2024-2025学年四川省德阳市绵竹中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省德阳市绵竹中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知不共线的两个非零向量，，则“与所成角为锐角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，比较，，的大小为( )
A. B. C. D.
6.在同一直角坐标系内，存在一条直线，使得函数与函数的图象关于直线对称，就称函数是函数的“轴对称函数”已知函数是自然对数的底数，则下列函数不是函数的“轴对称函数”的是( )
A. B. C. D.
7.已知，是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 已知函数为，在上单调递增，则的范围是
C. 函数，正数，满足，则的最小值为
D. 设函数，则使得成立的范围：
11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数，则下列结论正确的有( )
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的导函数的图象关于直线对称
D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.已知，若函数在上是增函数，则的取值范围是______．
14.已知函数，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的值；
若的面积为，求，．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．
当时，解关于的不等式：；
是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如右频率分布直方图：
规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的分布列及数学期望；
由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；．
19.本小题分
将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
若将，，，四个数构成的数列恰有个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
计算以下数列的逆序数．
；
；
已知数列，，，的逆序数为，求，，，的逆序数．
参考答案
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15.解：，
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，．
由题意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：．
16.解：函数，
当时，，，
，切点坐标为，
切线的斜率为，
曲线在点处的切线方程为：
，整理得：．
函数，，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值，
，
令，得，
当时，，当时，，
函数的增区间为，减区间为，
，
，
令，，
在上单调递减，
，等价于，
的取值范围是．
17.解：由不等式的解集为知，关于的方程的两根为和，且，
由根与系数关系，得，，
所以原不等式化为，
当时，原不等式化为，且，解得或，
解集为或；
假设存在满足条件的实数，由得：，，
，
令，，则，对称轴为：，
又，，，
函数在递减，
时，最小为：，
解得：．
存在实数 使得的最小值为．
18.解：由题预赛成绩在，范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的人中预赛成绩优良的人数为，可能取值为，，，
所以，
又，，，
则的分布列为：
故；
由题，又，
则，，
所以，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛．
19.解：由，，，构成的逆序对有，，，，，，
若第一个数为，则至少有个逆序对；
若第二个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为；
若第三个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为，则恰好有个逆序对的数列组合为或．
综上所述，符合条件的数列组合有：
，，，，．
因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
(ⅱ)当为奇数时，，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为：
，
当为偶数时，逆序数为：
．
在数列，，，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，，中，逆序数为：
．
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