2.1从位移、速度、力到向量——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

2.1从位移、速度、力到向量——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．,,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2．已知线段上A，B，C三点满足，则这三点在线段上的位置关系是( )
A. B.
C. D.
3．已知平面向量,满足,且,则,的夹角为( )
A. B. C. D.
4．已知向量,,若向量,的夹角为钝角,则实数x的范围是( )
A. B. C. D.
5．已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．已知向量,满足,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A.既有大小，又有方向的量叫做向量 B.所有单位向量都相等
C.零向量没有方向 D.平行向量也叫做共线向量
10．在等边三角形ABC中，点P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A. B. C. D.
11．下列叙述中正确的是( )
A.若，，则
B.若，则
C.已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
D.对任一非零向量，是一个单位向量
三、填空题
12．向量a，b的夹角为θ，定义运算””:，若，，则的值为__________.
13．已知||=1，||=，且-与垂直，则与的夹角为________.
14．已知平面向量a,b满足,,则______.
四、解答题
15．已知平面向量，满足，，.
（1）求与的夹角；
（2）求.
16．已知向量，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小.
17．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地沿北偏东30方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又沿南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.在如图所示的平面直角坐标系中分别作出向量，，，.
18．在四边形ABCD中.
（1）若，则当与满足什么条件时，四边形ABCD是等腰梯形？
（2）当与满足什么条件时，四边形ABCD是平行四边形？
19．已知向量,,且．
（1）求向量与的夹角．
（2）若向量与互相垂直,求k的值．
参考答案
1．答案：A
解析：,
因为,所以.
故选：A.
2．答案：A
解析：由题意可知和共线同向，且.故选A.
3．答案：D
解析：,,,设,夹角为,,,又,.故选D.
4．答案：C
解析：由题意得:且与不共线,
即,解得:且,
所以实数x的范围是,
故选:C.
5．答案：A
解析：因为，
即，解得，
所以，夹角的余弦值为.
故选：A.
6．答案：A
解析：由,得,又,解得,
于是.
故选:A.
7．答案：C
解析：因为，以.
又，，所以.设与的夹角为.
则，所以，
即与的夹角为.
故选：C.
8．答案：D
解析：A.，可能方向不同，故错误；
B.，两向量夹角未知，故错误；
C.，，所以，故错误；
D.由C知，故正确.
故选：D.
9．答案：AD
解析：根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答，由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选AD.
10．答案：BD
解析：向量相等要求向量的模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量.
11．答案：CD
解析：A：若时，，不一定有，错误；
B：向量不能比较大小，错误；
C：非零向量与且，则与的方向相同或相反，正确；
D：非零向量，则是一个单位向量，正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：因为,所以,则,所以.
13．答案：
解析：与垂直，
，
，
，
.
，
.
故答案为：
14．答案：
解析：因为,所以,又,所以,所以.
15．答案：（1）
（2）12
解析：(1)设与的夹角为,
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
(2)由题意得，.
16．答案：（I）；
（II）.
解析：（I）因为，，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（II）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
17．答案：见解析
解析：，，，如图所示.
18．答案：（1），且与不平行
（2）
解析：（1），且与不平行.
，四边形ABCD为梯形或平行四边形.
若四边形ABCD为等腰梯形，则，且与不平行.
（2）.
若，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由,得,
设向量与的夹角为,
由,,又,所以,
所以,解得,
所以向量与的夹角为．
（2）由向量向量与互相垂直,得,
所以,即,
解得或．