5.3复数的三角表示——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

5.3 复数的三角表示——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．复数z的共轭复数是，若复数在复平面内对应的点是（0，2），则z＝( )
A. B. C. D.
2．若（i为虚数单位），则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设(其中i为虚数单位)，则的共轭复数是( )
A. B.
C. D.
4．复数（i为虚数单位）的三角形式为( )
A.
B.
C.
D.
5．将复数化成代数形式，正确的是( )
A.4B.-B.-4 C. D.
二、多项选择题
6．设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是( )
A. B.
C.z是方程的一个根 D.满足最小正整数n为3
7．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.若，则有
B.若，，则
C.若，则
D.设，则在复平面上对应的点在第一象限
8．已知复数(i为虚数单位)，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
9．设，，则的三角形式为___________.
10．已知，将绕原点O按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为____________.
四、解答题
11．设复数，求复数z的模及辐角主值.
12．已知复数，，，i为虚数单位.
(1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求；
(2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值.
13．已知复数z的模为2，实部为，求复数z的代数形式和三角形式.
参考答案
1．答案：A
解析：设复数，a，，，
，
因为复数在复平面内对应的点是（0，2），
所以，
所以.
故选：A.
2．答案：A
解析：当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
3．答案：C
解析：因为
所以
所以的共轭复数是，
故选：C.
4．答案：D
解析：依题意得，复数在复平面内对应的点在第四象限，且，因此，结合选项知D正确，故选D.
5．答案：D
解析：.故选D.
6．答案：ACD
解析：由题设，，则，，
所以A正确，B错误；
由的根为，故z是该方程的一个根，C正确；
由，则，故最小正整数n为3时，，正确.
故选：ACD
7．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；
对于，
由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，
所以的辐角是复数z的辐角的n倍，模是，故C正确；
对于，
，所以，故B错误；
对于，
设，故，
故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误.
故选：AC.
8．答案：AC
解析：由，
A：，正确；
B：，错误；
C：由B知：，正确；
D：，错误；
故选：AC
9．答案：
解析：因为，
，
所以
，
故答案为：
10．答案：
解析：由题意得点P对应的复数为.由复数乘法的几何意义得.
11．答案：32；.
解析：
所以复数的模为32，辐角主值.
12．答案：(1)
(2)，或，
解析：(1)依题意可知，
，
.
(2)由条件可知：，整理得：
m，，∴解得：，或，.
13．答案：化为三角形式，得或；化为代数形式，得或
解析：方法一：由题，可设.
，，解得，
或.
化为三角形式，得或.
方法二：由题，可设.
复数z的实部为，
，即，
或，
或.
化为代数形式，得或.