2024-2025学年江西师大附中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西师大附中高三（上）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
2.如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么( )
A.
B.
C.
D.
3.纯洁的冰雪，激情的约会，年冬奥会预计在印度孟买举行按常理，该次冬奥会共有个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项若集合代表所有项目的集合，一个大项看作是几个小项组成的集合，其中集合为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是( )
A. “短道速滑”不属于集合相对于全集的补集
B. “雪车”与“滑雪”交集为空集
C. “速度滑冰”与“冰壶”交集不为空集
D. 集合包含“滑冰”
4.已知直线：上的两点，，且，点为圆：上任一点，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知正数，，满足，，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于，点，与、分别相切于，两点，则线段与( )
A. 总是互相垂直 B. 总是互相平分
C. 总是互相垂直且平分 D. 上述说法均不正确
8.在平面四边形中，，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校组织全体学生参加了“喜迎二十大，结合中华传统文化与楚文化的创新突破”的剧本创作大赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组的取值区间均为左闭右开，画出频率分布直方图如图，下列说法正确的是( )
A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有人
B. 图中的值为
C. 估计全校学生成绩的平均分约为
D. 估计全校学生成绩的分位数为
10.如图，正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线到平面的距离为
B. 直线与直线的夹角的余弦值为
C. 点与点到平面的距离之比为：
D. 平面截正方体所得截面面积为
11.已知抛物线：，为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则( )
A. 若，，，则
B. 若满足，则
C. 若交于点，则
D. 直线交于、两点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是______．
13.已知在中，它的内角，，的对边分别为，，，若，，则 ______．
14.若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于且斜率之和等于常数，则称该函数为“函数”，下列四个函数中，其中为“函数”的是______．
；；；．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是平行六面体中线段上一点，且．
证明：平面；
已知四边形是菱形，，，并且为锐角，，求二面角的正切值．
16.本小题分
已知过右焦点的直线交双曲线于，两点，曲线的左右顶点分别为，，虚轴长与实轴长的比值为．
求曲线的方程；
如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
17.本小题分
已知．
当时，讨论函数的极值点个数；
若存在，，使，求证：．
18.本小题分
对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”已知为数列的“接近数列”，且．
若是正整数，求，，，的值；
若是正整数，是否存在是正整数，使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由；
若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是．
参考答案
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15.解：设，延长交于，连接，
是平行四边形，
∽，，
则是的中点，
又是的中点，，
又平面，平面，
平面．
过点作于，由于四边形是菱形，
，≌，，
又由于是的中点，，
，平面，平面，，
平面．
法一：以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立坐标系，
不妨设，
则，，
设，
由于，
由于，
设平面的法向量为，
则
令，得，
又平面的法向量为，
，．
记二面角的大小，
则，
故二面角的正切值为．
16.解：由题意可得，
又，则，，
所以曲线的方程为；
设直线，的斜率分別为，，，，直线为，
直线的方程与双曲线方程联立消去整理得，
则，且，即，
可得根与系数的关系为：，
所以
，
，
因为点关于原点的对称点为点，则，
直线的方程为，直线的方程为，显然，
由得
即，
则直线的方程为，
由可得．
当时，由对称性可知在轴上，
此时直线平行于直线，不符合题意，
故的轨迹方程为．
17.解：当时，，则，
当时，，
故在上单调递增，不存在极值点；
当时，，
故函数在上单调递增，
，，
根据零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
故在上存在唯一极值点，
即当时，函数的极值点有且仅有一个；
证明：根据知，
，
即，
令，则，
故在上单调递增，
当时，有，即，
那么，
因此，转化为，
接下来证明，即证明，
不妨令，
令，，
则在上单调增减，
，故，
由不等式的传递性知，即．
18.解：由题意得，是正整数，且为数列的“接近数列”，
是正整数，
，，，．
当为奇数时，，由函数在定义域内单调递增，
，，
，可得，
当为偶数时，，由函数在定义域内单调递减，
，，
，可得，
综上所述：，
，
当为偶数时，令，无解；
当为奇数时，令，
所以，即，
因此，存在是正整数，使得，的最小值为．
若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且，
则，，
，即，
，，
，即，
因此为等差数列，且公差也为；
若为等差数列，设公差为，
，
又，
即，
，对于任意正整数都成立，
，又，得，
因此，数列为等差数列的充要条件是．
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