．
18.解：由，解得，
所以函数的定义域为，
当时，，
所以，对恒成立，
又，当且仅当时取“”，
所以只需，即，
所以的最小值为．
证明：，，
所以关于点中心对称．
因为当且仅当，
所以，即，
所以对恒成立，
，
令，
所以必有，得到必要性，
否则，存在使，在上单调递减，
所以，
当时，对，，
，对恒成立，
所以符合题意，
综上所述：，
所以的取值范围为．
19.解：根据题意，可得当取时，可以分为，，，一组公差为的等差数列，
当取时，可以分为，，，一组公差为的等差数列，
当取时，可以分为，，，一组公差为的等差数列，
所以可以为，，；
证明：当时，，，，，，，，，，，，，
可以分为，，，；，，，；，，，三组公差为的等差数列，
所以时符合题意；
当时，数列，，，去掉和后，
前三组还按照时的分法，即，，，；，，，；，，，，
后面的每四个相邻的项分为一组，即，，，；；，，，，
每一组都能构成等差数列，
所以数列，，，是可分数列；
证明：当时，数列：，，，，，为可分数列的概率为，
当时，数列，，，为可分数列的概率为，
以此类推，且易知，，，是可分的，
此时共有种，
且易证数列也是可分的，
至少有种，
综上：可行的与至少组，
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