2024-2025学年天津市第四中学高三（上）统练数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年天津四中高三（上）统练数学试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，均为的子集，且，则为( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是( )
A. 变量与变量呈正相关
B. 变量与变量的相关性变强
C. 残差平方和变大
D. 样本相关系数变大
7.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在后达到最大值，随后按照确定的比例衰减，半衰期血浆中的药物浓度降低一半所需的时间为，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到，经过的时间约为参考数据：( )
A. B. C. D.
8.将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称
C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间
9.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.为虚数单位，若复数，则 ______．
11.若，是方程的两个根，则______．
12.若展开式的二项式系数和为，则展开式中的系数为______．
13.已知，为正实数，则的最小值为______．
14.某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为第次投篮的人是甲的概率为______；已知在第次投篮的人是乙的情况下，第次投篮的人是甲的概率为______．
15.已知函数则函数的值域为______；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
若，，求扇形的弧长；
已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角．
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的值；
求函数的递增区间；
求函数在区间上的值域．
19.本小题分
已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求直线与平面所成角的大小；
Ⅲ求点到平面的距离．
20.本小题分
已知函数．
若，求在上的最大值和最小值；
若，当时，证明：恒成立；
若函数在处的切线与直线：垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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11.，
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15.
16.解：因为弧度，
所以；
由题意得，
解得舍去或，
故扇形圆心角为弧度．
17.解：因为，
所以，
；
．
18.解：；
则；
令，解得
的单调递增区间为：；
由可得，函数在区间上单调递增，
，
在区间上的值域为：．
19.解：Ⅰ证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，，，，
所以，，
因为，
所以．
Ⅱ设平面的法向量，
，
所以，
令，则，，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
Ⅲ设点到平面的距离为，，
所以，
所以点到平面的距离为．
20.解：当时，，
则，
令可得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故递减区间为，递增区间为，
函数的极小值，是唯一的极小值，无极大值，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是；
证明：因为，所以，
则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，
所以恒成立；
因为函数的图象在处的切线与直线：垂直，
所以，即，解得，
所以，
因为对，恒成立，
所以对，恒成立，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，
解得，
所以实数的取值范围为．
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