2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 既非充分也非必要条件 D. 充分不必要条件
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.直线被圆所截得的弦长为，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
7.一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图，水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图，则容器中水面的高度是( )
A. B. C. D.
8.给定函数，，用表示，中的最大者，记作，若，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. ：：：：
B.
C. 若，则是钝角三角形
D. 为外接圆的半径
10.已知抛物线：上的动点到焦点的距离最小值是，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，，则( )
A. B. 抛物线的准线方程为
C. D. 满足条件的直线有条
11.已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 是的一个周期
C. D. 的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，，若，则 ______．
13.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．
14.已知，，其中，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、分别为三个内角、、的对边，且，．
求及的面积；
若为边上一点，且，求的正弦值．
16.本小题分
如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，．
求该多面体的体积；
在棱上是否存在点，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，证明：．
18.本小题分
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话聊天机器人棋型的开发主要采用人类反馈强化学习技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为．
在某次测试中输入了个问题，聊天机器人棋型的回答有个被采纳，现从这个问题中抽取个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值．
19.本小题分
如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，其中点在第一象限连接与双曲线左支交于点，连接分别与，轴交于，两点．
求该双曲线的标准方程；
求面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由余弦定理得，
又因为，，
即，
故，解得或舍去，
；
因为，，
所以，
故，
在中，由余弦定理得，，
故．
16.解：根据题意可得到平面的距离即为到的距离，即为，
求该多面体的体积；
取中点，连接，，，易知，，两两相互垂直，
故建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
设，，
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，取，
直线和平面所成的角的正弦值为：
，，，
化简得，，
解得．
在棱上存在点，使得．
17.解：当时，，，
则，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
证明：当时，有，所以，
因为，
所以．
令，
则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以．
故．
18.解：由题意可得的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；
记“输入的问题没有语法错误”为事件，
则“输入的问题有语法错误”为事件，记“回答被采纳”为事件，
由已知得，，，，，，
因为
，
所以，解得．
19.解：由已知可得，，所以，
又，所以，，
所以，双曲线方程是．
由可知，，设，，
则直线的方程为，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去，整理可得，
恒成立，
由韦达定理可得，，
所以．
根据已知可知，，，
所以．
同理解得，
所以，，
直线的方程为，
由可得，，由可得，，
由、坐标可得直线的方程为，
则直线与轴交点坐标为，所以．
所以
，
令，
则，
设，
则，
当，即时有最小值，此时舍去负值．
所以，，
当且仅当即时取到最小值，此时，
即面积的最小值为．
第1页，共1页