东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷（PDF版，含解析）

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东北三省精准教学 2024 年 9 月高三联考 数学
参考答案及解析
1．【答案】A
【解析】由题可知 A ( , 2)， B (0,3)，因此 A B (0,2) .
2．【答案】C
3 2
【解析】 a2 C5 2 40 .
3．【答案】A
【解析】对任意的m,n N*，都有 am n am an ，令m 1，可以得到 an 1 an a1，因此{an}是公差为 a1的
等差数列；若 an 2n 1，则a2 1 a1 a2，故“对任意的m,n N*，都有 am n am an ”是“{an}是等差数列”
的充分不必要条件.
4．【答案】B
【解析】由题知，圆锥底面圆半径 r 4 m，高 h 3 m 母线 l 5 m，
2
因此圆锥的侧面积为 S πrl 20π m .
5．【答案】A
【解析】 p |MF | |MF | cos60 3 .
6．【答案】D
π π
【解析】由图可知 , π ，
6 2
又因为 sin
π 3 π 4
，所以 cos ，
6 5 6 5
数学答案第 1
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sin 2
π π
cos
2 π π π cos 2 2
π 3 2 3
sin
6 6 7
所以 tan 2 .
6 cos 2
π π
sin
π π π
2
2s in
cos 24
3 2 3 6 6
7．【答案】C
【解析】令 x y 0，得到 f (0) f (0) f (0)，因此 f (0) 0，所以选项 A正确；
y x 0 2x f ( x) 2 x f (x) f ( x) f (x)令 ，得到 ，即
2 x
，所以选项 B正确；
2x
f (x y) f (x) f (y)
条件可以化为 x y x y ，记 g(x)
f (x)
x ，因此 g(x y) g(x) g(y)， g(x) x符合条件，2 2 2 2
从而 f (x) x 2x ，不是R 上的增函数，所以选项 C不正确；
令 x n, y 1 n f (n 1) f (n) f (1) f (1) f (n) ，得 f (n 1) 2 f (1) 2 f (n) ，即
2n 1
n ，又 1，所以2 21 21 2n
是首项

f (n)
为 1，公差为 1的等差数列， n 1 (n 1) 1 n，所以 D选项正确.2
8．【答案】D
【解析】直线 l1, l2分别过定点 A(0,5),B( 4,1)，且互相垂直，所以点 P的轨迹是以 AB为直径的圆（不含点 (0,1)），
这个圆的圆心坐标为 ( 2,3)，半径为 2 2 .
| 2 3 3 |
圆心到直线 l距离为 d 4 2，
2
因此圆上的点到直线 l距离最大值为6 2 ，最小为 2 2 ，取得最小值时圆上点的坐标是 (0,1)，因此取值范围是
(2 2,6 2] .
9．【答案】ACD
【解析】根据向量的坐标运算a b (3,1)，a b 2 2=0 a b， | a | | b | 5，所以选项 ACD正确.
10．【答案】ACD
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2
【解析】由公式可以得到选项 ACD正确， 2 100
2
1 ，选项 B不正确.
11．【答案】BCD
2 2
【解析】对于选项 A，点 P的轨迹是以C为圆心，半径为 2 1 3 的圆，其轨迹长度是 2 3π，所以选项
A错误；
对于选项 B，点 P的轨迹是过点C1且垂直OC1的平面与 的交线，所以选项 B正确；
对于选项 C，点 P的轨迹是过OC1的中点且垂直OC1的平面与 的交线，所以选项 C正确；
对于选项 D，空间中到直线OC1的距离为 1的点的轨迹是一个以OC1为轴的圆柱面，因此点 P的轨迹是一个以O
为中心的椭圆，短半轴长为 1，长半轴长 a满足 a sin 30 1 a 2，从而半焦距 c 3，因此点 A,C 为该椭
圆的焦点， PA PC 4，所以选项 D正确.
12．【答案】 2 4i（5分）
【解析】设 z 2 yi z， ti（ y, t R,t 0），则 2 yi t 2ti，
2 i
所以 t 2, y 4，故 z 2 4i .
13．【答案】 (1,2)（或 (1,3), (2,3)）（5分）
【解析】法一：
A(x 2设 1, y1),B(x2 , y2 )，则 x1 y
2
1 9, x
2 2
2 y2 9,两式相减得到
1 y1 y2 y 1 y2 ，
x1 x2 x1 x2
又 x1 x2 2m, y1 y2 2n，
k m因此 AB ，n
m 2 2
所以直线 AB的方程为 y n (x m)，与双曲线C : x y 9联立得
n
数学答案第 2
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m 2 2
2 2 2 2
x2

x n m 9 1 m x2 2m n m x (n
2 m2 )2
，即 2 9 0 ,
n n n n n n
2
4m2 (n2 m2 )2 4(n2 m2 ) (n2 m2 )2 2 2
因此 9
n2 n2 n2 n2
0，整理后得到 n m .

所以点 N 的坐标可以为 (1,2) , (1,3), (2,3) .
法二：
由题意易知，双曲线C : x2 y2 9的渐近线为 y x，
因为m,n {1,2,3}，所以 N (m,n)在双曲线靠原点的一侧，
又因为点N 为弦 AB的中点，故 A,B一定位于双曲线的两支上，
m
所以 <1，即|m |<| n |.
n
所以点 N 的坐标可以为 (1,2) , (1,3), (2,3) .
14．【答案】 (0,e] （5分）
【解析】将 a视为主元，设 g(a) ae2x ln(x m) 1 (a 0)，
4a
则 g(a) ae2x ln(x 1 1 m) 2 ae2x ln(x m) ex ln(x m) 2x 1 ，当且仅当 ae 时取等号，
4a 4a 4a
故当 x 0 x时， e ln(x m) 0 恒成立.
设 h(x) ex ln(x m)(x 0) h (x) ex 1，则 ， h (x) 0 1 1单调递增，且 h (0) e 1
x m m m，
①若1 1 0，即m 1时，则 h (x)>h (0)，所以 h(x)在 (0, )单调递增，
m
故只需 h(0) 0，即1 lnm 0，解得1 m e；
②若1 1 0，即0 m 1时，
m
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h(x) ex ln(x m) (x 1) (x m 1) 2 m 0 ，
即0 m 1时， h(x) 0恒成立.
综上，m的取值范围是 (0,e] .
15．【答案】（1） (0,1)（5分） （2） ( ,0)（8分）
【解析】解：（1）当 a 1时， f (x) 2x3 3x 2 1， （1分）
f (x) 6x2 6x 6x(x 1)， （2分）
由 f (x) 0解得 0 x 1， （4分）
所以函数 f (x)的单调递减区间为 (0,1) . （5分）
（2） f (x) 6x(x a)， f (x) 0时， x=0或 x=a . （6分）
①若 a 0，
当 x a或 x 0时， f (x) 0，
当 a x 0时， f (x) 0 ,
因此 x 0时，函数 f (x)取极小值； （8分）
②若 a 0，
当 x 0或 x 0时， f (x) 0 ,
因此 x 0不是函数 f (x)的极值点； （10分）
③若 a 0，
当 x 0或 x a时， f (x) 0，
当0 x a时， f (x) 0 ,
数学答案第 3
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因此 x 0时，函数 f (x)取极大值. （12分）
综上，a的取值范围是 ( ,0) . （13分）
16．【答案】（1）答案见解析（7分） （2）答案见解析（8分）
【解析】解：（1）由题意得
P(B | A ) 31 1 ， （2分）5
P(B | A 11 2 ) ， （4分）2
P(B1 | A1) P(B1 | A2 )， （5分）
说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高. （7分）
2 100 (30 25 20 25) 2 100 100
（2） 2.706， （10分）
55 45 50 50 11 9 99
因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关， （12分）
说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主. （15分）
17 19
17．【答案】（1） 证明见解析（6分） （2） （9分）
76
【解析】（1）证明：因为侧面 BB1C1C 是矩形，所以 BC BB1， （1分）
又因为侧面 BB1C1C 侧面 AA1B1B，平面 BB1C1C 平面 AA1B1B BB1，
所以 BC 平面 AA1B1B， （3分）
因为 BE 平面 AA1B1B，所以 BC BE . （4分）
菱形 AA1B1B中， BAA1 60 ，所以△AA1B是等边三角形，
又 E是 AA1的中点，所以 BE AA1，得 BE BB1， （5分）
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又 BB1 BC B,BB1 ,BC 平面 BB1C1C，
所以 BE 平面 BB1C1C . （6分）
（2）解：由（1），如图，以 B为坐标原点，BE,BB1,BC 所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标
系.
因为 AB 2BC 2，所以 BE AB sin 60 3， （7分）
因此 B1(0, 2,0), A1( 3,1,0),E( 3,0,0),C(0,0,1)， （8分）

所以 B1C (0, 2,1),B1E ( 3, 2,0) , B1A1 ( 3, 1,0)，
设平面 EB1C 的法向量为m (x1, y1, z1)，

由m B1C，得 2y1 z1 0，
2 3
由m B1E，得 3x1 2y1 0，令 y1 1，得m ,1,2 ， （10分）
3
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设平面 A1B1C的法向量为n (x2 , y2 , z2 )，

由n B1C，得 2y2 z2 0，
3
由n B1A1 ，得 3x2 y2 0，令 y2 1，得n ,1,2 ， （12分）
3
数学答案第 4
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2
m n 1 4cos m,n 17 19 3 .
|m | | n | 19 16 76

3 3
所以二面角 A 17 191 B1C E 的余弦值为 . （15分）76
x2 y2
18．【答案】（1） 1（5分） （2）证明见解析，定点坐标为 (3,0)（12分）
8 4
【解析】（1）解：由题意得 c 2，
b2
将 x c代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为 (2, )， （1分）
a
b2
所以 2 ，因此 a2 2a 4 0， （2分）
a
解得 a 2 2或 a 2（舍去），b 2， （4分）
x2 y2
即椭圆方程为 1. （5分）
8 4

（2）证明：当直线m的斜率为 0时，直线MB的方程为 y 0，此时 AM //FP； （7分）
当直线m的斜率不为0时，可设直线m的方程为 x ty 4，代入椭圆方程，
(t 2 2)y2得到 8ty 8 0， （9分）
由 0，得到 t 2或 t 2 ，因此 A,B点不在直线 l上， （10分）
设点 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
8t 8
则 y1 y2 2 , yt 2 1
y2 2 ， （12分）t 2
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t y则 1 y2 ， （13分）
y1y2

因为 AM //FP，所以M (2, y1)，
所以直线MB y y的方程为 y y 2 11 (x 2)，ty2 2
令 y 0，得到 ty1y2 2y1 (y2 y1)(x 2)， （14分）
x ty1y2 2y1 2 y1 y2 2y所以 1 2 3，
y2 y1 y2 y1
综上，直线MB过定点 (3,0) . 更多试卷：微信公众号：智慧学库 （17分）
n2 3n
19．【答案】（1） (7) 3（3分） （2）证明见解析（6分） （3） Sn （8分）2
【解析】（1）解：因为7 1 2 22，所以 (7) 1 1 1 3 . （3分）
（2）证明：设2n 1 a0 a
k
1 2 ak 2 ，即 (2n 1) a0 a1 ak ， （6分）
则 4n 3 2(2n 1) 1 1 a0 2 a1 2
2 a 2k 1k ， （8分）
所以 (4n 3) 1 a0 a1 a k (2n 1) 1 . （9分）
3 3 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 2 22 2n 1（ ）解：因为 ， （13分）
n
所以 (3 2 1) n 1， （15分）
n 2 (n 1) n2 3n
因此数列{ (3 2 1)}的前 n项和为 Sn n . （17分）2 2
数学答案第 5
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