2.5从力的做功到向量的数量积——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

2.5 从力的做功到向量的数量积——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．已知向量,满足,,则( )
A.-1 B.2 C.15 D.19
2．已知向量，满足，且，则的值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
3．已知边长为2的正方形中,点,分别为,的中点,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．已知向量，.若，则( )
A.-1 B.1 C.2 D.0
5．已知向量,,若,则( )
A.10 B.-10 C. D.
6．在边长为2的正中,,,,,点D在线段BC上,,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．若向量，为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.1
8．已知，若，则x等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
二、多项选择题
9．已知向量，，，若，则实数m的值可以为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10．已知,,是任意非零向量,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
11．向量,满足:,,,则向量在向量上的投影向量的模的可能值是( )
A.1 B. C. D.2
三、填空题
12．已知为等腰直角三角形,,若,则_____________.
13．若单位向量,满足,则____________.
14．已知向量，满足，，，则________.
四、解答题
15．已知平面向量，满足，，.
（1）求与的夹角；
（2）求.
16．已知向量，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小.
17．如图所示，在矩形中，，，E为的中点，.
（1）求的值；
（2）设相交于点G，且，求的值.
18．已知平面向量,的夹角为,且,,.
（1）当,求;
（2）当时,求的值.
19．已知,,,且.
（1）求的值：
（2）求向量与向量夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：由题意知.故选C.
3．答案：B
解析：因为点E,F分别为,的中点,
则,且在方向上的投影数量为2,
所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：由，，则，
因为，所以，即，解得.
故选：A
5．答案：A
解析：由题意可得,解得.
6．答案：A
解析：如图,依题意可得点E在线段AB（不含端点）上,点F在线段AC（不含端点）上,
,设,则,.因为,为正三角形,所以为正三角形,所以,所以,因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.
7．答案：A
解析：因为向量，为单位向量，所以，，
因为，
所以
，
所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：因为，所以，
又因为，所以，解得.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：因为，所以，
解得或0或-1.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：对A,,当且仅当,同向等号成立,所以,故A正确;
对B,因为,所以,当且仅当,同向等号成立,故B正确;
对C,若,因为,方向不一定相同,所以,不一定相等,故C错误;
对D,若,两边平方可得,所以,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：由题意,向量,满足,且,
所以向量在向量上的投影向量的模为.
故选:ACD
12．答案：
解析：因为为等腰直角三角形,,
所以C为直角,且,
.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为、是单位向量,所以,
又因为,所以,
解得.
故答案为：.
14．答案：1
解析：因为，，，
所以，
所以，解得，
故答案为：1
15．答案：（1）
（2）12
解析：(1)设与的夹角为,
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
(2)由题意得，.
16．答案：（I）；
（II）.
解析：（I）因为，，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（II）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，，，
.
（2），
、G、E三点共线，，
得，
由平面向量基本定理得，
.
18．答案：（1）
（2）3
解析：（1）.
.
（2）, .
19．答案：（1）2
（2）
解析：（1）因为,
则
因为,则有,解得.
（2）可知,
设与的夹角为,则
所以,向量与向量夹角的余弦值.